PROPAGATION DE LA LUMIÈRE DANS UN MILIEU HOMOGÈNE

/|9. ComMnaiMii du principe de Huyfplteiis avee celui des interférenees. — C'est à Huyghens qu on doit, comme nous l'avons vu (1 1), la méthode si féconde de raisonnement qui consiste à regarder comme un centre lumineux chacun des points soit d'une onde se propageant dans un milieu homogène, soit d'une surface réfléchissante ou réfringente. Mais, lorsqu'il s'agit de chercher les effets produits par la combinaison des ondes élémentaires émanées de tous ces centres lumineux, la théorie de Huyghens, qui admet, sans preuve véritable, qu'il n'y a de mouvement sensible que sur l'enveloppe des positions occupées au même instant par les ondes élémentaires, devient, ainsi que nous l'avons démontré (12), complètement insuffisante.

Il était réservé à Fresnel de lever cette difficulté par une combinaison heureuse du principe des ^interférences avec celui de Huyghens, et ce progrès, le premier dans l'ordre chronologique, est aussi un des plus importants que lui doive la théorie des ondes ^^^ Grâce à cet artifice, les phénomènes de diffraction ont cessé de consstituer une exception aux lois générales de la propagation de la lumière, et on a pu les traiter comme des cas particuliers de ces lois en considérant les écrans ou les diaphragmes interposés sur le passage des rayons lumineux comme limitant la portion efficace de l'onde primitive ; les phénomènes de la réflexion et de la réfraction ont pu être réunis dans une même théorie avec ceux de la propagation de la lumière dans un milieu homogène , chaque point de la surface réfléchissante ou réfringente étant regardé comme le centre d'une onde élémentaire; enfin les effets produits par la limitation d'une telle surface se sont trouvés assimilés à ceux auxquels donne naissance l'interposition d'un diaphragme sur le trajet des rayons qui se meuvent dans un milieu homogène.

0) Voyez surtout le Supplément au deuxième Mémoire eur la Hijfrachon <>l le Métnmve eur la diffraction couronna par rAcadémie des sciences.

C'est l'étude de cette théorie générale, comprenant les phénomènes de la propagation de la lumière dans un milieu homogène , ceux de la diffraction et les lois géométriques de la réflexion et de la réfraction , que nous allons aborder maintenant. Dans le présent chapitre nous nous occuperons du cas où la lumière se meut dans un milieu homogène indéfini sans se réfléchir ni se réfracter; les chapitres suivants seront consacrés à l'explication des lois géométriques de la réflexion et de la réfraction, ainsi qu'à l'examen approfondi des principaux cas de diffraction.

Tant qu'il ne s'agira que de la propagation de la lumière dans un milieu homogène, les ondes élémentaires que nous aurons à considérer auront pour centres les différents points d'une onde émanée directement du point lumineux et que nous nommerons l'onde primitive; de plus ces ondes élémentaires correspondront toujours à des temps égaux. Pour pouvoir raisonner sur des ondes élémentaires de cette nature , on est obligé dès l'abord de faire sur leur constitution une hypothèse qui se trouve justifiée par l'accord des résultats auxquels on est ainsi conduit avec l'expérience. Remarquons en premier lieu que le mouvement vibratoire des différents points de la surface d'une onde primitive ne doit exercer aucune influence sur l'état des points qui sont situés à l'intérieur de cette onde : comme preuve expérimentale de cette assertion, on peut citer ce fait que l'interposition d'un écran opaque non réfléchissant sur le trajet de la lumière ne modifie en rien la distribution de celle-ci dans la région comprise entre l'écran et la source et n'a d'effet que sur les points situés au delà de l'obstacle. Il résulte de là que chaque point de l'onde primitive ne peut envoyer de mouvement qu'au delà du plan tangent à l'onde en ce point, et que, par suite, chaque onde élémentaire ne doit être regardée comme active que sur la moitié de sa surface qui est située au delà du plan tangent mené par son centre à l'onde primitive, tandis que sur l'autre moitié, comprise entre ce plan tangent et la source lumineuse, le mouvement vibratoire doit être considéré comme nul. Le mouvement vibratoire étant nul sur l'onde élémentaire aux points oii elle coupe le plan tangent mené par son centre à l'onde primitive , il est naturel d'admettre que l'intensité de ce mouvement croît sur* l'onde élémentaire

ï\à LUMIÈRE NON POLARISÉE.

