VS
Le rapport - étant toujours voisin de l'unité, les directions de
ces droites, qui sont les axes de réfraction conique extérieure, diffèrent peu de celles des véritables axes optiques ou axes de réfraction conique intérieure.
L'équation (i) montre de plus que les axes de réfraction conique extérieure sont normaux aux sections circulaires du second ellipsoïde , dont l'équation est
de même que les axes de réfraction conique intérieure sont normaux aux sections circulaires de Tellipsoide (E).
En chaque point singulier on peut mener deux tangentes, l'une au cercle, l'autre à l'ellipse, et les deux plans perpendiculaires au plan des xz qui passent par ces deux tangentes IT et IT' sont tangents à la surface de l'onde. Nous allons démontrer maintenant qu'outre ces deux plans il en existe une infinité d'autres qui sont tangents à la surface de l'onde au point singulier, c'est-à-dire qu'en chacun de ces points la surface de l'onde , au lieu d'être tangente à un plan unique, est tangente à un cône.
Soient en effet
l'équation de la surface de l'onde, et
l'équation d'un plan quelconque passant par le point singulier I , dont les coordonnées sont Ç, 9» ^: l'intersection de ce plan avec la surface de l'onde se projette sur le plan des xz suivant une courbe qui a pour équation
tt/ Ax-hC2-A?-Bn-CÇ \
ou, en désignant par u le premier membre de cette équation,
La tangente menée à cette courbe en un point dont les coordonnées sont X, z est représentée par l'équation
da f f V , du / , V
d'ailleurs on a
/ du dF AdF
\ dx dx Bdy'
du dF CdF
( dz dz B dy
Si l'on donne dans t"' "T" » "i" ^^^ coordonnées x^y, z les valeurs Zy ri^X, qui conviennent au point singulier, il vient
dF dF dF
et par suite
du da
dx ' dz
L'équation [k) prend donc, lorsque le point de contact de la tangente se confond avec le point singulier, la forme o -»o, ce qui prouve que, si on coupe la surface de Tonde par un plan passant par un de ses points singuliers, la courbe d'intersection présente en général en ce point singulier un point double, c'est-à-dire un point par lequel on peut lui mener deux tangentes distinctes. Il résulte de là que les tangentes aux courbes qu'on peut tracer sur la surface de l'onde par le point singulier ne sont pas contenues dans le même plan et forment une surface conique ; tous les plans tangents à cette surface conique, que nous appellerons le cône de contact, peuvent être considérés comme tangents à la surface de l'onde au point singulier. Les perpendiculaires abaissées du centre sur ces plans tangents forment un second cône que nous allons démontrer être du second degré.
Remarquons à cet effet que le coefficient d'inclinaison ^ de la
5ii8 DOUBLE RÉFRACTION.
tangente à la courbe représentée par i'équation (3) est donné en
général par la relation
du dz dx
dx du '
au point singulier» le second membre de cette équation prend la forme - » et la véritable valeur de -r^ est
Ju cPu dz
dz dx* dxdz dx
dx d^udz \ d^u '
dz* dx dxdz
//»\ (Pu (dz\i (Tu dz d?u
y^^ di^Klii) '^^ dxdzdi^d^~^'
Lorsque les deux racines de cette équation sont réelles et ont des valeurs différentes, le plan représenté par Téquation (9) coupe la surface de Tonde, et la courbe d'intersection a, au point singulier, deux tangentes qui sont les droites suivant lesquelles ce plan coupe^ le cône de contact. Si les deux racines de Téquation (6) sont égales entre elles, c'est-à-dire si l'on a
ePtt \2 (Tu d*tt
. \ ( dru \i
yn \^Tz) '~
dx* dz'
le point singulier est un point de rebroussement pour la projection de la courbe d'intersection, et par suite pour cette courbe elle-même; il n'y a donc dans ce cas qu'une seule tangente à la courbe d*intersection au point singulier, et le plan qui en coupant la surface de l'onde détermine cette courbe est tangent au cône de contact. Il résulte de là que, si dans l'équation (7) on donne aux coordonnées .T, y, z les valeurs qui conviennent au point singulier, on obtiendra entre les paramètres A, B, C qui entrent dans T^quat^on du plan sécant une équation de condition exprimant que ce plan est tangent au cône de contact.
