AA,-BB
Or on déduit facilement des équations (i), (a) et (3)
BB, ^ AA, BB' Aa ~ BB' ^ B'j8 - BB' Bjg ,
BB, M AA, "ÏÏjS "■ i' ~ Aa
et
AA, Aa
AA,-bb, ~Aa-B/3'
ce qui montre que
jùtA -=M,A.
Les deux points fi et M, n'en forment donc qu'un seul, et par con* séquent les deux plans (lajS et CA,Bi coupent le plan réfringent sui
vant la même droite lorsque AP est le rayon réfracté correspondant au rayon incident SA.
Un raisonnement tout à fait analogue s'applique à la réflexion; mais dans ce cas la surface de l'onde décrite du point A comme centre et tangente au plan GAiB^ est relative au premier milieu, de même que celle qui est tangente au plan GajS.
139. €oiuitru0tioB de IIuysl>«ii*< — Nous venons de voir que, si du point d'incidence comme centre on décrit deux surfaces de l'onde relatives, l'une au premier, l'autre au second milieu, et correspondant au même temps, les plans tangents menés à ces surfaces aux points où elles sont rencontrées, la première par le prolongement du rayon incident, la seconde par le rayon réfracté, coupent le plan réfringent suivant la même droite : de là se déduit immédiatement, pour déterminer la direction des rayons réfractés, la construction suivante, qui n'est que la généralisation de celle qui a été indiquée par Huyghens^') pour le cas particulier des cristaux à un axe.
Du point d'incidence comme centre, on décrit deux surfaces de Tonde relatives au premier et au second milieu et correspondant à un même temps; on prolonge le rayon incident jusqu'au point où il rencontre la surface de l'onde relative au premier milieu , et par ce point on mène à cette surface un plan tangent; par la droite d'intersection de ce plan tangent avec la surface plane qui sépare les deux milieux, on mène autant de plans tangents que cela est possible h la portion de la surface de l'onde relative au second milieu qui est comprise dans ce second milieu : les droites qui joignent les points de contact de ces plans tangents au point d'incidence sont les rayons réfractés.
Quant aux rayons réfléchis, on les obtient en menant par la même droite d'intersection autant de plans tangents que cela est possible à la portion de la surface de l'onde relative au premier milieu qui est comprise dans ce premier milieu , et en joignant les points de contact au point d'incidence.
Si la surface réfléchissante ou réfringente est courbe, on peut.
^» Traité de la lumière, rliap. t.
CONSTRUCTlOiN DE HUYGHENS. 513
comme nous l'avons vu dans le cas des milieux isotropes (58), la remplacer par le plan qui lui est tangent au point d'incidence, et la construction précédente subsiste sans aucune modification.
Cette construction montre que, lorsque la lumière passe d'un milieu isotrope dansrun milieu biréfringent, il y a en général, par suite de l'existence d'une surface de l'onde à deux nappes dans ce dernier milieu, deux rayons réfractés; mais, dans certains cas, ja construction peut devenir impossible,, soit pour les deux rayons réfractés, soit pour un de ces rayons seulement, ce qui correspond au phénomène de la réflexion totale qui, dans les milieux biréfringents, peut avoir lieu soit pour les deux rayons réfractés, soit pour un seul de ces rayons.
Si le premier milieu est biréfringent comme le second, la construction donne en général quatre rayons réfractés pour chaque rayon incident; mais ces rayons peuvent manquer soit en totalité, soit en partie, ce dont on est averti par l'impossibilité d'effectuer la construction pour un ou pour plusieurs des rayons réfractés.
