DOUBLE RÉFR4CTI0N DANS LES CRISTAUX À DEUX AXES

1^8. Wmrwne de la muwUkme dé l'onde dans les ertotawx à deuiL aiLes. — Les cristaux à deux axes sont ceux qui n'appartiennent ni au système cubique ni au système rhomboédrique. Dans ces cristaux les vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité , vitesses que nous avons représentées par a, h, c, sont inégales, et la surface de l'onde a pour équation

Lorsque a, b, c ont des valeurs différentes, comme cela arrive pour les cristaux à deux axes, la surface de l'onde est une surface du quatrième degré à deux nappes , indécomposable en surfaces du second degré. Pour nous faire une idée de la forme de cette surface, nous allons considérer ses sections par les trois plans dos coordonnées. Nous supposerons que l'on ait

l'axe des x est alors ce qu'on appelle l'axe de plus grande élasticité; l'axe des z est l'axe de plus petite élasticité et l'axe des y est l'axe de moyenne élasticité.

En faisant successivement, dans l'équation delà surface de l'onde,

on voit que la section de la surface par le plan des y: se compose d'un cercle

et d'une ellipse

la section par le plan des xz se compose d'un cercle

ou, en désignant par u le premier membre de cette équation,

La tangente menée à cette courbe en un point dont les coordonnées sont X, z est représentée par l'équation

du / , y. , du i , V

d'ailleurs on a

/ du dF AdF

\ dx dx ^dy^

j du dF CdF

[ dz^dz ^dy

dV //F dv Si l'on donne dans jZ' "T" » "r ^^^ coordonnées x^y, z les valeurs

f , i;, Ç qui conviennent au point singulier, il vient

dF dF dF

ai = o, j^ = o, j^=o,

et par suite

du du

dx ^ dz '

L'équation (&) prend donc, lorsque le point de contact de la tangente se confond avec le point singulier, la forme o « o, ce qui prouve que, si on coupe la surface de l'onde par un plan passant par un de ses points singuliers, la courbe d'intersection présente en général en ce point singulier un point double, c'est-à-dire un point par lequel on peut lui mener deux tangentes distinctes. Il résulte de là que les tangentes aux courbes qu'on peut tracer sur la surface de l'onde par le point singulier ne sont pas contenues dans le même plan et forment une surface conique ; tous les plans tangents à cette surface conique, que nous appellerons le cône de contact, peuvent être considérés comme tangents à la surface de l'onde au point singulier. Les perpendiculaires abaissées du centre sur ces plans tangents forment un second cône que nous allons démontrer être du second degré.

Remarquons à cet effet que le coefficient d'inclinaison -r- de la

5/i8 DOUBLE RÉFRACTION.

tan^^ente à la courbe représentée par i'équation (3) est donné en

général par la relation

du dz dx

dx du '

au point singulier, le second membre de cette équation prend la forme -y et la véritable valeur de t- est

d*u d*u dz

dz dx^ dxdz dx

dx d^udz '. d^u '

dz* dx dxdz

d» ^ ou

//.x d*u fdz\2 Jtt dz d*u

y^) (FJKdii) '^^dxdzdi'^dx'"'^'

Lorsque les deux racines de cette équation sont réelles et ont des valeurs différentes, le plan représenté par Téquation (9) coupe la surface de Tonde, et la courbe d'intersection a, au point singulier, deux tangentes qui sont les droites suivant lesquelles ce plan coup« le cône de contact. Si les deux racines de Téquation (6) sont égales entre elles , c'est-à-dire si l'on a

'^z) [d^dzj dx' dz' ~ ^'

le point singulier est un point de rebroussement pour la projection de la courbe d'intersection, et par suite pour cette courbe elle-même; il n'y a donc dans ce cas qu'une seule tangente à la courbe d*intersection au point singulier, et le plan qui en coupant la surface de l'onde détermine cette courbe est tangent au cône de contact. Il résulte de là que, si dans l'équation (7) on donne aux coordonnées X, y, z les valeurs qui conviennent au point singulier, on obtiendra entre les paramètres A, B, C qui entrent dans l'équation du plan .sécant une équation de condition exprimant que ce plan est tangent au cône de contact.

Pour effectuer ce calcul, différentions les équations (5); nous

CRISTAUX A DEUX AXES. 5'i9

aurons ainsi

dVi cPF A JF A'JF

^^ C JF C'JF cTu <PF C (fF A (fF , ACcfF

"Tin

dœdz dxdz iidxdy bdydz ' V d/

Cherchons ensuite les valeurs que prennent les dérivées secondes de la fonction F lorsqu'on y remplace x, y, z par Ç, u^K» ^ous trouverons pour ces valeurs

cPF dxdz

- aac -1 — î

d'où l'on tire

(TF

dxdy

cTii , rt*-i-t* . n^^ — TTrrr. — r^ AC

— 4ac^V'(««-6^)(6^-c^)-^(«^ -:t^)(6^-c-^).

Si l'on porte ces dernières valeurs dans l'équation (7), elle devient

On a d'ailleurs, d'a[jrès les formules qui donneift ^ c*t ^,

et par suite l'équation (8) peut tHre mise sous la forme

ou

(9) ffV2B-'4-cn'^C-+''^<i'^?- ^i"--fr-')Ç<A(; o.

ou bien

ëquatioii qui se décompose en deux autres,

y .-- o et

(3 ) {a^+y^) x2-h a4-y*-4- (c^-f f^^) z"^ - A^ {«-'-hc*-^)-- o.

La première de ces équations donne ie$ points de contact situés dans le plan des œz; la seconde représente un eilipsoidc. Si, entre Téquation de cet ellipsoïde et celle de la surface de Tonde, on élimine y^, on obtient une équation qui n*est autre que celle de la projection sur le plan des xz du lieu cherché. Le premier membre de cette équation se décompose en quat;*e facteurs, de sorte qu'elle peut être mise sous la forme

Cette dernière équation représente le système des (|uatre plans menés par les quatre tangentes communes perpendiculairement au plan des xz; d'oii il résulte que chacun de ces quatre plans touche la surface de l'onde en une infinité de points. Les couri>es de contact ne sont antres que les courbes suivant lesquelles rellipsoîde représenté par l'équation (3) est coupé par ces plans, et il est facile de voir que ces courbes sont les sections circulaires de cet ellipsoïde. 11 existe donc quatre plans qui touchent chacun la surface de l'onde suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire a l'un des axes optiques. Ces plans sont représentés par l'équation

iNoas les appellerons les plans tangenla anigulien de la surfai:e de Ponde.

Les différences que l'on constate entre les indices ainsi déterminés sont assez faibles pour pouvoir être attribuées aux erreurs d'observation; elles ne portent, en effet, que sur la cinquième décimale, et il faut tenir compte de ce que la lumière employée n'est pas rigoureusement monochromatique.

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