CONSTRUCTION DE HUYGHENS

dans le premier milieu, par P le point éclairé situé dans le second milieu : en raisonnant comme dans le cas des milieux isotropes (57 et 60), il est facile de démontrer que Téclairement du point P provient d'une très-petite région de la surface réfringente comprenant un point A tel, que la somme des temps employés par la lumière pour se propager du point S au point A dans le premier milieu, et du point A au point P dans le second milieu, soit un minimum. Donc, si SA est un rayon incident, pour que AP soit le rayon réfracté correspondant, il faut et il suffit quen prenant sur la surface réfringente un point quelconque B, infiniment voisin du point A, le temps employé par la lumière pour parcourir le chemin SBP ne .diffère de celui qu'elle met à parcourir le chemin SAP que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Cette condition permet de déterminer la direction du rayon réfracté , étant donnée celle du rayon incident.

Prenons en effet sur la surface réfringente deux points B et G infiniment voisins du point A, et décrivons du point S comme centre la surface de l'onde relative au premier milieu qui passe en A : cette surface rencontre les droites SB et SC en B' et en C\ et, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on peut confondre le plan AB'C avec le plan tangent à la surface de l'onde au point A. Décrivons de même la surface de l'ônde relative au second milieu ayant pour centre le point P et passant en G ; cette surface coupe les droites PB et PA aux points B| et Ai , et le plan GAjBi peut être regardé, soit comme étant tangent à cette surface au point G , soit comme étant tangent en Aj à la suj*face de l'onde relative au second milieu décrite du point A comme centre et passant en A^.

La lumière emploie des temps égaux pour se propager du point S aux points A, B\ G', et aussi pour se propager du point P aux points Al , Bi , G : donc , pour que AP soit le rayon réfracté correspondant au rayon incident SA , il faut et il suffit que les temps employés par la lumière pour parcourir les chemins AAj, B'BBi, GG' soient égaux en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, c'est-à-dire que l'on ait, en désignant par t; la vitesse de la lumière dans le premier milieu suivant la direction SA , et

par u sa vitesse dans le second milieu suivant la direction AP.

/ V AA, B'B , BB, ce

car les longueurs B'B, BB|, CC étant des infiniment petits du premier ordre, les erreurs que Ton commet dans l'évaluation des temps employés à parcourir ces longueurs, en admettant que la vitesse de la lumière soit égale à v dans le premier milieu suivant les directions SB et se, et à u dans le second milieu suivant la direction BP, sont des infiniment petits du second ordre et peuvent par conséquent être négligées.

Ceci posé, prolongeons le rayon incident SA jusqu'en un point a tel, que Ton ait / . Aa A A,

et du point A comme centre décrivons la surface de Tonde relative au premier milieu qui passe par le point a, surface qui coupera en j8 et en y les prolongements des rayons SB et SC. Le plan aj8y peut être considéré comme étant tangent à cette surface au point a, ou comme étant tangent au même point à la surface de l'onde relative au premier milieu décrite du point S comme centre et passant en a, et l'on a par conséquent

(3) Aa -^ B'/3 = C'y.

En remplaçant dans l'expression ( î?) Aa par C'y, il vient

Cy^AA, r u

et par suite, d'après l'équation (t). si AP est le rayon réfracté correspondant à SA . on a

CC'-^C'y.

Le point y se confond donc alors avec le point C; si, par conséquent, nous démontrons que les intersections des deux plans Cafi et CA]Bi ^vec le plan réfringent ont dans ce cas, outre le point C, un autre poiot commun, il en résultera que ces deux plans coupent le

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plan réfringent suivant la même droite. Pour faire voir qu'il en est ainsi, désignons par (i et Mi les points où les droites ajS et A^Bi rencontrent la droite AC; les triangles jtxAa et jtxBjS pouvant être regardés comme semblables, si Ton néglige les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, nous aurons

fl^. Aa

d'où

fÂ\ __ Ag

et

Aa

(i\ -= AB

Aa-h/S

De même la similitude des triangles M^AAi et M^BBi donne