COS

et pour les minima ,

'% ffi 1} ji

— -. 9f? tanffi sinî==9m- •

cosi nu " 2

Or, si l'on désigne par E l'épaisseur de la lame qui réfléchit le m''"' anneau brillant ou le m''"' anneau obscur sous l'incidence normale, épaisseur dont le double est égal à(9fii — ij-ouàam-, et

par e l'épaisseur de la lame qui réfléchit le même anneau sous l'incidence t, les expériences de MM. de la Provostaye et Desains nous

apprennent que la relation

cosi

est toujours satisfaite. Donc, pour que la formule que nous venons de trouver s'accorde avec l'expérience, il faut et il suffît que l'on ait

2c cosï = a E = ?^ - ^ «^ *ang« s"n*', d'où

1 =-t-r langui,

cos'i nu o

et enfin

sin-i f i "^tÎjJ^o-

Cette condition équivaut ù

La théorie des aniieaux cobrés nous conduit donc par une autre voie 5 cette loi, déjà vérifiée par le déplacement des franges d'interférence, que l'indice de réfraction d'un milieu par rapport à un autre est égal au rapport des vitesses de .propagation de la lumière dans le second et dans le premier milieu. *

L'explication précédente s'étend sans modification aucune au cas où le milieu supérieur est formé, comme cela a lieu ordinairement, par une lentille et non par un prisme, et où les rayons rencontrent la face supérieure de cette lentille sous une incidence quelconcpie. En effet, d'après le théorème de Gergonne, les rayons réfractés dans la lentille qui tombent sur la première surface de la lame laîace sont toujours normaux à ui»e même surXaoe, -qui ici, les rayons pouvant être regardés comme parall^es, e&t sensiblement pkne: de plus, comme nous l'avons vu précédemment (25), ces rayons arrivent en même temps aux différents points de toule surface qui leur est normale. Donc, si par le point T (fig. Sa) on mène un plan perpendiculaire à la direction commune des rayons qui se propagent dans la lentille , plan qui coupe en K le rayon SI , les deux rayons SI et ST arrivent en même temps en V et en K, et par suite le calcul de la différence de marche peut se faire comme dans le cas précédent.

Quant à la théorie des anneaux transmis sous Tincidence oblique, elle est tout à fait analogue à celle des anneaux réfléchis et n'exige aucun nouveau développement.

Les conditions d'interférence auxquelles nous sommes arrivés monlrent d'ailleurs que l'épaisseur de la lame mince qui correspond à un anneau d'un ordre déterminé est proportionnelle à la longueur d'ondulation dans le milieu qui constitue la lame, et par suite à la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu , ce qui s'accorde avec les expériences de Newton qui montrent que cette épaisseur est en raison inverse de l'indice de réfraction de la substance de la lame.

ÂO. Influence des réfleilons multiiile». — Dans la théorie des anneaux colorés telle que nous venons de l'exposer, on ne tient compte, pour expliquer soit la production des anneaux réfléchis,

84 LUMIKRi: ^U^ POLARISËK.

et proposons-nous do calculer la différence «le marche MB — MA. Nous avons

MA^yWi + («-x)2.

d'où, en remarquant que r/, dans les conditions de re\|if^rience , est toujours très-grand par rapport h a-^x et h a — x,

H vient donc pour la différence de marche cherchée, différence que nous désignerons par ^,

Or, dans le triangle AdP,

langAPC = -.;

l'angle APC étant toujours très-petit, on a, avec une approximation suffisante, en représentant par i l'angle A PB,

2 ri

--r == tang a APC -^ tang i ,

d'où

S= X lang/.

Nous avons vu plus \m\u{ comment on mesure avec le micromètre de Fresnel la distance x; quant à l'angle i, pour l'évaluer avec une grande précision, on pourrait, k condition d'observer le phénomène à une grande distance des miroirs, installer un théodolite en P et viser successivement les deu\ images A et B. Fresnel plaçait simplement en P un écran dans lequel il pratiquait un trou très-petit (fig. ii3); ce trou laissait passer deux faisceaux dont les directions moyennes étaient celles des droites AP et BP; on recevait ces deux faisceaux sur un second écran VA) parallèle à AB. En mesurant la

COULEURS DES LAMES MINCES. i&5

l'épaisseur de la lame mince soient telles, que la théorie élémentaire indique pour cette direction un minimum de lumière.

