NATURE DES OBSERVATIONS

1* Prismes taillés parallèlement à Taie

2" Face dMncidence inclinée sur Taxe; plan dMncidence parallèle à la section principale

3** Face d'incidence inclinée sur Taxe; plan dMncidence perpendiculaire à ta section principale

h" Face d'incidence perpendiculaire A Paie

L'accord entre les valeurs trouvées pour a et i au moyen d'expériences exécutées dans des conditions différentes est évidemment une confirmation de la théorie. Dans les nombres donnés par Malus cet accord ne se maintient que jusqu'à la seconde décimale, mais il ne faut pas oublier qu'il opérait avec la lumière blanche.

Pour les cristaux autres que le spath, Malus s'est contenté de déterminer les deux indices à l'aide de prismes taillés parallèlement h l'axe; aussi la distinction des cristaux attractifs et répulsifs lui a-t-elle complètement échappé.

Biot, après avoir démontré au moyen des phénomènes de la polarisation chromatique l'existence des cristaux à deux axes, entreprit

CHISTAUX A UN WK. 529

aussi de vérifier dirpctcment les lois de la double r^fraclion dans un grand nombre de rrîslaux. La mélbode qu'il suivit est unalogue à-ceUe de Malus. Le cristal taillé en prisme était placé sur un support horizontal H (fig. 96), de fa^on que sa face inférieure dépassât

un peu le bord du support. Ce support était mobile le long d'une règle horizontale graduée L. sur laquelle était fixée une autre rëgle R verticale et divisée en millimètres. Lorsque le plan d'inci7 dence était une section principale, les deux images de la règle R se trouvaient sur le prolongement l'une de l'autre, et par conséquent on pouvait donner au support une position telle, qu'une division de l'image ordinaire fàt exactement en coïncidence avec une autre division de l'image extraordinaire. On avait ainsi les positions de deux points A et R tels, que deux rayons , l'un ordinaire et l'autre extraordinaire, partant de ces deu<i points, donnent, après avoir traversé le prisme, un seul rayon émettent CD, ou, ce qui revient au même, les positions des points où vont aboutir sur la règle R les deux rayons réfractés provenant du rayon incident CD. La direction du rayon CD était déterminée à t'aide d'une lunette avec laquelle on visait un point C de la face d'incidence.

Lorsque le plan d'incidence n'était pas une section principale, VHDtt, V. — Opri<|u«, 1. 3S ^

53Û DOtJBLE RÉFRACTION.

\li9. IjoUê de la d«uMe réira«ti«n dans les deux aiLes. — Lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à Tun des trois axes d'élasticité , c'est-à-dire se confond avec une section principale, la construction de Huyghens devient plane, et par suite les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence. De plus, dans ce cas, Tune des courbes suivant lesquelles la surface de i'onde est coupée par le plan d'incidence se trouve toujours être un cercle, d'où il résulte que l'un des deux rayons réfractés suit la loi dés sinus ; ce rayon prend le nom de rayon ordinaire. L'indice de

réfraction du rayon ordinaire est égal à - dans le plan desyz, a .

dans le plan des xz, à - dans le plan des xy. Les trois quantités

- 1 r 9 - sont ce qu'on appelle les trois indicée principaux du cristal.

Ces trois indices peuvent être déterminés par la méthode du minimum de déviation, au moyen de trois prismes taillés parallèlement aux trois axes d'élasticité du cristal, et la connaissance de ces indices suffit pour définir le cristal au point de vue optique.

Lorsque , dans un cristal à deux axes , la face d'incidence est perpendiculaire h l'un des axes d'élasticité et que le rayon incident est normal , les deux rayons réfractés suivent la même direction , mais ces rayons se propagent dans le cristal avec des vitesses différentes; d'où il suit que, si la face d'émergence n'est pas parallèle à la face d'incidence, les deux rayons émergents ont des directions différentes. Les axes d'élasticité dans les cristaux à deux axes ne jouissent donc pa> des mêmes propriétés c|ue l'axe unique dans les cristaux à un axe.

En se reportant à la forme des sections faites dans la surface de l'onde par les trois plans des coordonnées, il est facile de voir que. si le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité, le cristal à deux axes se comporte comme un cristal k un axe attractif; si, au contraire i. le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, le cristal à deux axes préseate les propriétés d'un cristal à un axe répulsif; enfin, si le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité, c'est-i* dire coïncide avec le plan des xz^ comme dans ce plan le cercle al l'ellipse se coupent, le cristal à deux axes, suivant l'incidence, se montre analogue à un cristal attractif ou à un cristal répulsif.