On voit enfin que , si la lumière se réfléchit dans un milieu biréfringent, chaque rayon incident donne naissance en général à quatre rayons réfléchis. La construction indiquée plus haut montre que , de ces quatre rayons réfléchis, il y en a deux qui existent toujours : ce sont les rayons réfléchis qui correspondent à la même nappe de la surface de l'onde du milieu que le rayon incident dont ils proviennent, c'est-à-dire les rayons tels, que les deux plans tangents qui coupent la surface réfléchissante suivant une même droite soient tangents à la même nappe de la surface de l'onde. Les deux autres rayons réfléchis, c'est-à-dire ceux pour lesquels les deux plans tangents touchent des nappes différentes de la surface de l'onde, peuvent manquer, car la construction qui donne ces derniers rayons peut devenir impossible ^^^
La construction de l'onde réfléchie ou réfractée, telle que nous
^') li y a là en réalité deux espèces bien distinctes de réflexions, et, au point de vue de Toplique géométrique, ie phénomène qui se produit lorsque les rayons incidents et les rayons réfléchis ne correspondent pas à la même nappe de la surface de Tonde ressemble plus à la réfraction qu^à la réflexion proprement dite. Aussi serait-il utile, pour éviter toute confusion, de donner à chacune de ces deux espèces de réflexions une dénomination particulière, de les appeler, par exemple, réflexion homologite et réflexion antilogue. (L.)
Vrrdrt, V. — Optique, I. 33
l'avons fait ronnaÎJre pour les milieux isotropes (59 et 60), sVlenil facilement aux milieux birérringents, et, au moyen d'un raisonnement tout à fait analogue à celui que nous avons employé précédenmienl , On voit que , dans un milieu biréfringent , l'onde réfléchie ou réfractée est l'enveloppe des ondes élémentaires émanées* des différents points de la surface réfléchissante ou réfringente, considérées dans les positions qu'elles occupent au même instant. Le principe des ondes enveloppes est donc applicable h toute espèce de milieu homogène; mais dans les milieux biréfringents les ondes élémentaires ne sont plus sphériques, et, par conséquent, les rayons réfléchis ou réfractés ne sont plus en général normaux à l'onde ^^'.
^') Il exislo rependaiil, dans un milieu liomogène quelconque, une relation d«^finie eulre la direction d^in rayon el celte du plan langent à Tonde au point où elle est renconlr«V par ce rayon. (L.)
CItiSTAUX A IN \XK. 51!»
«I^'i-rirt! du [iciint I c<imnit> venin un cercle KAF am'c un ravnn ^gal à l'iiiiiltf. de prototif^er le rityoïi incident SI jusi|u'h sa rencontre en A avi'c ce cercle, et en6i> de meiier une (angente BB' à IVIlipse
|Hir le |>ninl B, i>ii .la tan{;eiile ineiivf nu cercle en A rcncciiitre I» droite BE. IB' esl le rayon réfracta extraordinaire et l'angle PIB' '■st l'angle de n^fraction r'.
Occi |iosé, df'crivonR du point I comme centre, et avec un rayon égal à «, un cercle CB'D, et menons par le point B une tangente BB'' à ce cercle ; les deu» points B' et R' se trouveront sur une ro^me perpendiculaire n BK, e(. en désignant le pied de cette perpendiculaire par 0 el l'angle B'IP par 9, nous aurons
lai'g'' tangB (ioiume d'ailleurs
1 étant l'angle d'incidence, il vient
el en5n
" fccosfl 6v i-n*siii'(
".si lit «,V«;-sin'i
516 DOUBLE RKKRAGTION.
appelle l'indien onlinaire du cristal. Nous di^signerons cet indice
par n,.
a" Lorsque le plan d'incidence osl «ne section prirtcipak, «'est-4dîre contient la direction de l'axe du cristal, tout est symétrique par
rapport à ce plan, et la construction qui sert i\ trouver la direction des rayons réfractés devient plane, comme le montre la figure go,
nii SI repr^senle le rayon incident, IR le rayon réfract»' ordinaire, IR' le rayon n^fraclé exiraordinaire et IP la direction de l'axo. Dan»
CHISTAUV A UN AVE. 517
ce cas les deu\ layons réfractés restent donc dans le ]ilan d'incidence, mais le rayon extraordinaire ne suit plus en général la loi des sinus.
3° Supposons la face d'incidence parallèle h l'axe et le plan d'incidence perpendiculaire à l'axe. Le plan d'incidence détermine alors dans les deux nappes de la surface de l'onde décrite du point d'incidence comme centre deux sections circulaires dont les rayons sont b pour la nappe spkérique, a pour ta nappe ellipsoïdale (fig. 91). H en résulte non-seulement que les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence, mais encore que le rayon extraordinaire suit dans ce cas la loi des sinus comme' le rayon ordinaire. L'indice avec lequel se réfracte le rayon extraordinaire, lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe, se nomme l'indice extraordinaire du cristal: nous le désignerons par «,.
