DOUBLE RÉFRACTION DANS LES CRISTAUX À DEUX AXE

148. F^rme 4e la sarfiMe 4é l'ande dana les à 4«ux axes. — Les cristaux à deux axes sont ceux qui n*appartiennent ni au système cubique ni au système rhomboédnque. Dans ces cristaux les vitesses de propagation des ébranlements parallèles «1UX trois axes d'élasticité , vitesses que nous avons représentées par rt, h, c. sont inégales, et la surface de l'onde a pour équation

Ijorsque a, h, c ont des valeurs différentes, comme cela arrive pour les cristaux à deux axes, la surface de l'onde est une surface du quatrième degré à deux nappes, indécomposable en surfaces du second degré. Pour nous faire une idée de la forme de cette surface, nous allons considérer ses sections par les trois plans des coordonnées. Nous supposerons que l'on ait

l'axe des x est alors ce qu'on appelle l'axe de plut grande ^^ùtiUi l'axe des z est l'axe de plus petite élaêtitité et l'axe des y est l'axe de moyenne flwttidtf.

En faisant successivement, dans l'équation de la surface de Tonde.

on voit que la section de la surface par le plan des y: se compose

d'un cercle

et d'une ellipse

la section par le plan des xz se compose d'un cercle

IMlarisation chromatique, et 6t tomber sur Tune des faces de cette lame un faisceau incident très-mince SI (fïg. loi), limité par deux écrans dont l'un était placé en CD à une certaine distance du rrislal ,

tandis que l'autre était formé d'une mince feuille de métal appliquée sur la face AB du cristal et percée en I d'une très-petite ouverture. En faisant pisser la lame cristalline parallèlement à elle-même, il pouvait changer l'angle d'incidence; les rayons émergents étaient reçus sur un petit écran en papier argenté placé en EF et dessinaient en général sur cet écran deux points lumineux: mais, en faisant varier graduellement l'angle d'incidence, on voyait à un certain moment ces deux traces s'élargir et se rejoindre en formant un anneau brillant continu. Cet anneau, conformément à la théorie, conservait la mime grandeur quelle que fât la diiilance de l'écran EF à la lame cristalline; mais ses dimensions étaient d'autant plus considérables que la lame était plus épaisse.

Pour mesurer l'angle d'incidence , Lloyd recevait sur un écran placé en GH le faisceau qui se n'Iléchissait en 1 à la première face de la tamc, et marquait sur cet écran te point k où venait aboutir le faisceau rélléchl ; il enlevait ensuite le cristal et disposait un théodolite de fafon que son aie de rotation passât par le point I: il pouvait ainsi mesurer l'angle SIK égal au double de l'angle d'inci-

149. liOis de la d«uMe réÊtmmiàmm dans les crtoiMRm m deux axes. — Lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à l'un des trois axes d'élasticité , c'est-à-dire se confond avec une section principale, la construction de Huyghens devient plane, et par suite les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence. De ilus, dans ce cas, Tune des courbes suivant lesquelles la surface de 'onde est coupée par le plan d'incidence se trouve toujours être un cercle, d'où il résulte que l'un des deux rayons réfractés suit la loi dés sinus ; ce rayon prend le nom de rayon ordinaire. L'indice de

réfraction du rayon ordinaire est égal à - dans le plan des jz, à .

dans le plan des xz, à - dans le plan des xy. Les trois quantités *- 1 T ? - sont ce qu'on appelle les trois indices principaux du cristal.

r4es trois indices peuvent être déterminés par la méthode du minimum de déviation, au moyen de trois prismes taillés parallèlement aux trois axes d'élasticité du cristal, et la connaissance de ces indices suffit pour définir le cristal au point de vue optique.

Lorsque , dans un cristal à deux axes , la face d'incidence est perpendiculaire à l'un des axes d'élasticité et que le rayon incident est normal , les deux rayons réfractés suivent la même direction , mais ces rayons se propagent dans le cristal avec des vitesses différentes; d'où il suit que, si la face d'émergence n'est pas parallèle à la face d'incidence, les deux rayons émergents ont des directions différentes. Les axes d'élasticité dans les cristaux à deux axes ne jouissent donc pas des mêmes propriétés que l'axe unique dans les cristaux à un axe.