(les rayons qui se d(^truisent par interférence se uianiCeslora par l'apparition, dans le spectre, de bandes noires (^^quidistantes et d'au* tant plus serrées que la lumière andvM'e provient d'une région plus éloignée de la frange centrale; ces bandes étant équidistantes et de même largeur ne pourront, du reste, jamais être confondues avec les raies de Frauenhofer.

Dans les expériences de MM. Fizeau et Foucault les franges d'interférence étaient rerues sur un écran muni d'une fente étroite parallèle aux franges, et l'on pouvait déplacer cet écran parallèlement k hiîméme de manière à faire coïncider la fente avec une région plus ou moins éloignée de la frange centrale. La lumière tran.smise par cette fente passait a travers un système de prismes et de lentilles disposé de façon à donner un spectre très-pur, qu'on observait h l'aide d'une lunette munie d'un réticule.

La différence de marche dos rayons qui tombent sur la fente peut se calculer directement : il suffit pour cela de coiopter le nombre «les bandes noires qui se trouvent entre deux régions déterminées du spectre. S<iient en effet /,, Xg,,.., X^ les longueurs d'ondulation qui correspondent aux milieux de ces bandes en allant do l'extrémité la moins réfrangible du spectre vers l'extrémité la plus réfrangible : nous aurons, en désignant par^ la différence de inan lie cherchée et par .r un nombre entier.

Si Ton néglige los bandes \oi>ines des extrémités du spectre el quon conqite seulement celles qui sont comprises entre les raies B et II de Frauenhofer, on aura, en désignant par X4 et X|, les Ion-

rectiligne par rapport au point ëciairë V^^K Prenons, à partir du pôle A, sur la droite BG, une série de longueurs ÂM|, M^M^, M2M5 , . . . telles . que la différence des distances de deux points de division consécutifs au point P soit égale à une demi-longueur d'ondulation ; les segments ainsi déterminés sur la droite BG porteront le nom d'arcs élémetitaîres.

Il est facile de voir que deux arcs élémentaires consécutifs envoient au point P des vitesses de signes contraires ; car à chaque point pris sur l'un de ces arcs correspond un point situé sur Tare précédent et dont la distance au point P est inférieure d'une demilongueur d'ondulation à celle du premier point au même point P, d'où il résulte que ces deux points envoient en P des vitesses de signes contraires.

La grandeur de la vitesse provenant de chaque arc élémentaire dépend évidemment de la longueur de cet arc, et elle est d'autant plus considérable que, toutes choses égales d'ailleurs, la longueur de l'arc est plus grande; on est donc conduit à étudier les variations que subit la longueur d'un arc élémentaire à mesure qu'on s'éloigne du pôle.

Gonsidérons d'abord les arcs élémentaires très-voisins du pôle , et posons

AMi = 2i, AM2 = ^2» AMj = z3, —

D'après la définition des arcs élémentaires , on*a

le triangle rectangle APMj donne d'ailleurs

d'où, en négligeant le carré de la longueur d'ondulation,

^') CeUe dénominalion est due à i^l. Lamé , qui l*a employée puur la première fuis il;iiis son Traité de pkyiique.

182 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Il vient de même

et l'on trouve ainsi pour les longueurs des ares élémentaires

MjMa = z., - z, = 0X (y/^ - 1 ) ,

MjM, = ;r, - ^2 = y/ïx (y/3 - y/â ) . M,M» = z,-c,= y/Âx(y/^-y/3).

Ces lon^jueurs sont entre elles comme les différences des racine? carrées des nombres entiers consécutifs, et, par suite, dans le voi* sinage du pôle , elles décroissent très-rapidement.