La vitesse de vibration est représentée, conune nous l'avons vu (18), par une fonction périodique du temps multipliée par un cer* tain coefficient. Désignons cette fonction par F(t); prenons pour unité le coefficient de la vitesse sur le rayon incident ; supposons que ce coefficient soit réduit dans le rapport de i à m par la réflexion è l'extérieur de la lame mince, et dans le rapport de i à m' par la réflexion à l'intérieur de cette lame; soient enfin p eip' les fractions qui expriment les rapports suivant lesquels est réduit le coefficient de la vitesse lorsque le rayon passe du milieu supérieur dans la lame mince, et de la lame mince dans le milieu supérieur.

Occupons-nous d'abord des deux rayons qu'on considère dans la théorie élémentaire , c'est-à-dire des rayons qui suivent les chemins SIR et STI^IR : ces deux rayons emploient pour atteindre un même point de IR des temps qui diflèrent d'un nombre impair de demidurées de vibration ; les vitesses qu'ils apportent en ce point sont donc égales à la même fonction périodique du temps F(/), multipliée pour le premier rayon par m et pour le second par — m'pp' Le troisième rayon, celui qui suit le chemin S'^FliriiIR, apporte en ce même point une vitesse de vibration égale à la fonction F(t) multipliée par — m^^pp' : la différence des temps employés par ce troisième rayon et par le second pour atteindre un même point de IB est en effet égale à un nombre pair de demi-durées de vibration, puisque ce troisième rayon subit trois réflexions accompagnées de changement de signe , tandis que le second ne subit qu'une seule réflexion de ce genre. En continuant de même, on voit que la vitesse qui résulte de toutes celles qu'apportent en un même point de IR les rayons qui se propagent suivant cette droite a pour coefficient

m — ( m'pp' + m'^pp'+m!^pp'+ . . . )

ou

m'pp

Le carré de cette expression est la mesure de l'intensité de la lu mière réfléchie suivant IR.

ViRDKT, V. — Optique, I. lo

1A6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Gonsidërons maintenant les rayons transmis suivant I]Ri; ii est facile de voir que , d'après Thypothèse que nous avons faite , la direction l^Ri correspond à un maximum dans la théorie ëlémentaii'e, et que par suite les différences des temps employés par ces rayons pour atteindre un même point de IiRi sont toutes égales à des multiples pairs de la demi-durée de vibration. Les vitesses que ces rayons apportent en un même point de I]Ri sont donc toutes concordantes et représentées parla même fonction périodique du temps, multipliée par jD>p' pour le premier rayon, par m'^^pp' pour le second, par m"^pp' pour le troisième , et ainsi de suite. On peut conclure de là que le coefficient de la vitesse résultante a une valeur égale à

PP

expression dont le carré représente l'intensité de la lumière tran^ mise suivant \^i.

En exprimant que les anneaux réfléchis et les anneaux transmis sont complémentaires, on obtient l'équation

d'ailleurs, puisque l'intensité de la lumière incidente est toujours égale à la somme des intensités de la lumière réfléchie et de la lumière réfractée, on a

On tire de là

et l'équation (A) devient

En effectuant les opérations , il vient successivement

m2(t-m'2)+m''^(i-m2)--Qmmy(i--m»)(i--m'^^)4-i--w^i--w^

91»'^ — QwiW^ — Qmi»'Y/( 1 — m^) ( 1 — m'^) = o ,

m'2(i~m2)-mmy(t-m2)(t-m'«)«o,

ml y i —rr? (w y i — m^ — mi/i — m'^)= o,

m'i/i —m^=myx — m'^, d'où enfin

iii=m'.

L'intensité de la lumière réfléchie suivant IR a pour mesure

en remplaçant dans cette expression m\ p, p^ par leurs valeurs , elle s'annule , d'où il faut conclure que les anneaux réfléchis obscurs sont entièrement noirs.