Pour effectuer ce calcul, différentions les équations (5); nous
CRISTAUX A DEtJX AXES. 5'i9
aurons ainsi
dz^'^l? ^Bdydz^B'df (Pu d*F C (PF A (TF , ACcPF
Cherchons ensuite les valeurs que prennent les dérivées secondes de la fonction F lorsqu'on y remplace x, y, z par Ç, VtK- Nous trouverons pour ces valeurs
d'où l'on tire
(/jrj
Si Ton porte ces dernières valeurs dans Téquation (7), elle devient
On a d'ailleurs, d'après les formules qui donneift Ç el Ç, et par suite l'équation (8) peut être mise sous la forme
OU
(9) ^i*-^c2B-^ + c^A--^^'+^|2(>Çi„(,,v|.,.'ij^/:^(;..„,
550 DOUBLE REFRACTION.
Cette dernière équation exprime que le plan dont les paramètres sont A, B, C est tangent au cône de contact.
Soient maintenant x\ y\ z^ les coordonnées du pied d'une perpendiculaire abaissée du centre sur Tun des plans tangents au cAne de contact : nous aurons
En portant ces valeurs de A et de B dans l'équation (g), elle devient
(i o) a2^2y2+ c2Ç2y2|. a^^z'^- (a^+c2) ÇÇa?V= 0.
Le point I, dont les coordonnées sont ^, )?» ^, se trouvant sur l'ellipse qui fait partie de la section de la surface de l'onde par le plan des xz, on a
et l'équation (lo) peut être mise sous la forme
aH^ {x'''+y'^+z'^)=^ {a^+c^) ^x'z' + a^^^x"^+c'^H'^
Les pieds des perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangents au cône de contact se trouvent en outre sur la sphère décrite sur 01 comme diamètre , sphère dont l'équation est
et se réduit, parce que l'on a
(ta) a;'2+y''^+z'*^=ga?'+S^'.
En divisant membre l\ membre les équations (i i) et (i a)^ il vient enlin
é(|uation d'un plan perpendiculaire à celui des ;r*.
Les pieds des perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangents au cône de contact, devant se trouver à la fois sur une sphère et sur un plan, sont situés sur une circonférence. Cette circonférence passe évidemment par le point singulier I et aussi par le point P pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente IT' menée à Teliipse par le point 1. Nous voyons en définitive que les perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangents au cône de contact forment un cône du second degré ayant pour base un cercle dont le plan coupe le plan des xz suivant la tangente menée à Tellipse par le point singulier et qui a pour diamètre la portion IP de cette tangente. Le cône de contact est par suite lui-même du second degré.
Il résulte immédiatement de ce qui précède que , suivant chacun des rayons vecteurs de la surface de Tonde qui aboutissent à un point singulier, peuvent se propager avec la même vitesse une infinité de rayons auxquels correspoiident une infinité d'ondes planes qui se propagent avec des vitesses différentes et qui sont normales aux génératrices d'un cône du second degré.
Pour avoir la direction des vibrations sur l'un des rayons qui se propagent suivant 01, il faut projeter ce rayon sur l'onde plane correspondante, c'est-à-dire joindre le point 1 au pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette onde plane. Si donc, dans le cercle qui a pour diamètre IP et dont le plan est perpendiculaire à celui des xz, on mène les cordes qui passent par le point I, on aura les directions des vibrations sur les différents rayons qui se propagent suivant 01.
155. Réiraciioii conAque extérieure. — Expérieiiees de iJoyd. — Supposons que dans un cristal à deux axes se meuve un rayon 01 (fig. lo/i) parallèle à l'un des rayons vecteurs de la surface de l'onde qui aboutissent à un point singulier, c'est-à-dire parallèle à l'un des axes de réfraction conique extérieure. La construction de Huyghens appliquée à ce cas donnera, puisqu'on peut mener une infinité de plans tangents à la surface de l'onde dans le cristal au point où elle est rencontrée par le rayon 01 prolongé, une infinité de rayons émergents formant un cône creux MIN. Si
DOIIHLK IIEFH ACTION,