CKISTAUX À DEUX AXES. 535

' . Pour dëlinir d'une uiauière absolue le signe d'un cristal à deux aies , c'est-à-dire pour le ranger dans la classe des cristaux attractifs ou dans celle des cristaux répulsifs, on remarque que, si Tangle des deux rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de Tonde tend vers zéro, le cristal à deux axes se rapproche de plus eii plus par ses propriétés d'un crisUil à un axe, lequel sera répulsif si les deux rayons vecteurs se confondent avec l'axe de plUs grande élasticité, c'est*-à-dire si h devient égal à c; attractif si cei rayons vecteurs se confondent avec Taxe de plus petite élasticité, c'est-à-dire si b devient égal à a. Il est donc naturel de dire qu'un cristal à deux axes est attractif ou positif lorsque la bissectrice de l'angle aigu des deux rayons vecteurs qui passent par les poinLs singuliers de la surface de l'onde, bissectrice qui porte le nom de ligne inoyenne, coïncide avec l'axe de plus petite élasticité, et de considérer le cristal comme répulsif ou négatif loi*sque la ligne moyenne tombe sur l'axe de plus grande élasticité. On voit qu'il est un cas où le signe du cristal reste indéterminé : c'est celui oii len rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'onde sont perpendiculaires l'un à l'autre.

150. BIrecttoas émm wntnMmmm émmm les crlMtoiim • tfmm «xMk — La construction générale qui donne la direction des vibrations sur un rayon vecteur de la surface de l'onde montre que, dans les cristaux à deux axes, les vibrations des deux rayons qui peuvent se propager parallèlement à l'un des axes d'élasticité sont rectangulaires, et que, par suite, ces deux rayons, qui peuvent être considérés comme provenant d'un même rayon incident, sont pola->> risés à angle droit. Mais, en général, il n'existe dans les cristaux à deux axes aucune relation nécessaire entre les directions des vibra* tions sur les deux rayons réfractés qui proviennent d'un même rayon incident. Seulement, comme ces deux rayons réfractés forment toujours un tràs-petit angle et que les plans qui passent par un rayon vecteur de la surface de l'onde et par les deux directions des vibrations qui peuvent se propager suivant ce rayon vecteur sont rectangulaires, les plans de polarisation des deux rayons réfractés bont^ dans tous les cas, à peu près perpendiculaire;) l'un à l'autre.

536 DOUBLE REFRACTION.

151. Vérlfl«a«i«Mi empérlmenUiles des Ëmàm lÊm Èm wéiwmmUmm émmm les eristnux • deux «xes* — Fresnei esl le premier qui ait démontré que dans les cristaux à deux axes aucun des deux rayons réfractés ne suit en général la loi de Descartes, ou, en d'autres termes, qu il nV a pas dans ces cristaux de ra^on ordinaire ^^\ Le premier procédé dont il s'est servi est fondé sur le déplacement des franges d'interférence par l'interposition d'une lame transparente. 11 taillait dans une topaze deux lames suivant des directions différentes et donnait à ces lames la même épaisseur en les travaillant ensemble. Il disposait ensuite chacune de ces lames devant l'une des fentes de l'appareil de Young et constatait presque toujours un déplacement sensible des franges d'interférence, ce qui prouvait qu'aucun des deux rayons réfractés ne traverse les lames cristallines avec une vitesse indépendante de la direction de ces lames par rapport aux axes du cristal.

Fresnei, sur l'invitation d'Arago, employa une méthode plus directe, qui consistait h tailler dans une topaze des lames à faces parallèles suivant des directions différentes, à coller ces lames les unes aux autres et à donner à Tensemble la forme d'un prisme. En regardant h travers ce prisme une mire éloignée parallèle à l'arête réfringente, il s'assura que dans chacune des deux images de la mire les parties qui correspondaient aux différentes lames ne se trouvaient pas sur le prolongement les unes des autres: si l'un des rayons réfractés suivait la loi de Descartes, Yune des images aurait néceNsaii*ement été rectiligne.

Sans parler des phénomènes de la polarisation chromatique, dont l'explication est fondée sur les lois de la double réfraction, il faut citer surtout, parmi les vérifications de ces lois pour les cristaux à deux axes, les expériences demeurées classiques de Rudberg^^': ce physicien mesura les trois indices principaux do Taragonite et de la topaze incolore pour les principales raies du spectre et s'assura que, dans ces cristaux, toutes les fois que le plan d'incidence se confond avec une section principale , l'un des rayons réfractés suit

^''' Ann. de pkyê. el de ehim,, (a), I. \X. p. 387. — (Enireè cvnipirfet iTArmgn, L i. p. .'i^H.

