Effet d'une onde eireulaire sur un point extérieur

— Avant d'étudier l'action d'une onde sphérique, nous allons examiner successivement l'action d'une onde circulaire d'abord sur un point extérieur situé dans son |)lan, puis sur un point situé en dehors de ce plan.

Soient encore (fig. 4o) P le point éclairé, A le pôle de l'onde circulaire, c'est-à-dire le point oii la droite qui joint le point P au centre Ode l'onde rencontre celte onde, et posons

OA^a, AP = 6.

1î26 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

lequel Newton détermina les lois de ces phénomènes, flooke cite encore les couleurs que présente l'acier trempé, les teintes de la nacre, des plumes des oiseaux, des ailes des insectes, etc. Quant à la théorie par laquelle il cherche à expliquer la coloration des iames minces, nous en avons donné une idée dans Tlntroduction (9); elle repose, comme on Ta vu, sur un principe entièrement faux.

Hooke s'était contenté de décrire les phénomènes sans prendre de mesures; c'est à Newton qu'on doit la découverte des lois qui les régissent ^^\ et on peut dire que, sous le rapport expérimental, il a été peu ajouté h ses travaux classiques sur les anneaux colorés. En |)roduisant tes anneaux avec des lumières homogènes différentes, et en remarquant qu'ils se rétrécissent à mesure que la réfrangibilité augmente, il put rendre compte de la complexité que présente la succession des couleurs lorsqu'on opère avec la lumière blanche. Ayant constaté que les épaisseurs de la lame mince pouf lesquelles cette lame réfléchit la même couleur sont entre elles comme la série des nombres impairs, il fut conduit i\ la théorie des accès, dont nous avons dit quelques mots plus haut (1 3): cette théorie, qui, avec quelques modifications, fut presque universellement adoptée, a été définitivement renversée le jour où Fresnel a montré que l'obscurité des anneaux noirs vus par réflexion est due h une absence complète de lumière , et non pas seulement à un effet de contraste avec les anneaux brillants, et que, par conséquent, il est impossible d'admettre, comme le veut la théorie des accès, que les rayons réfléchis à la première surface de la lame subsistent toujours.

. Nous avons fait connaître également les explications qu'Euler, se laissant guider par de fausses analogies , essaya de donner dn phénomène des anneaux colorés dans rhy]>othèse des ondulations (1 A); ces explications ne résistent pas h un examen approfondi , et c'est à Young (16) que revient l'honneur d'avoir le premier formulé une théorie satisfaisante des couleurs des lames minces, en s'appuyant sur le princi|ie des interférences, dette théorie fut reprise et complétée en plusieurs points par Fresnel ^''^', qui tintcompte* pour la pn^

fî»),\\lll, iî»î».

on obtient de même pour les arcs élémentaires suivants

La longueur des arcs élémentaires décroît donc très-rapidement dans le voisinage du pôle.

Considérons maintenant un arc tel que NN', séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En posant

il vient

R2 = a'^ + («4.i)2 9^(^^j)cogi.

Lorsqu'on passe du point N au point N', R croît de - et l'arc s de or, a désignant l'arc élémentaire NN' ; R étant très-grand par rapport à -, le rapport entre les accroissements des quantités R et s est

sensiblement le même que celui qui existe entre les différentielles de ces quantités. Or l'équation précédente donne par la différentiation

RrfR = (aH-i) sin-rf«;

il vient donc approximativement

<T ds R

(flH- 6)sm -

l'où

RX

2 ((H-6)sin -

Cette expression est Irès-petite par rapport à la longueur des premiers arcs élémentaires; on a en effet

<T RX /aT'fe R IZEl.

Verdet, V. — Opiiqiie, I. 1 3

Si S es! très-petit, c'est-à-dire si le point M est très- voisin du pôle, on peut négliger les termes en S^ et remplacer cos - par i — -^; il vient alors

1» > ou

. / 'ladS

On déduit de là pour les longueurs des premiers arcs élémentaires

V fl + vrf'-/.»

Ces arcs décroissent donc très-rapidement dans le voisinage du p6Ie. Poar un arc NN' sépare du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, on a, en désignant par R la distance PN,

R2 = A2-|-a2-f (a-H y/(P - h^)^ - 9fl (a+ \J<fi- lA cos -;

en désignant par a l'arc élémentaire NN' et en raisonnant comme dans le cas précédent , il vient

a ds R

(a-f-y/rf*— /i*)sin-

RX

Le rapport de cette expression à la longueur du premier arc élé-

130 LUMIÈRE NON POLARISÉE,

et ia formula prc^ri^denle so réduit à

ce qui montre que Tc^paisseur de ia lame en un point quelconque est proportionnelle au carré du rayon de l'anneau qui passe par ce point.