En se reportant à la forme des sections faites dans la surface de l'onde par les trois plans des coordonnées, il est facile de voir que, si le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité, le cristal à deux axes se comporte comme un cristal à un axe attractif; si, au contraire, le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, le cristal à deux axes présente les propriétés d'un cristal à un axe répulsif; enfin, si le plan d'incidence est perpendiculaire à Taxe de moyenne élasticité, c'est-4« dire coïncide avec le plan des xz^ comme dans ce plan le cercle et l'ellipse se coupent, le cristal à deux axes, suivant l'incidence, se montre analogue à un cristal attractif ou à un cristal répulsif.

CHISTAUX À DEUX AXES. 535

* ^ Pour dëlinir d'une ujauière absolue le signe, d'un cristal à df3ux axes , c'est-à-dire pour le ranger dans la classe des cristaux attractif^ ou dans celle des cristaux répulsifs, on remarque que, si l'angle des deux rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de Tonde tend vers zéro , le cristal à deux axes se rapproche de plus eiï plus par ses propriétés d'un cristal k un axe, lequel sera répulsif si les deux rayons vecteurs se confondent avec l'axe de plbs grande élasticité, c'est-à-dire si b devient égal à c; attractif si ce^ rayons vecteurs se confondent avec l'axe de plus petite élasticités, c'est-à-dire si b devient égal à a. Il est donc naturel de dire qu'un cristal à deux axes est attractif ou positif lorsque la bissectrice, dç l'angle aigu des deux rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'onde, bissectrice qui porte le nom de ligne moyenne, coïncide avec l'axe de plus petite élasticité, et de considérer le cristal comme répulsif ou négatif lorsque la ligne moyenne tombe sur l'axe de plus grande élasticité. On voit qu'il est un cas où le signe du cristal reste indéterminé : c'est celui où lefs rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'onde sont perpendiculaires l'un à l'aqtre.

150. lMvecil«ni émm vitorattons émwàm les crlstoux. à émmsL mKmm» — La construction générale qui donne la direction d,çs vibrations sur un rayon vecteur de la surface de l'onde montre que, dans les cristaux à deux axes, les vibrations des deux rayons qui peuvent se propager parallèlement à l'un des axes d'élasticité sont rectangulaires , et que ^ par suite . ces deux rayons , qui peuvent être considérés comme provenant d'un même rayon incident, sont polarisés à angle droit. Mais, en général, il n'existe dans les cristaux à deux axes aucune relation nécessaire entre les directions des vibrations sur les deux rayons réfractés qui proviennent d'un même rayon incident. Seulement, comme ces deux rayons réfractés forment tou^jours un très-petit angle et que les plans qui passent par un rayon vecteur de la surface de Tonde et par les deux directions des vibrations qui peuvent se propager suivant ce rayon vecteur sont rectangulaires, les plans de polarisation des deux rayons réfractés sont^ dans tous les cas , à peu près perpendiculaires l'un à Taulre.

586 DOUBLE REFRACTIOIS.

151. Vérlflc»ti«ni expértmentnles «es tels «e la «Mdble i»éiriMti«B dam les eristnux à deux axes. — Fresnei est le premier qui ait démontré que dans les cristaux à deux axes aucun des deux rayons réfractés ne suit en général la loi de De^cartes, ou, en d'autres termes, qu'il nV a pas dans ces cristaux de rayon ordinaire ^^\ Le premier procédé dont il s'est servi est fondé sur le déplacement des franges d'interférence par l'interposition d'une lame transparente, il taillait dans une topaze deux lames suivant des directions différentes et donnait à ces lames la même épaisseur en les travaillant ensemble. Il disposait ensuite chacune de ces lames devant Tune des fentes de l'appareil de Young et constatait presque toujours un déplacement sensible des franges d'interférence, ce qui prouvait qu'aucun des deux rayons réfractés ne traverse les lames cristallines avec une vitesse indépendante de la direction de ces lames par rapport aux axes du cristal.

Fresnei, sur l'invitation d'Arago, employa une méthode plus directe, qui consistait à tailler dans une topaze des lames à faces parallèles suivant des directions différentes, à coller ces lames les unes aux autres et à donner à l'ensemble la forme d'un prisme. En regardant h travers ce prisme une mire éloignée parallèle à l'arélc réfringente, il s'assura que dans chacune des deux images de la mire les parties qui correspondaient aux différentes lames ne se trouvaient pas sur le prolongement les unes des autres; si l'un des rayons réfractés suivait la loi de Descartes, l'une des images aurait nécessairement été rectiligne.