Il est facile de s'assurer, en suivant une marche analogue, que dans les anneaux transmis , même en tenant compte des rayons qui ont éprouvé des réflexions multiples, la différence entre les maxima et les minima est peu marquée. Sur les directions qui correspondent pour ces anneaux aux maxima l'intensité est en effet , d'après ce que nous venons de voir, égale à l'unité; sur les directions qui, pour les anneaux transmis , correspondent aux minima^ le coeflicient de la vitesse du mouvement vibratoire a pour expression

pi>' — 1»'^ pp' + m"^pp' — m^p +. . . ,

ou

;y' (i - iii'2+ m'* - m'«+. . .),

ou enfin

PP

148 LUMIERE NON POLARISÉE.

En remplaçant dans cette expression p^ p' et m' par leurs valeurs obtenues précédemment et en élevant au carré, on a pour l'intensité des anneaux transmis obscurs

valeur qui est loin d'être nulle, ce qui montre que ces anneaux he sont pas entièrement noirs et ne paraissent obscurs que par contraste.

dl. CoiiséqueiMeea de te théorie des aniieam colorés relotlves à l'eipremloiM de lo vitesoe dons le ■touveatent vibratoire. — Dans les expériences des miroirs de Fresnel et du biprisme, les rayons qui interfèrent à une certaine distance de l'appareil se séparent immédiatement pour aller interférer plus loin avec d'autres rayons; les 'rayons réfléchis par les deux faces d'une lame mince, au contraire, ne se séparent plus, une fois qu'ils ont pris la même direction, et constituent un rayon modifié d'une manière permanente par l'interférence. Si l'on admet qu'un tel rayon ne diffère des rayons incidents qui tombent sur la lame mince que par l'intensité et la phase, on arrive à une conséquence importante relative à la forme de la fonction périodique du temps qui représente la vitesse du mouvement vibratoire estimée suivant une direction dé terminée.

Nous avons vu précédemment (25) que le déplacement d'une molécule vibrante suivant" une certaine direction est représenté par une série trigonométrique réduite aux termes de rang impair; la vitesse, étant la dérivée du déplacement par rapport au temps , sera exprimée par une série de même forme. Soient donc deux rayons de même intensité, se propageant suivant la même droite et présentant une différence de marche équivalente à un temps ^ : les vitesses de vibration v et v\ estimées sur ces rayons suivant la même direction , auront pour expression en un même point

v = A, sin m [t + 6i) + A^ sin ini{t + 6'j^) + \^ sin 5w {t + 0^)+..., i/=Aisin m (/+ô,+?)+A3sin3m i^t+ff^+:fi) + \^iimhm{t+9^+^)+ . . . .

La vitesse du mouvement vibratoire qui résulte de la superposition des deux rayons a toujours pour composante, parallèlement à la direction considérée , v + »'.

Or, si Ton fait

^ (afi-M)m

n étant un nombre entier quelconque, les termes qui ont pour coefficients A(,:.+i), A3(,n-t.i), A5(,»4-i)9« • •> ct généralement A(fjk+i) (»ih-i), manqueront dans le développement de v + v\ H résulterait de là que le mouvement vibratoire sur le rayon formé par la superposition des deux rayons interférents sérail représenté par une série dans laquelle, pour certaines valeurs de la différence de marche, pourraient manquer plusieurs termes; il serait alors inexplicable que sur ce rayon la nature du mouvement vibratoire fût indépendante de la différence de marche, sauf en ce qui touche l'intensité et la phase. Pour faire disparaître cette difficulté, il faut admettre que la série qui, dans le mouvement vibratoire lumineux, exprime le déplacement d'une molécule vibrante suivant une direction quelconque se réduit à son premier terme, et que par conséquent il en est de même de la série qui représente la vitesse.

La valeur de cette démonstration est subordonnée à celle de l'hy^ pothèse que nous avons faite en supposant que, sur le rayon modifié par l'interférence , le mouvement vibratoire ne diffère que par l'intensité et la phase de ce qu'il est sur un rayon quelconque. Bien que ce point n'ait jamais été établi directement, comme l'hypothèse n'a rien de contraire à l'expérience et que les conséquences qu'on en tire s'accordent avec les phénomènes observés, nous l'admettrons, de même qu'on admet,* par exemple, que deux corps qui sont en équilibre de température avec un troisième le sont aussi entre eux, proposition qui n'a jamais sans doute été vérifiée directement.