La comparaison des épaisseurs de la lame qui correspondent aux différents anneaux se trouve ainsi ramenée h la mesure des diamètres de ces anneaux. Plusieurs méthodes ont été employées pour effectuer cette mesure. Newton se servait simplement d'un compas , dont il plaçait les pointes sur la face supérieure de la lentille, de façon qu'elles parussent coïncider avec les deux extrémités d'un même diamètre de l'anneau qu'il voulait mesurer. Pour éviter autant que possible l'erreur due h la réfraction qu'éprouvent tes rayons lumineux en traversant ia lentille, il f>renaît les diamc'tres perpflnJiculaires au plan vertical passant par l'œil et par le centre des anneaux. L'erreur était à peu près insensiUe )(^rsqu'il qpéraît i»ou8^ne incidence voisine de l'incidence normale^ car les rayons .pnovcfiiant des deux extrémités du diamètre ^'il mesurait étaient Sùts riftiictés sous la même incidence. Mais le procédé devenait défectueux dès que l'incidence était un peu considérable : car, dans ce cas . la valeur du diamètre se trouvait altérée par ia réfraction, et la correction était difficile à calculer d'une manière tant soit peu exacte.

M. Babinet a eu l'idée de tracer sur le plan de verre inférieur un réseau formé de traits très-fins et également espacés. Les anneaux se projettent sur ces divisions , et il suflit de compter^e nombre de traits compris entre les deux extrénntés d'un diamètre.

Le procédé le pius exact est celui dont se sont servis MM. de la Provostaye et P. Desains '^K Le système formé par la lentille et le pian de verre était fixé sur une plaque horizontale en cuivre qu'on pouvait déplacer horizontalement a l'aide d'une vis microniétrique. Les anneaux étaient observés h l'aide d'une lunette mobile dans un plan wrtical perpendiculaire à la vis. On faisait d'abord coïncider le point de croisement des fils du réticule avec le centre

'^ Ann. de ckitn, et tÊf phyt», (3). XWH, 'ii.'i.

des anneaux, pois, à i'aide de ia vis, on déplaçait le Byst^e des verres jusqu'à ce que le fil vertical du réticule coïncidât avec un point de f anneau dont on voulait évaluer le rayon. La longueur dont il avait fallu faire avancer la vis était alors égale au rayon cherché.

Dans- ces conditions, aucune correction n'était évidemment nécessaire pour tenir compte de la réfraction que subissaient les rayons en traversant la lentille , pourvu que la face supérieure de cette lentille fût plane , ou du moins eût une courbure très-faible. L'angle formé par l'axe optique de la lunette avec la verticale indiquait l'angle d'émergence des rayons , ang^e qu'il était facile de faire varier en éloignant ou en rapprochant la lunette de la vis. Lorsqu'on opérait sous une incidence considérable , il était nécessaire d'arrêter au moyen d'un écran les rayons réfléchis par la surface supérieure de la lentille i rayons qui, possédant dans ces circonstances une intensité assez grande , auraient masqué les anneaux.

36. W^Êm des «Mneaum ••toréa. — Newton , en mesurant , par le procédé que nous venons d'indiquer, les diamètres des anneaux dans la lumière blanche et sous l'incidence normale , trouva que les carrés des diamètres des anneaux obscurs vus par réflexion sont entre eux comme la série des nombres pairs o,a,â,6,8,...(la tache centrale étant considérée comme le premier anneau obscur), et que les carrés des diamètres des anneaux brillants sont entre eux comme la suite des nombres impairs i, 3 , 5, 7,.... Il résulte de là, d'après ce que nous avons dit plus haut, qife les épaisseurs de ia lame mince correspondant aux maxima de lumière dans les an* neaux réfléchis sont entre elles comme la suite des nombres impairs, et les épaisseurs correspondant aux minima comme la suite des nombres pairs. Cette loi devient plus facile à vérifier lorsqu'on éclaire la lame mince avec une lumière homogène ; dans ce cas les anneaux sont beaucoup plus nombreux et les anneaux obscurs paraissent entièrement noirs. En répétant les mêmes observations pour les différentes couleurs simples, on reconnaît que les anneaux s'élargissent à mesure qu'on passe du violet au rouge, c'est-à-dire que le diamètre des anneaux augmente avec la longueur d'ondulation.

Fresnel , en comparant les nombres; trouvés par Newton pour les

i98 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

blement constant entre les zones élémentaires de ces deux bandes qui correspondent à un même arc élémentaire de RS.

