PN'^R

en développant PN' par la série de Taylor, et en négligeant les termes qui renferment des puissances supérieures à la première de Tare NN', que nous désignerons par or, il vient

flrfe=

ds

-T- est une expression numérique au plus égale à l'unité. Les arcs

élémentaires tels que NN' sont très-petils par rapport à ceux qui sont voisins du pôle, car on a

^" j,rfR V W«Vo'

expression qui est très-petite , sauf le cas où -j- a une valeur voisine

de zéro. Mais, si^ a une valeur très-petite au point M, c'est que la

distance de ce point au point éclairé P est très-près d une valeur minimum ou maximum, et que, par conséquent, Tonde présente un second pôle dans le voisinage du point M.

Il résulte de ce que nous venons de dire que, toutes les fois qu une onde linéaire ne présente qu'un seul pôle par rapport au point éclairé, et que ce pôle n'est pas un point singulier de l'onde, on peut raisonner sur cette onde comme nous l'avons fait sur une onde circulaire , et que, par suite, l'action de cette onde sur un point extérieur équivaut à celle d'une fraction des deux premiers arcs élémentaires situés de part et d'autre du pôle.

Les raisonnements précédents étant uniquement fondés sur les propriétés des minima , propriétés qui appartiennent également aux maxima , on doit regarder comme pôle de l'onde linéaire par rapport au point éclairé tout point de l'onde dont la distance au point éclairé est un maximum ou un minimum.

Passons maintenant au cas d'une onde de forme quelconque, et appelons encore pôle de l'onde par rapport au point éclairé tout point de la surface de l'onde dont la distance au point éclairé est un maximum ou un minimum. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'un seul pôle sur l'onde ; il peut alors se présenter deux cas : i* il existe un cône tangent à l'onde et ayant pour sommet le point éclairé; 3*" parmi les cônes ayant ce point pour sommet, il n'existe pas de cône tangent à l'onde , mais seulement un cône asymptote à l'onde ou un cône parallèle au cône asymptote.

Dans le premier cas, on peut raisonner comme nous l'avons fait pour une onde sphérique (53); par le pôle et par le point éclairé on mènera un plan quelconque , puis , par une série de plans infiniment voisins, perpendiculaires au premier, on partagera en bandes la portion efficace de l'onde , limitée par la courbe de contact du cône tangent. Certaines de ces bandes pourront ne pas être infiniment étroites : c'est ce qui arrivera si le plan tangent àJ'onde en un point d'une de ces bandes fait un angle infiniment petit avec la direction des plans qui limitent les bandes; mais alors, la droite qui va de ce

304 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

point au point éclairé faisant un ang^e infiniment petit avec le plan tangent à Tonde , l'intensité du mouvement envoyé suivant cette direction est négligeable. Dans tous les cas, les bandes peuvent donc être assimilées à des ondes linéaires. Il suffira par suite de considérer la portion de Fonde comprise entre deux plans perpendiculaires à ceux qui limitent les bandes et tels, que, dans l'intervalle de ces deux plans, il y ait toujours un grand nombre d*arcs élémentaires. On divisera cette région en bandes infiniment étroites perpendiculaires aux précédentes, et, en continuant le raisonnement comme dans le cas d'une onde sphérique, on arrivera aux mêmes conclusions.

Si , parmi les cônes ayant pour sommet le point éclairé , aucun n'est tangent à l'onde, et s'il existe seulement un cône asymptote à l'onde ou un cône parallèle au cône asymptote, il faudra employer le même mode de démonstration que dans le cas d'une onde plane indéfinie (51). On décomposera l'onde en bandes infiniment étroites par des plans parallèles entre eux, et on ramènera l'action de cha* cune de ces bandes à celle d'une portion située près de son pôle. L'action de l'onde se trouve ainsi réduite à celle d'une bande qui va en s'élargissant à mesure 'qu'on s'éloigne du pôle; les zones élémentaires de cette bande ont des surfaces de plus en plus grandes lorsqu'on s'écarte du pôle; mais, comme nous l'avons vu dans le cas d'une onde plane qui est le' plus favorable à l'élargissement de la bande efficace , par suite de l'accroissement de la distance au point éclairé et de l'obliquité , les vitesses envoyées par ces zones au point éclairé n'en décroissent pas moins de façon à devenir négligeables pour les zones séparées du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires.