Sans parler des phénomènes de la polarisation chromatique, dont l'explication est fondée sur les lois de la double réfraction , il faut citer surtout, parmi les vérifications de ces lois pour les cristaux à deux axes, les expériences demeurées classiques de Rudberg^^^; ce physicien mesura les trois indices principaux do l'aragonite et de la topaze iircolore pour les principales raies du spectre et s'assura que, dans ces cristaux, toutes les fois que le plan d'incidence se confond avec une section principale , l'un des rayons réfractés suit

(*^ Ann. de phys. 9i de chim.y (3), l. XX, p. 337* — Œttvreu cofnpièteê d'Arago, L X, p. iA(>.

<«) Pogg,Ann.,\M\, 1.

CRISTAUÎi A DEUX AXES. 537

la loi de Descartes; il employait à cet effet des prismes tailles parallèlement aux trois axes d'élasticité. Plus récemment, M. Heusser^^^ a déterminé par le même procédé les constantes optiques d^uii certain nombre de cristaux à deux axes.

M. de Senarmont a appliqué à la vérification des lois de la doublé réfraction une méthode qui est analogue a celle de Wollaston et qui consiste à observer les phénomènes de la réflexion totale sur l'une des faces du cristal , en mettant cette face en contact avec un liquide plus réfringent que le cristal ^^K II faisait arriver sur la première face du cristal un cône de rayons émanant du foyer d'une lentille; ces rayons venaient rencontrer la seconde face sous des incidences différentes, et certains d'entre eux subissaient la réflexion totale. Gomme, dans le cristal, la valeur de l'angle d'incidence h partir duquel il y a réflexion totale dépend de la couleur, la région de la seconde face du cristal sur laquelle s'opérait la réflexion totale était limitée par un iris dont la forme et la position pouvaient être assignées d'avance au moyen de la théorie. M. de Senarrilont a fait porter ses expériences aussi bien sur les cristaux à deux axes que sur les cristaux a un axe, et, dans les cas les plus divers, l'accord entre les résultats de ses observations et ceux de la théorie s'est maintenu d'une manière satisfaisante.

Mais c'est dans les phénomènes de la réfraction conique intérieure et extérieure qu'il faut chercher la confirmation la plus éclatante de la théorie de Fresnel. La découverte théorique de ces phénomènes est due à Hamilton ^'^ et leur constatation expérimentale à Lloyd (*).

. 152. Propriétés 4es normales aux sectlsns circulaires dû premier ellipsoMe. — Axes optiques ou 4e réfroetioB conique intérieure. — Les plans tangents à la surface de l'onde ne touchent en général cette surface qu'en un seul point ; mais il existe, comme nous allons le faire voir, quatre plans tangents qui

<»^ Po^. .t«ii., LXXXVlI,/i56.

.^'^ C, B.f XLII, <M. — Jouni. de LutuvUle, i8j(), p. 3o5.

^^> Trans. of h. /IfW., \V, 69; XVI, 1,9^.

^*^ Frans. cf Ir. Acad.y XVII, 3.

538 DOUBLE REFRACTION.

toucbenl chacun la surface de l'onde en une inlinilé de poinls formant une courbe.

Considérons en effet la section de la surface de Tonde par le plan des xz, c'est-à-dire par un plan peipendicuiaire à t'axe de moyenu

(plasticité : cette xection se compose (Tuo

cercle

e( d'une ellipse

iV,

i|ui se coupent, iiiusi que le montre la ligure ç)8, en <jualre points. On peut mener Ji ces deuï courbes quatre tanfjentes communes MN, M'N', M,i\,. W^y, qui sont parallèles deux à deux et symétriquement placées par rapport au\ axes 0« et Oz. Les équations de ces taiifreiites communes sont faciles à obtenir. En cf- '*■*'■ fet, si l'on désigne par m le coefficient

d'inclinaison d'une droite tangente au cercle , on a pour l'équation

de cette tangente

; - mx ± A y t + m* ;

de même . en représentant par m' le coefficient d'inclinaison d'une droite tangente à l'ellipse, on a pour l'équation de cette tangente

Pour les tangentes conmiunes m doil être égal à m', et les deiK équations précédentes doivent représenter la même droite, ce qui n'est possible qu'autant que ces équations sont identiques et que l'on a

iï{i+m') — e»w*+a^,

d'oh __

CRISTAUX À DEUX AXUS. 539

Les quatre tangentes communes sont donc données par l'équatioa

Les deux droites MMj et M'Mi, menées par le centre perpendicu- Idirenient aux tangentes communes, ont pour équation

ces droites sont par conséquent normales aux sections circulaires de Tellipsoïde (E) ou premier ellipsoïde de Fresnel , dont l'équation est

Il résulte de là, d'après les propriétés de. cet ellipsoïde, qu'ube onde plane perpendiculaire à Tune des droites MMi, M'Mi, c'est-àdire parallèle à l'un des plans qu'on peut mener perpendiculairement à celui des xz par les quatre tangentes communes , se propage sans altération quelle que soit la direction du déplacement dans son plan, et que la vitesse de propagation de cette onde est indépendante de la direction du déplacement. Une onde plane normale à l'une des droites MM^, M'M'i n'offre donc pas de polarisation déterminée. Nous appellerons ces deux droites les axes optique$ du cristal, car par cette propriété elles sont analogues à l'axe unique d'un cristal à un axe.