Cherchons maintenant la longueur d'un arc élémentaire NN' séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. Abais sons à cet effet la perpendiculaire NK sur PN' et désignons PN' par R. Les triangles semblables APN' et NN'K donnent

comme la droite NK se confond sensiblement avec un arc de cercle décrit du point P comme centre avec PN pour rayon , il vient

'À et

Cette expression décroît à mesure que R augmente et tend vers

une limite égale à la quantité très-petite - • Lorsque la longueur AN

comprend un grand nombre d'arcs élémentaires, la longueur de lare NN' se rapproche de cette limite et décroit très-lentement.

La longueur des arcs tels que NN', sépares du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, est d'ailleurs extrêmement petite par rapport à celle des arcs situés dans le voisinage du pôle , car la longueur de l'arc NN' est de l'ordre de grandeur de X , tandis que

celle du premier àrcélémentaire est de l'ordre de grandeur de v/x. A cause de l'extrême petitesse de la longueur d'ondulation , la droite AN, dès quelle a une grandeur appréciable, contient déjà un grand nombre d'arcs élémentaires ; on peut donc dire qu'à une distance du pAle même très-petite par rapport à AP, les arcs élémentaires se rapprochent déjà beaucoup de la limite vers laquelle ils tendent, décroissent, par suite, avec une lenteur extrême, et sont très-petits par rapport aux premiers arcs élémentaires.

Revenons maintenant à la considération des vitesses envoyées en P par les différents arcs élémentaires. Ces vitesses ne dépendent pas uniquement de la grandeur des arcs : la vitesse du mouvement vibratoire s'affaiblit en effet à mesure que ce mouvement s'éloigne du point lumineux, comme le prouve le décroissement de l'intensité lumineuse; de plus, d'après ce que nous avons dit sur la constitution des ondes élémentaires, la vitesse envoyée suivant une certaine direction doit être d'autant moindre que cette direction fait un angle plus grand avec la normale à l'onde primitive. L'influence de ces causes s'ajoute à celle du décroissement des arcs élémentaires pour rendre de plus en plus petites les vitesses envoyées au point P par ces .arcs à mesure qu'ils sont plus éloignés du pôle. La vitesse provenant de la moitié AB de Tonde rectilîgne est donc représentée par une série dont les termes, alternativement positifs et négatifs, vont en décroissant d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement. Si on prend pour unité la vitesse envoyée par le premier arc élémentaire, et si on désigne par m, ml, m",.- • les valeurs absolues des vitesses envoyées par les arcs suivants, cette série a pour expression

Etant formée de termes décroissants alternativement positifs et négatifs, la série est convergente, et comme la différence entre deux

184 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

termes consécutifs devient bientôt très-petite, sa valeur se réduit sensiblement à la somme de ses premiers termes. Une série identique représente la vitesse envoyée en P par l'autre moitié AC de l'onde rectiligne.

Deux propositions importantes se déduisent des développements précédents :

1^ L'effet d'une onde rectiligne indéfinie sur un point extérieur n'est pas sensiblement modifié lorsqu'on réduit cette onde à deux portions très-petites, situées de part et d'autre du pôle, pourvu que ces portions comprennent un grand nombre d'arcs élémentaires.

â** La valeur de la série S étant comprise entre i et i — m, la vitesse envoyée au point P par l'une des moitiés de la droite BC est une fraction de celle qu'envoie le premier arc élémentaire; donc la vitesse de vibration envoyée par une onde rectiligne indéfinie en un point extérieur est égale à la vitesse envoyée en ce point par une portion extrêmement petite de cette onde , formée de deux longueurs égales situées de part et d'autre du pôle , et dont chacune est moindre que le premier arc élémentaire.

La détermination de la valeur exacte de la série S , et par suite l'évaluation de la fraction du premier arc élémentaire dont l'action équivaut à celle de la demi-onde rectiligne, exigeraient la connaissance complète de la constitution des ondes élémentaires et ne nous seraient pour le moment d'aucune utilité.