La vitesse du rayon ordinaire étant toujours égale à i et celle du rayon extraordinaire étant égale à n lorsque ce rayon est perpendiculaire à l'axe, on a '
6° Si la face d'incidence est parallèle à l'aie ci que de plus le plan d'incidence contienne l'axe^ la construction est encore plane
(fig. y!!), et les deux rayons réfraclés restent dans le plan d'incj-
518 DOUBLE KEFHACTlOiV
11 est facile, dans ce cas, de trouve^ une relation entre les angles de réfraction du rayon ordinaire el du rayon extraordinaire , angles (jue nous désignerons par r et par r . Supposons en effet qu'il s'agisse (l'un cristal où, comme dans le spath d'Islande, on ait fi>A. [/intersection PP' de la face d'incidence avec le plan d'incidence, intersection qui est parallèle à l'axe du milieu , est alors le petit axe de l'ellipse suivant laquelle le plan d'incidence, pris pour plan de ligure, coupe la nappe ellipsoïdale de la surface de l'onde; le cercle CRD, suivant lequel le même plan coupe la najipe sphérique, est décrit sur le j)etit axe CD de l'ellipse comme diamètre : les deux points R et R', où les deux tangentes BR et BR' qui déterminent les directions des deux rtiyons réfractés touchent le cercle et l'ellipse, se trouvent donc sur une même perpendiculaire à CD, et
l'on a
IVQ h 1{Q ~ a'
Comme d'ailleurs
tang: /' IVQ langr' I\Q
il vient
(L\ tang: /' ^ a ^ n„
La même relation subsiste dans le cas où l'on a a<Cb* mais CI) est alors le grand axe de l'ellipse.
5° Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à Taxe, tout plan d'incidence est une section principale, et par conséquent les deux rayons réfractés restent toujours dans le plan d'incidence.
On peut établir dans ce cas une relation remarquable entre l'angle d'incidence et l'angle de réfraction du rayon extraordinaire. Prenons en effet pour pian de figure le plan d'incidence (fig. ()3), et soient SI le rayon incident et IP la direction de l'axe qui est perpendiculaire à la droite BE suivant laquelle le plan de la figure coupe la face d'incidence. La section de la nappe ellipsoïdale par le plan de la ligure est alors une ellipse CR'D ayant son {jrand axe dirigé suivant BK, et la construction de lluyghens devient plane. Pour obtenir la direction du ravon réfracte extraordinaire, iisuflitde
CIUSTALX A l]> A\K. 523
polarisation rliromali(|ue, et plus tard par Fresnei au iiio\en d'un procodé fondé sur les interférences des rayons polarisés et que nous avons fait connattre plus haut (110).
I A3. Direction des irlliriitl«ns mit le wmjmm •HMMAlre.
— La direction des vibrations sur un rayon qui se propage dans un milieu biréfringent s'obtient, comme nous l'avons vu (128). en projetant le rnvon sur le plan tangent à la surface de l'onde au point oii elle est rencontrée par ce rayon; mais cette règle ne suilit pas pour délenniner la direction des vibrations sur le rayon ordinaire, qui, dans les milieux cristallisés à un axe, est toujours normal à la nappe spbérique de la surface de l'onde, nappe à laquelle ce rayon correspond. 11 faut alors avoir recours à la considération directe de l'ellipsoïde (E) de Fresnel, dont l'équation, dans le cas des cristaux à un axe. devient
(loupons cet ellipsoïde par un plan passant par son centre et perpendiculaire à la direction du rayon ordinaire sur lequel il s'agit de trouxer la direction des vibrations. Ce plan étant parallèle à l'onde plane qui correspond k ce rayon ordinaire, les vibrations seront parallèles à l'un des axes de la section elliptique ainsi déterminée. Or. ( omme parmi les rayons vecteurs de l'ellipsoïde (E) le rayon équalorial a toujours une longueur maximum ou minimum, l'un des axes de cette section se trouve toujours contenu dans le plan
des yz et a pour longueur t« cl, puisque toutes les ondes planes
oniinaires se propagent avec une vitesse constante et égale à 6, c'est à celui des axes de la section elliptique qui est situé dans le plan des yz que sont parallèles les vibrations sur le rayon ordinaire. Ces vibrations sont donc perpendiculaires à la fois au rayon et à l'axe des x, c'est-à-dire à l'axe du milieu, d'où il résulte que sur le rayon ordinaire les vibrations sont perpendiculaires au plan mené par ce rayon et par l'axe, et que, par conséquent . si l'on admet avec Fresnel (|ue les vibrations s'eflectuent perpendiculairement au plan de polarisation , le plan de polarisation du rayon oi*dinaire est celui qui passe fhtr ce rayon et par taxe.