Il suffit par conséquent de chercher comment varient les surfaces des zones élémentaires de la bande TI, La largeur de cette bande parallèlement à MN est égale en A à deux fois la longueur du premier arc élémentaire de MN , c'est-à-dire à

VuH-6

Prenons maintenant sur l'arc RS un point A' à quelque distance du point A; désignons par c le rayon de l'onde circulaire M'A'N' parallèle à MAN et passant par le point A', par à la plus courte distance du point éclairé à la circonférence de Tonde M'AIV', par h la distance du point P au plan M'A'N'. La largeur de la zone 21 au point A' sera , d'apaès la valeur trouvée pour le premier arc élémentaire dans le cas d'une onde circulaire agissant sur un point situé en dehors de son plan,

or, si Ton prend pour plan de figure le plan RAS (fig. /i/i) et si 0' désigne le centre du petit cercle M'A'N', on voit immédiatement que Ton a »

c+ N/^ - A2=0'A'4-\/àT'. -ÔÔ'' = OP ===« + ft: l'expression de la largeur de la bande Z' en A' devient donc

lcàX

Les deux plans BB' et CC étant toujours peu distants l'un de l'autre , c diffère peu de a , et 1/ est sensiblement égal à 6 ; la largeur de la bande 11 varie donc très-peu entre BB' et CC, et par suite les zones élémentaires de cette bande ont des hauteurs peu différentes. Les bases de ces zones, qui sont les arcs élémentaires de RS, décroissent au contraire très-rapidement. Donc les surfaces des zones élémentaires de la bande 11 décroissent très-rapidement

trè&*oblique^^^ Remarquons que , vu la faible courbure des deux faces de ia lentille, les plans tangents à ces deux faces, aux points où elles sont rencontrées par un rayon qui s'est réfléchi sur la face inférieure de la lame mince, peuvent être regardés comme sensiblement parallèles : Tangle d'incidence du rayon qui se meut dans la lame mince est donc égal à Tangle que forme le rayon émergent avec la verticale, et, pour vérifier la loi des sécantes, il- suffit de mesurer ce dernier angle, c'est-à-dire, dans le procédé de MM. de la Provostaye et Desains, de mesurer l'angle formé par l'axe de la lunette avec la verticale.

Les anneaux transmis sont toujours, quelle que soit l'incidence , complémentaires des anneaux vus par réflexion. Dans la lumière homogène, à l'épaisseur qui donne un anneau réfléchi brillant correspond un anneau transmis obscur, et réciproquement; quand on se sert de la lumière blanche, les anneaux réfléchis et transmis qui ont même diamètre sont teints de couleurs complémentaires. Arago a démontré que les anneaux réfléchis et transmis sont rigoureusement complémentaires les uns des autres, en plaçant verticalement le système des deux verres à quelque distance d'un mur blanc éclairé d'une manière uniforme : on n'aperçoit alors aucune trace de coloration sur les lentilles, ce qui prouve que les deux systèmes d'anneaux, en se superposant, se neutralisent complètement; mais les anneaux reparaissent si Ton arrête au moyen d'un écran placé entre les verres et le mur les rayons qui auraient donné naissance aux anneaux transmis ^^K

Enfin une dernière loi fournie par l'expérience est relative à l'influence de la nature de la substance qui forme la lame mince. Eh substituant l'eau à l'air. Newton reconnut que les épaisseurs de la lame mince qui, sous une même incidence , réfléchissent un anneau d'an ordre déterminé , lorsque cette lame est successivement constituée par deux milieux différents , sont en raison inverse des indices de réfraction de ces milieux. Cette loi a une grande importance au point de vue théorique : elle montre en effet que, pour le^ rayons d'une couleur déterminée, la longueur d'ondulation, et par suite

^') llémoire couronné sur la diffraclioii (OEuvieê complètrn , t. I , p.aG^ ).

300 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

dont les distances normales à cette surface sphrërique sont égales à VT, V étant [a vitesse de la propagation de la lumière. Ce» points forment une seconde surface sphérique, concentrique à la première: cette seconde surface peut être regardée comme la position de l'onde au bout du temps T, et elle est en même temps l'enveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points de l'onde primitive comme centres, *vec un rayon égal à VT.

Ainsi se trouve justifié pour les ondes sphériques le principe des ondes enveloppes.

5 A . Effet «l'uMC «ndc de ferme ^neleem^ue sur un peint

extérieur, — La question de la propagation de la lumière dans un milieu homogène n'est pas complètement résolue par l'étude que nous venons de faire des ondes planes et des ondes sphériques ; en effet, sans parier des milieux où la vitesse de propagation n'est pas la méoie dans toutes les directions, nous verrons que, même dans tes milieux isotropes, la réflexion ou la réfraction peut donner naissance à des ondes qui ne sont ni ^hëriques ni planes. Pour trouver l'action exercée par une onde produite dans ces conditions et dont la forme peut être quelconque , nous admettrons encore que chaque point de cette onde donne naissance i une onde élémentaire, et p, jj que, sur chacune de ces

ondes élémentaires, l'intensité du mouvement vibratoire devienne sensiblement nulle dans le voisinage du plan tangent mené par le centre de cette onde è l'onde primitive.

Nous examinerons en premier lieu l'action exercée sur un point extérieur P par une onde linéaire de forme quelconque , plane on non. Le pdle sera dans ce cas le point A de l'onde le plus rapproché

Aa point éclairé P (fig. &&). Prenons sur l'onde un point quelconque M, et posons