Les plans menés perpendiculairement au plan des xz par les quatre

tangentes communes touchent chacun la surface de l'onde en deux

points situés dans le plan des xz; mais nous allons démontrer que

chacun de ces plans touche en outre la surface en une infinité d'au*-

tres points. Cherchons à cet effet quels sont sur la surface de l'onde

les points oi!i le plan tangent est perpendiculaire au plan des xz.

Si l'on représente par

l'équation de la surface de l'onde, les coordonnées de ces points doivent vérifier la condition

5i0 DOUBLE RÉFRACTION.

ou bien

équation qui se décompose en deux autres,

(3 ) («2+//^) x2-f ab''y--\- (c2+ b^) z:^ - b^ {«-'-f-c^j- o.

La première de ces équations donne ie$ points de contact situés dans le plan des xz; la seconde représente un ellipsoïde. Si, entre Téquation de cet ellipsoïde et celle de la surface de Tonde, on élimine y^y on obtient une équation qui n'est autre que celle de la projection sur le plan des xz du lieu cherché. Le premier membre de cette équation se décompose en quatre facteurs, de sorte qu^ellc peut être mise sous la forme

KVf«-î»^" Vfc^^^ (^--v/S^-Vft^) ~'^"

xU +

Cette dernière équation représente le système des quatra plans menés par les quatre tangentes communes perpendiculairement au plan des xz; d'où il résulte que chacun de ces quatre plans touche la surface de l'onde en une infinité de points. Les courbes de contact ne sont autres que les courbes suivant lesquelles Tellipsoïde représenté par l'équation (3) est coupé par ces plans, et il est facile de voir que ces courbes sont les sections circulaires de cet ellipsoïde. 11 existe donc quatre plans qui touchent chacun la surface de l'onde suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire « l'un des axes optiques. Ges^ plans sont représentés par l'équation

Nous les appellerons les ptuns tangenla singuliert de la surface de Tonde.

Les pieds des perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangents au c6ne de contact, devant se trouver à la fois sur une sphère et sur un plan, sont situés sur une circonférence. Cette circonférence passe évidemment par le point singulier I et aussi par le point P pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente IT' menée h l'ellipse par le point I. Nous voyons en définitive que les perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangents au cône de contact forment un cône du second degré ayant pour base un cercle dont le plan coupe le plan des xz suivant la tangente menée à Fellipse par le point singulier et qui a pour diamètre la portion IP de cette tangente. Le cône de contact est par suite lui-même du second degré.

Il résulte immédiatement de ce qui précède que , suivant chacun des rayons vecteurs de la surface de Tonde qui aboutissent à un point singulier, peuvent se propager avec la même vitesse une infinité de rayons auxquels correspondent une infinité d'ondes planes qui se propagent avec des vitesses différentes et qui sont normales aux génératrices d'un cône du second degré.

Pour avoir la direction des vibrations sur l'un des rayons qui se propagent suivant 01, il faut projeter ce rayon sur l'onde plane correspondante, c'est-à^ire joindre le point I au pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette onde plane. Si donc, dans le cercle qui a pour diamètre IP et dont le plan est perpendiculaire à celui des xz, on mène les cordes qui passent par le point I, on aura les directions des vibrations sur les différents rayons qui se propagent suivant 01.

155. Réfvmcti«B mowàUpÊm extérlciurc. — Expériences de IJejr'. — Supposons que dans un cristal À deux axes se meuve un rayon 01 (fig. io&) parallèle à l'un des rayons vecteurs de la surface de l'onde qui aboutissent h un point singulier, c'est-à-dire parallèle à l'un des axes de réfraction conique extérieure. La construction de Huyghens appliquée à ce cas donnera, puisqu'on peut mener une infinité de plans tangents à la surface de l'onde dans le cristal au point oii elle est rencontrée par le rayon 01 prolongé « une infinité de rayons émergents formant un cône creux MIN. Si

Ui DOUBLE RI^.FRACTIOY

tous les cristaux connus, ce cylindre difl^re peu d'un cj-liddre à base

circulaire.