520 POUBLE RÉFRACTION.
6'' Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à l'axe et que le rayon incident est normal, lès deux rayons réfractés se confondent et sont dirigés suivant l'axe, et, dans ce cas, quelle que soit la direction de la face d'émergence, il n'y a jamais qu'un seul rayon émergent.
On voit encore que , quelle que soit la direction de la face d'incidence , toutes les fois que l'un des rayons réfractés est parallèle à l'axe, les deux rayons réfractés se confondent. Dans les cristaux à un axe, l'axe est donc essentiellement caractérisé par cette propriété que, suivant sa direction, il ne peut jamais y avoir double réfraction.
Les lois que nous venons d'énoncer se rapportent à des cas particuliers de la construction de Huyghens et donnent lieu à des vérifications expérimentales. Dans le cas général il est toujours possible , en s'appuyant sur cette construction, de déterminer l'angle de réfraction du rayon extraordinaire et l'angle que fait le plan de réfraction de ce rayon avec la section principale , en fonction de l'angle d'incidence, de l'angle formé par le plan d'incidence avec la section principale , et enfin de l'angle que la face d'incidence fait avec Taxe du cristaL Un calcul assez long est nécessaire pour établir les formules qui définissent la direction du rayon extraordinaire; nous ne nous y arrêterons pas, car il n'y a là qu'une simple question de géométrie analytique.
1&2. IHstliiettoii des ertotaux aUmctlfii et répulslfiu— ItolAti^n entre les YlteMes du rmjmwk «rdlnalre et eelles du riiy«n extraordinaire. — Lorsque , dans un cristal à un axe, l'indice extraordinaire est plus grand que l'indice ordinaire , c'est-à-dire lorsque 6>«, le rayon extraordinaire se rapproche plus de l'axe que le rayon ordinaire et semble par conséquent attiré par l'axe. Lorsqu'au contraire l'indice ordinaire est le plus grand, c'est-à-dire lorsque a>6, le rayon extraordinaire est celui qui s'écarte le plus de l'axe et semble être repoussé par cet axe. De là la division que Biot a faite des cristaux à un axe en cristaux attractifs et en cristaux répulsifs y suivant que l'indice extraordinaire est plus grand ou plus petit que l'indice ordinaire. Fresnel a proposé de remplacer ces dénominations tirées du système de l'émission par celles de cristaux
positifs et de crisUiux négatifs. Dans les cristaux attractifs, en effet, la différence entre la vitesse du rayon ordinaire et celle du rayon extraordinaire est toujours positive, tandis que daqs les cristaux répulsifs cette différence est négative.
11 existe entre les propriétés des cristaux attractifs et celles des cristaux répulsifs plusieurs autres différences , que la construction de Huyghens met facilement en évidence :
i"" Dans les cristaux attractifs, l'angle de réflexion totale est toujours plus petit pour le rayon extraordinaire que pour le rayon ordinaire; dans les cristaux répulsifs, c'est l'inverse qui a lieu.
d"" Dans les cristaux attractifs, un rayon ordinaire donne toujours naissance à deux rayons réfléchis, tandis que, sous certaines incidences, l'un des deux rayons réfléchis correspondant à un rayon extraordinaire peut manquer; dans les cristaux répulsifs, les choses se passent d'une manière opposée,