'«' Pog^. .4w»., Wll, I.

la loi de Descaries ; il employait à cet effet des prismes tailles parallèlement aux trois axes d'élasticité. Plus récemment ^ M. Heusser^'^ a déterminé par le même procédé les constantes optiques d'un certain nombre de cristaux à deux axes.

M. de Senarmont a appliqué à la vérification des lois de la doublé réfraction une méthode qui est analogue a celle de Wollaston et qui consiste & observer les phénomènes de la réflexion totale sur Tune des faces du cristal , en mettant cette face en contact avec un liquide plus réfringent que le cristal ^^\ Il faisait arriver sur la première face du cristal un cône de rayons émanant du foyer d'une lentille; ces rayons venaient rencontrer la seconde face sous des incidences différentes, et certains d'entre eux subissaient la réflexion totale. Comme, dans le cristal, la valeur de l'angle d'incidence à partir duquel il y a réflexion totale dépend de la couleur, la région de la seconde face du cristal sur laquelle s'opérait la réflexion totale était limitée par un iris dont la forme et la position pouvaient être assignées d'avance au moyen de la théorie. M. de SenanAont a fait porter ses expériences aussi bien sur les cristaux a deux axes que sur les cristaux à un axe. et, dans les cas les plus divei*s, l'accord entre les résultats de ses observations et ceux de la théorie s'est maintenu d'une manière satisfaisante.

Mais c'est dans les phénomènes de la réfraction conique intérieure et extérieure qu'il faut chercher la confirmation la plus éclatante de la théorie de Fresnel. La découverte théorique de ces phénomènes est due à Hamilton ^'^ et leur constatation expérimentale à Lloyd t*).

1 5a. Wwmpràéîém des n^rnuiles mun •cctlsna drcutoi ûm iMwniier ellipsoïde. — AiLea «iitiqiies mu de réfr—tioa

••Bl^pie tatérieure. — Les plans tangents à la surface de l'onde ne touchent en général cette surface qu'en un seul point ; mais il existe^ comme nous allons le faire voir, quatre plans tangente qui

<»' /«b^. tim., LXXXVII.'i.'i'i.

.'*^ C B.t XLII, (m. — Jonm. 4$ IàoudUIf, i8ôG, p. 3o5.

* Tram. f*f fr. .IfW., \V, (îp; XVI, i, (jh,

'*) frûii*. f'I h. Jrifrf., \MI, 3.

530 DOUBLE KÉFKACTION.

Biol se servait d'une seconde règle divisée R', fixée en un point de k règle R et pouvant faire avec celle-ci un angle variable; il s'arrangeait alors de façon à faire coïncider l'image ordinaire d'une division de la règle R avec l'image extraordinaire d'une division de la règle R'.

\àl. Expériences relatlires à la vUemie du rayan ordinaire. — La théorie de Fresnel montre que la vitesse du rayon ordinaire dans un cristal à un axe doit être indépendante de sa direction. Cette loi fondamentale a été soumise par plusieurs physiciens au contrôle de Texpérience.

Brewster^'l accola Tun à l'autre pai* la base deux prismes de spath, d'angles réfringents exactement égaux, mais dont le premier avait ses arêtes parallèles à Taxe tandis que les arêtes du second étaient perpendiculaires à Taxe, En regardant à travers ce prisme composé une mire parallèle à Taréte réfringente, il constata que les deux partiçs de l'image ordinaire de cette mire se trouvaient exactement dans le prolongement l'une de l'autre, ce qui prouvait que dans les deux prismes le rayon ordinaire, bien que suivant des directions diversement inclinées par rapport à l'axe, avait éprouvé des réfractions égales, fie procédé n'est autre que celui dont s'est servi Fresnel pour faire voir que dans les cristaux a deux axes il n'existe pas de rayon ordinaire.

Quelques années après les expériences de Brewster, M. Swan ^*' mesura directement l'indice ordinaire du spath au moyen de prismes taillés dans différentes directions. Il employait la méthode du minimum de déviation et opérait avec la lumière monochromalique de falcool salé. Il obtint ainsi les résuhats suivants :

nDlCR OR Dl MAI ME ftC SFATI.