Il est facile de trouver la direction des vibrations sur chacun d«s rayons réfractés qui constituent le c6oe dont nous venons de parier: cette direction s'obtiendra en effet en projetant chacune des géaè^ ratrices de ce cAne sur te plan langent à la surface de l'onde , c'està-dire sur la hase du cAne. Si donc nous prenons pour plan de 6gure le plan du cercle suivant lequel le plan tangent singulier touche la surface de l'onde (fig. loo), et si le rayon perpendiculaire au plan de ce cercle rencontre la cirronrërence en M, la direction des vibrations sur la génératrice du cAne qui passe par le point M' de la circonférence sera la pvjeclioD de cette génératrice sur le plan du cercle et s'obtiendra par suite enjoignant le point M au point M'. Les directions des ribrations sur les diS^ rentes génératrices du cAne sont donc parallMes aui rordes qu'on peut mener dans le cercle par le point M. Il résulte de U que, sur deui ^"i- "*- rayons qui rencontrent la

circonférence en deu\ points ilianiétralement opposés, tels que W et M', les vibrations sont rectangulaires, et que ces rayons sont polarisés à angle droit.

Toutes ces conséquences de la théorie ont été vérifiées expérimentalement par Uoyd sur l'ïnritalion d*Haniilton. Pour constater le fait de la réfraction conique intérieure, Lloyd fit choix de l'aragonitp, tant parce que la théorie indique pour l'ouverture du cAne intérieur dans ce cristal une valeur plus considérable que dans la plupart des auln>s substances, que parce que ses trois indices principaux avaient été mesurésavec le plusgmnd soin par Rndherg.

Il tailla une lame d*aragonite de façon que ses deux faces fussent perpendiculaires à la direction de la ligne moyenne, direction qui avait été délemiinée préalablement au moyen des phénomènes de

polarisation chromatique, H 6t tomber sur l'une des faces de cette lame un faisceau incident très-mince SI (fig. loi), limité par deux écrans dont l'un était placé en CD à une certaine dbtance du rristal ,

tandb que l'autre était formé d'une mince feuille de métal appliquée sur la face AB du cristal et percée en I d'une très-petite ouverture. En faisant glisser la lame cristalline parallèlement h elle-même, il pouvait changer Tan^e d'incidence; les rayons émergents étaient reçus sur un petit écran en papier argenté placé en ËP et dessinaient en général sur cet écran deux points lumineux; mais, en faisant varier graduellement l'angle d'incidence, on voyait à un certain moment ces deux traces s'élargir et se rejoindre en formant un anneau brillant continu. Cet anneau, conformément à la théorie, conservait la même grandeur quelle que fût la dîslance de l'écran EP à la lame cristalline; mais ses dimensions étaient d'autant plus considérables que la lame était plus épaisse.

Pour mesurer l'angle d'incidence, Lloyd recevait sur un écran placé en GH le faisceau qui se réfléchissait en 1 à la première face de la lame, et marquait sur cet écran le point K oà venait aboutir le faisceau réfléchi; il enlevait ensuite le cristal et disposait un théf>dolite de fafon que son aie de rotation passât par^ le point 1 ; il pouvait ainsi mesurer l'angle SIK égal au double de l'angle d'inci-

parallèle à l'un des axes de réfraction conique ; le calcul lui donna pour cet angle d'incidence iB^'aS'S^ et l'observation directe montra que la réfraction conique extérieure se produisait sous une incidence de i5^58'.

II est évident que les expériences par lesquelles on démontre le fait de la réfraction conique extérieure n'oqt de valeur que si l'ouverture B , qui limite le faisceau émergent à son origine , est trèspetite.

Les rayons qui dans la réfraction conique extérieure composent le cône émergent sont polarisés dans des plans différents. D*après ce que nous avons dit plus haut, si IM (iig. lo/i) est celui des rayons émergents qu'on obtient en menant à la surface de l'onde un plan tangent perpendiculaire à 01 , et si IN est un rayon émergent quelconque, la direction . des vibrations sur le rayon IN sera comprise dans le plan passant par ce rayon et par le rayon IM. Le plan de polarisation du rayon IN sera donc perpendiculaire au plan MIN. Cette loi peut se vérifier en observant l'aspect que prend l'anneau lumineux lorsqu'on fait passer le faisceau émergent à travers un analyseur, absolument comme dans le cas de la réfraction conique intérieure.