5 1 . Eflét d'une onde plane indéfinie mir un point extérieur. — Nous allons maintenant considérer une onde plane indéfinie et chercher à évaluer l'action qu'elle exerce sur un point extérieur P. Nous appellerons encore pôle de Fonde par rapport au point éclairé P le pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur le plan de l'onde. Prenons pour plan de figure le plan de Tonde et soit A le pôle (fig. Sg); menons dans ce plan une droite quelconque X\' passant par le pôle, et divisons l'onde plane en une infinité de bandes infiniment étroites perpendiculaires à cette droite. Nous pourrons raisonner sur chacune de ces bandes comme nous l'avons fait sur l'onde rectiligne dans le cas précédent, et nous verrons ainsi que faction de l'onde plane indéfinie sur le point P est

égale à celle d'une bande de largeur variable, comprise entre deui courbes BB' et CC, qui sont symétriques par rapport à la droite XX'. La vi{es«e envoyée en P par cbaque bande infiniment étroite est

égale k une fraction de la vitesse envoyée par les premiers arcs élémentaires de cette bande situés de part et d'ailtrc de XX', et cette fraction est la même pour- toutes les bandes. Il résulte de là que la bande située entre les courbes BB' et CC, bande que nous désignerons par Z, est elle-même comprise à l'intérieur d'une autre bande, que nous appellerons Z', limitée par deux courbes DD' et EE' qui sont le lieu des extrémités des premiers ares élémentaires de ijiacune des bandes perpendiculaires à XX'; de plus, la largeur de la bande Z en un point quelconque de la droite XX' est dans un rapport constant avec la largeur de la bande Z' au même point.

Ceci posé, divisons la droite XX' en arcs élémentaires AM, , MjMs, MjMs,..., et parles points de division menons des perpendiculaires à la droite XX'; nous aurons ainsi décomposé les bandes Z et Z' en zones élémentaires, el la surface de chacune des zones élémentaires de la bande Z sera dans un rapport constant avec celle de la zone correspondante de la bande Z'.

La vitesse envoyée au point éclairé P par une zone élémentaire de la bande Z est proportionnelle à-la surface de celte zone, et, par suite, à celle de la zone correspondante de la bande Z'; de plus.

cette vitesse est en raison inverse de la dislance moyenne de la zone au point éclairé, car, l'intensité lumineuse variant en raisoa inverse du carré des distances et étant proportionnelle au carré de la vitesse du mouvement vibratoire (29 et 46), la vitesse doit être en raison inverse de la simple distance. Donc, si nous négligeons l'influence de l'obliquité, qui s'ajoute aux autres causes pour faire décroître la vitesse envoyée au point éclairé par une zone élémentaire à mesure que cette zone est plus éloignée du pMe , nous pourrons dire que la vitesse provenant d'une zone élémentaire de la bande Z a pour mesure le quotient de la surface de la zone correspondante de la bande Z' par la distance moyenne de cette dernière zone au po int éclairé. Nous sommes ainsi conduits à évaluer les surfaces des zones élémentaires de la bande Z\ La première de ces zones se confond sensiblement avec un trapèze dont la hauteur AM, est égale à y 6X et

les deux bases à 2 v/ï et à a i/( A + - j X, b désignant toujours

la distance PA du point éclairé à l'onde. La surface de cette pre« mière zone est donc égale à

[v/AX + ^(4 + ^)x]y6X,

c'est-à-dire à *î6X, en négligeant les termes qui renferment le carré de X. La surface de la seconde zone élémentaire de la bande Z' est sensiblement celle d'un trapèze dont la hauteur M]M<2 est égale à

yb\ {y a — 1 ) et les deux bases à

.^(6 4-^-)x et • '^yJ{h + -^)X:

celte surface a donc pour expression, si l'on néglige les termes en X^

^bx{^2 1).

En continuant de même on voit que, dans le voisinage du pôle, les surfaces des zones élénientaires de la bande Z' décroissent sensiblement coHune les différences entre les racines carrées des nombres entiers consécutifs, c'est-à-dire très-rapidement. Les vitesses en-

voyées en P par les zones ëlémenlàires de la bande Z qui sont Voisines du pôle, vitesses qui, en même temps qu'elles sont proportionnelles aux surfaces que nous venons de calculer, sont en raison inverse des distances moyennes de ces zones au point éclairé , décroissent plus rapidement encore.