Rayon réfracté parallèle h l'axe i, 658367

perpendiculaire à Taxe 1.658366

incliné de 45 degi^és sur Taxe.. . . u658385

incliné de 6o degrés sur Taxe. ... i .658389

'*' i5** Hep.ofBnt. AiMor., p. 7. * f* Edinh. TrmiH.: \Vl, 375.

Les différences que Ton constate entre les indices ainsi déterminés sont assez faibles pour pouvoir être attribuées aux erreurs d'observation; elles ne portent, en effet, que sur la cinquième décimale, et il faut tenir compte de ce que la lumière employée n'est pas rigoureusement monochromatique.

.Ti

ou bien

équation qui se décompose en deux autres,

y.^o et

(3) (rt^ + ft'-^jX^H- a6Y-4-(c2-4-6-i)z-J 42(rt2^c2j=- 0.

La première de ces équations donne les points de contact situés dans le plan des xz; la seconde représente un ellipsoïde. Si, entre Téquation de cet ellipsoïde et celle de la surface de Tonde, on élimine y^, on obtient une équation qui n'est autre que celle de la projection sur le plan des xz du lieu cherché. Le premier membre de cette équation se décompose en quat;*e facteurs, de sorte qu'elle peut être mise sous la forme

Cette dernière équation représente le système des (|uatre plans menés par les quatre tangentes communes perpendiculairement au plan des xz; d'où il résulte que chacun de ces quatre plans touche la surface de l'onde en une infinité de points. Les courbes de contact ne sont autres que les courbes suivant lesquelles l'ellipsoïde représenté par l'équation (3) est coupé par ces plans, et il est facile de voir que ces courbes sont les sections circulaires de cet ellipsoïde, il existe donc quatre plans qui touchent chacun la surface de l'onde suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire h l'un des axes optiques. Ce» plans sont représentés par l'équation

Nous les appellerons les jflana tangcnU aingidien de la surface de l'onde.

la loi de Descartes; il employait à cet effet des prismes tailles parallèlement aux trois axes d'élasticité. Plus récemment, M. Heusser^'^ a déterminé par le même procédé les constantes optiques d'uii certain nombre de cristaux à deux axes.

M. de Senarmont a appliqué à la vérification- deii^ lois de la>daublé réfraction une méthode qui est analogue à celle de Wollas^on et qui consiste à observer les phénomènes de la réflexion totale sur Tune des faces du cristal , en mettant cette face en contact avec u^ liquide plus réfringent que le cristal ^^\ Il faisait arriver sur la première face du cristal un cône de rayons émanant du foyer d'une lentille; ces rayons venaient rencontrer la seconde face sous des incidences différentes, et certains d'entre eux subissaient la réflexion totale. Gomme, dans le cristal, la valeur de l'angle d'incidence à piartir duquel il y a réflexion totale dépend de la couleur, la région de la seconde face du cristal sur laquelle s'opérait la réflexion totale était limitée par un iris dont la forme et la position pouvaient être assignées d'avance au moyen de la théorie. M. de Senanftont a fait porter ses expériences aussi bien sur les cristaux a deux axes que sur les cristaux à un axe, et, dans les cas les plus divers, l'accord entre les résultats de ses observations et ceux de la théorie s'est maintenu d'une manière satisfaisante.

Mais c'est dans les phénomènes de la réfraction conique intérieure et extérieure qu'il faut chercher la confirmation la plus éclatante de la théorie de Fresnel. La découverte théorique de ces phénomènes est due à Hamiiton ^'^ et leur constatation expérimentale à Lloyd î*).

. 1 52. Propriétés des ii«r maies aiiiL seetlons eircutolres d« premier ellipsoïde. — Axes optiques ou de réfroetloa •onique Intérieure. — Les plans tangents à la surface de l'onde ne touchent en général cette surface qu'en un seul point; mais il existe, comme nous allons le faire voir, quatre plans tangents qui

(^> /»og^. .4/1/1., LXXXVII, 45^1.

.^'^ C. /?., XLII, *>5. — Jonrti. d$ Liouville, i8û(>, p. 3o5.

^^'> Tram, nf h. .ItW., XV, (îg; XVI, 1, gi.

^*^ Frans, vf h. Acad., Wil, 3.

338 UOUBLE REFRACTION,

toucfaent chacun la surface de l'onde en une infinité de points formant une couriie.