A2. CoiileuM propres des corps. — Newton a cru trouver dans les phénomènes de coloration que présentent les lames minces l'explication des couleurs propres des corps. Suivant lui, les rayons qui tombent sur la surface d'un corps pénètrent toujours dans Tin-

»0 LUMIÈRE NOi\ POLARISÉE.

On verra par la suite qu'il existe d'autres procédés pour mesurer les longueurs d'ondulation, mais on peut dès à présent regarder comme un fait acquis l'extrême petitesse de ces longueurs, qui constitue une des différences essentielles entre le son et la lumière. Oo sera en droit de négliger la longueur d'ondulation vis-à-vis d'une distance même déjà très-petite, considération qui sera très-utile dans l'explication d'un grand nombre de phénomènes; de plue, la |)etitesse des longueurs d'ondulation montre que les distances moléculaires peuvent ne pas être négligeables vis-à-vis de ces longueurs, hypothèse que l'on est forcé d'adopter pour rendre compte des phénomènes de la dispersion.

Enfin, l'immensité du nombre des vibrations qui s'accomplissent pendant l'unité de temps est aussi un élément important dans U théorie des phénomènes lumineux ; car, même lorsqu'il s'agira d'un intervalle de temps extrêmement court, on sera autorisé à admettre qu'il s'accomplit pendant cet intervalle un nombre excessivement grand de vibrations ^^\

23. Uaaitotioii du nombre de» tvmngem. — Dans la lumière blanche les franges d'interférence sont peu nombreuses et disparaissent dès qu'on s'éloigne de la frange centrale. Il est facile de rendre compte de ce fait. Considérons à cet effet un point pour lequel la différence de marche des rayons interférents est égale à S^ et supposons que ce point soit le milieu d'une frange brillante pour une couleur dont nous représenterons la longueur d'oudulatioii par Xj ; nous aurons

a - aw — •

Ge même point occupe le milieu d'une frange obscure pour une couleur dont la longueur d'ondulation X^ satisfait à ta condition

('^ En acoustique, les trois élt'inenls A, V el T, c'esl-à-diiH» la longueur irondulalion, la viteste de pro|>agati(*Q et la durée de U vibration, peuvent se mesurer diredemenl, d'où résulie une vérification qui nVxitle pas en opUqiar , la diir^ df» vibraCioiis lumî* a<Hises ^happant à toul« deli^rminalion expérimentale.

On tire aisëment de là

donc, dès que n acquiert une valeur un peu considérable, on, ea d autres termes, dès quon s'écarte notablement de la frange cen* traie , le maximum d'intensité relatif à une certaine couleur coïncide avec le minimum correspondant à une couleur très-voisine : de là une compensation d'oiï^ résultera pour rœil l'impression de la lumière blanche , bien que la lumière ainsi obtenue se distingue , comme nous le ferons voir plus loin , de la lumière solaire par cer» laines propriétés qu'il est possible de mettre en évidence.

Avec la lumière transmise par les milieux monochromatiques qu'on emploie ordinairement, lumière qui est loin d'être absolument homogène, le nombre des franges, bien que beaucoup plus consi- . dérable que dans la lumière blanche , est encore limité par la raison qae nous venons d'exposer, c'est-à-dire par suite de la superposition des franges brillantes et obscures correspondant à des rayons dont les rëfrangibilités sont très-peu différentes.

Cependant Fresnel , n'ayant pu observer plus d'une centaine de franges avec la lumière transmise par un verre rouge, se crut autorisé h en conclure qu'il est impossible de faire interférer deux rayons, même complètement homogènes, lorsque la différence de marche est tant soit peu considérable, impossibilité qu'il attribuait aux changements rapides survenant dans l'état de la source lumi« neuse. Cette opinion s'est conservée dans la science jusqu'à l'époqne où les expériences de MM. Fizcau et Foucault, sur lesquelles nous reviendrons plus loin, ont prouvé que les rayons lumineux conservent la propriété d'interférer, même lorsque la différence dé marche s'élève à plusieurs milliers de longueurs d'ondulation.