Prenons maintenant sur la droite XX' un arc NN' séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En désignant par R la distance PN', on a, comme nous l'avons vu (50),

La surface de la zone correspondant à NN' de la bande Z' est sensiblement celle d'un trapèze dont la hauteur est NN' et dont les deux

bases sont a yRX et a i/^R — -^ X ; elle est donc égale , en négligeant toujours les termes en X^'^. à

Cette expression croissant indéfiniment avecR, les surfaces des zones élémentaires de la bande Z' peuvent devenir très-grandes lorsqu'on s'éloigne du pôle. Maif il en est autrement des vitesses envoyées en P par les zones élémentaires de la bande Z; en effet, la vitesse provenant de la zone de la bande Z qui correspond à NN' est proportionnelle à la surface que nous venons de calculer et en raison inverse de la distance moyenne de cette zone au poii\t éclairé : cette vitesse a donc pour mesure

/ XR

expression qui, lorsque R augmente indéfiniment, tend vers zéro. La vitesse envoyée en P par la première zone élémentaire de la

bande Z a pour mesure —r- ou î2X. 11 en résulte que la vitesse en-

188 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

voyée en P par une zone de la bande Z, séparée du pAle par un grand nombre d'arcs élémentaires, vitesse qui est de Tordre de X yX, est négligeable vis-à-vis de la vitesse qui provient de la première zone de celte bande.

Les vitesses envoyées au point éclairé par les zones élémentaires de la bande Z sont de signes contraires pour deux zones consécutives; de plus, d'après ce que nous venons de voir, ces vitesses décroissent en partant du pôle, d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement, de façon à devenir négligeables dès que la distance au pôle comprend un grand nombre d'arcs élémentaires; Nous sommes donc amenés à énoncer deux propositions- tout à fait analogues à celles que nous avons établies pour une onde rectiligne :

i"" L'effet d'une onde plane indéfinie sur un point extérieur m'est pas sensiblement modifié lorsqu'on supprime les parties de cette onde qui sont séparées du pAle par un grand nombre d'arcs élémentaires.

a" La vitesse envoyée en un point extérieur par la zone Z ou par l'onde plane indéfinie, dont l'action se réduit à celle qu'exerce cette zone, est une fraction de la vitesse envoyée au même point par les deux premières zones élémentaires de la bande Z, et, à plus forte raison, une fraction de la vitesse provenant des deux premières zones élémentaires de la bande Tl ; l'action d'une onde plane indéfinie sur un point extérieur équivaut par conséquent à celle d'une fraction des deux premières zones élémentaires de la bande Z\ c'est-à-dire des zones de cette bande qui sont situées de part et d'autre du pAIe.

En modifiant le mode de décomposition de l'onde plane, on peut arriver à une évaluation plus précise de la portion de cette onde dont l'action sur un point extérieur équivaut à celle de l'onde tout entière. A cet effet, du pôle A comme centre, décrivons une série de cercles tels, que les distances de leurs circonférences au point éclairé aillent en augmentant d'une demi-longueur d'ondulation. L'onde se trouve ainsi décomposée en anneaux concentriques dont la superficie ne décroît plus de la même manière que celle des zones élémentaires que nous avons considérées précédemment, mais

qui partagent avec ces zones la propriété d'envoyer au point éclairé des vitesses qui sont alternativement de signes contraires. Les rayons des cercles voisins du pôle sont égaux ù

ce qui donne pour les surfaces de ces cercles

TfbXy âTriX, 37ri^,....

Les surfaces des anneaux voisins du pôle sont donc très-approximativement égales entre elles, et comme ^ dans le voisinage du pôle, la distance au point éclairé varie très-lentement, le quotient de la surface de chacun de ces anneaux par sa distance au point éclairé, quotient qui sert de mc/sure, en négligeant l'influence de Tobliquité, à la vitesse envoyée par chaque anneau , a une valeur absolue sensiblement constante et égale à nX.