Considérons en effet )a section de la surface de l'onde par le plan des xz, c'est-à-dire par un plan perpendiculaire h l'axe de moyenoa élastiritt^ : celte section se compose d'un cercle

el d'une ellipse

<jui sc cuupi-til, ainsi que le montre la figuro r|8, on qudtrt; points. On peu! mener il l'es deux courbes quatre tangentes l'oiiiuiunes MN, M'iN', M,N,. MJNî, 4]ui sont parallèles ileu\ à deux et svmétriquenient placées par rapport aux axes Ox et 0:. Le» équations de ces tangent^ communes sont faciles à obtenir. En ef- '''*'**' fet, si l'on désigne par m le coelficienl

d'inclinaison d'une droite tangente au cercle, un a pour l'équation

de cette iHiigente

:--^ mx-^hUi-i-m*;

de m^me, en représentant par m' le coeâicient d'inclinaison d'une droite tangente à l'ellipse, on a pour l'équation de celte tangente

Pour les langenli!s conmmties m doit être égal à m, et les dew équations précédentes doivent représenter la même droite, ce qoi n'est possible qu'autant que ces équations sont identiques et que l'on a

d'ob

Les quatre tangentes communes sont donc données par l'équatioii

Les deux droites MMj et M'Mi, menées par le centre perpendiculairement aux tangentes communes, ont pour équation

ces droites sont par conséquent normales aux sections circulaires de l'ellipsoïde (E) ou premier ellipsoïde de Fresnel , dont l'équation est

Il résulte de là, d'après les propriétés de cet ellipsoïde, qu'une onde plane perpendiculaire à l'une des droites MMj, M'Mi, c'est-àdire parallèle à l'un des plans qu'on peut mener perpendiculairement à celui des xz par les quatre tangentes communes, se propage sans altération quelle que soit la direction du déplacement dans son plan, et que la vitesse de propagation de celte onde est indépendante de la direction du déplacement. Une onde plane normale à l'une des droites MM|, M'M| n'offre donc pas de polarisation déterminée. Nous appellerons ces deux droites les axes optiques du cristal, car par cette propriété elles sont analogues à l'axe unique d'un cristal à un axe.

Les plans menés perpendiculairement au plan des xz par les quatre tangentes communes touchent chacun la surface de l'onde en deux points situés dans le plan des xz; mais nous allons démontrer que chacun de ces plans touche en outre la surface en une infinité d'au* très points. Cherchons à cet effet quels sont sur la surface de l'onde les points où le plan tangent est perpendiculaire au plan des xz. Si l'on représente par

l'équation de la surface de l'onde, les coordonnées de ces points doivent vérifier la condition

r)3fl DOUBLK KKKBACTION.

Biot se servait d'une seconde règle divisée R', fixée en un point de la règle R et pouvant faire avec celle-ci un angle variable; il s'arrangeait alors do façon à faire coïncider l'image ordinaire d'une division de la règle R avec l'image extraordinaire d'une division de In règle R'.

l/l7. EiLpérlencMi relatives • to vlteMe du rmjmm ordl- ■mire. — La théorie de Fresnel montre que la vitesse du rayon ordinaire dans un cristal à un axe doit être indépendante de sa direction. Cette loi fondamentale a été soumise par plusieurs physiciens au contrôle de l'expérience,

Brewster^'l accola l'un à l'autre par la base deux prismes de spath, d'angles réfringents exactement égaux, mais dont le premier avait ses arêtes parallèles à l'axe tandis que les arêtes du second 'taient perpendiculaires à l'axe. En regardant a travers ce prisme composé une mire parallèle à l'arête réfringente, il constata que les deux parties de l'image ordinaire de cette mire se trouvaient exactement dans le prolongement l'une de l'autre, ce qui prouvait que lans les deux prismes le rayon ordinaire, bien que suivant des directions diversement inclinées par rapport à l'axe, avait éprouvé des réfractions égales. Oe procéçhî n'est autre que celui dont s'est servi Fresnel pour faire voir que dans les cristauv à deux axes il n'existe pas de rayon ordinaire.

Quelques années après les expériences de Brexister, M. Sx^an-* mesura directement l'indice ordinaire du spath au moyen de prismes taillés dans différentes directions. Il employait la méthode du minimum de déviation et opérait avec la lumière mon oc.hronia tique de falcool salé. Il obtint ainsi les résultats suivants :

INDICE ORDIXAIIIE Dl' SFATI.

Rayon réfracté parallèle h Fax»» i, 658367

perpendiculaire à lave i.6iî8.*J66

— incliné de 45 degi'és sur Taxe. ... i ,658385 . incliné de 6o degrés sur Taxe. . . . 1.658389

• l3'* Hep. qfBrit. A$nor., p. 7. ' '* Edinh. Trati»., \Vl, *\']^i.