Considérons maintenant un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'autres anneaux. En désignant par R la distance de la circonférence qui limite intérieurement cet anneau au point éclairé, cette circonférence aura pour expression Q7ri/R'*~6*. En multipliant cette circonférence par sa distance normale à la circonférence

extérieure , distance qui , d'après la valeur trouvée précédemment pour

X R un arc élémentaire éloigné du pôle, est égale à - ^y on ob-

tiendra 7r>R pour la surface de l'anneau; le quotient de la surface de cet anneau par sa distance au point éclairé est encore ttX.

Donc, si la vitesse ne dépendait pas de l'obliquité par rapport à l'onde de la direction suivant laquelle le mouvement est envoyé en P, les vitesses envoyées par deux anneaux consécutifs au point P seraient égales et de signes contraires; mais Tinfluence de cette obliquité, presque nulle dans le voisinage du pôle, devient de plus en plus sensible à mesure qu'on s'en éloigne et doit, d'après l'hypothèse que nous avons adoptée sur la constitution des ondes élémentaires, rendre négligeable la vitesse provenant d'un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires. Si donc on désigne par m, m\ m",... les vitesses envoyées au point éclairé

190 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

par les anneaux en lesquels nous avons décomposé l'onde plane, nous aurons pour la vitesse envoyée en ce point par Tonde plane tout entière

série dont les premiers termes décroissent très-lentement et dont les termes d'un ordre élevé sont très-petits. Cette série peut s'écrire

Les quantités entre parenthèses sont toute*s très-petites vis-à-vis du

premier terme -m: les premières, parce que dans le voisinage du

pôle les vitesses envoyées par deux anneaux consécutifs sont presque égales; les autres, parce que ces vitesses, dès qu'on s'éloigne notablement du pôle, deviennent très-petites. La série se réduit donc

approximativement à - m, et on peut dire que :

La vitesse envoyée par une onde plane indéfinie en un point extérieur équivaut sensiblement à la moitié de celle qui est envoyée par un cercle ayant pour centre le pôle, et tel, que les distances de son centre et de sa circonférence au point éclairé diffèrent d'une demi-longueur d'ondulation.

Il faut remarquer que, pour établir cette conclusion, nous avons été obligés de faire intervenir l'influence de l'obliquité, ou, en d'autres termes, de supposer que, sur une onde élémentaire, le mouvement vibratoire devient sensiblement nul dans le voisinage du plan tangent mené par le centre de cette onde k Tende primitive.

Nous pouvons maintenant nous rendre compte , du moins dans le cas d'une onde plane, c'est-à-dire dans le cas où le point lumineux est situé à une distance très-grande, de la signification physique qu'il fatit attribuer à ce qu'on appelle la loi de la propagation rectiligne delà lumière. En effet, l'action d'une onde plane indéfinie sur

un point extérieur se réduit ù celle d'une très-petite région qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan de Tonde, c'est-à-dire le point où cette onde est rencontrée par la droite qui joint 'le point lumineux au point éclairé; donc, en supprimant cette région de Fonde, c'est-à-dire en plaçant un écran opaque en un point de la droite qui va du point lumineux au point éclairé, on fait disparaître tout éclairement, tandis qu'en supprimant tout le reste de l'onde pour ne conserver que la région efficace on ne change rien à l'état du point éclairé.

On voit par ce qui précède que les mouvements vibratoires qui existent, à un certain moment sur une onde plane se transportent, au bout d'un temps T, à tous les points d'un plan parallèle à cette onde et situé à une distance égale à VT, V élant la vitesse de propagation de la lumière. Ce dernier plan sera donc la position de l'onde plane au bout du temps T. Ainsi se trouve justifié , pour le cas des ondes planes, le principe des ondes enveloppes, établi d'une façon insuffisante par Huyghens, et en vertu duquel l'onde, dans une position quelconque, est l'enveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points d'une onde antécédente comme centres, avec des rayons égaux à la distance que parcourt la lumière pendant l'intervalle de temps qui sépare les deux ondes considérées; si l'on décrit en effet, des différents points d'un plan comme centres, des sphères de rayons égaux, l'enveloppe de ces sphères sera un plan parallèle au premier et situé à une dislance de ce plan égale au rayon des sphères.