Nous arrivons ainsi à cette conclusion générale : Lor$quune onde de forme quelconque ne présente qu un pâle unique par rapport à un point extérieur, son action sur ce point se réduit, à eeUe £une région très-petite comprenant le pôle.

Si l'onde présente par rapport au point éclairé plusieurs pôles séparés les uns des autres par un grand nombre d'arcs élémentaires, il est évident que l'action de l'onde sur ce point se réduit à celles de régions très-petites en nombre égal à celui des pôles et comprenant respectivement ces pôles.

Un certain nombre de cas particuliers restent en dehors de la théorie que nous venons d'exposer et exigent une discussion spéciale : ce sont d'abord ceux où il existe sur l'onde des pAles très-voisins les uns des autres ou même une infinité de pAles formant une ligne continue ou une portion de surface. Nous examinerons, en parlant de la diffraction, un des cas particuliers que nous venons d'indiquer, celui où Tonde est une surface sphérique ayant pour centre le point éclairé, et où par conséquent tous les points de l'onde sont des pôles.

Les raisonnements précédents ne sont pas applicables non plus lorsqu'il existe sur l'onde des arêtes vives, des points saillants ou rentrants ; il n'est même pas nécessaire , pour* que l'exception se présente , qu'en un point de l'onde un des rayons de courbure soit nul dans l'acception mathématique du mot ; il suffit qu'un de ces rayons ne soit pas très-grand par rapport à la longueur d'ondulation.

En laissant de côté les exceptions que nous venons de signaler, il est facile de déduire de ce qui précède le mode de propagation

d'une onde de forme qiielconque dans un milieu homogène indéfini et isotrope. Soient en effet S l'onde considérée dans une certaine position et P un point extérieur à cette onde, c'est-à-dire situé du côté vers lequel elle se propage (fig. &6 ). Si A est le pôle de Tonde S par rapport au point P, la droite AP, mesurant la distance minimum ou maximum du point P à Tonde S , est nor- *** maie à cette onde; le mouvement du point P

provient d'une très-petite région de Tonde comprenant le pôle A, et se trouve à un certain instant dans la même phase que le mouvement du point A à une époque antérieure de -vr- à l'instant considéré. Prenons maintenant un autre point P' ; le pôle de P' est en A' sur la normale menée à Tonde par ce point P'; si donc on a AT'<=^AP, les mouvements partis en même temps des points A et A' arriveront en même temps en P et en P' et, comme les mouvements des points A et A\ qui sont situés sur une même onde,

i06 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

sont concordants, il en sera de même des mouvements de P et de V. Ces derniers points sont donc aussi situés sur une même onde. Il suit de là que, pour avoir la position de l'onde S au bout d'un temps T, il suffit de prolonger chacune des droites normales k l'onde S d'une longueur égale à VT dans le sens de la propagation de l'onde^ et de réunir par une surface continue les extrémités des droites ainsi obtenues. Il est d'ailleurs facile de voir que l'onde S', qui représente la position occupée par l'onde S au bout du temps T, est l'enveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points de l'onde S comme rentres, avec un rayon égal à VT. Supposons en effet que, comme cela a lieu ordinairement, les distances PA, P'A' correspondent à un minimum; on aura alors AP'>A'P', et par suite AP'> AP; les points de l'onde S' voisins du point Psont donc tous' plus éloignés du point A que le point P, et par suite l'onde S' est tangente en P à la sphère décrite du point A comme centre, avec AP pour rayon. La démonstration se fait de la même façon dans le cas oii les distances AP et A'P' correspondent à un maximum. Le principe des ondes enveloppes est donc applicable aux ondes de forme quelconque.

Quant à la loi de la propagation rectiligne , elle signifie dans ce cas que, si on considère l'onde S dans les différentes positions qu'elle occupe successivement, les régions très-petites de ces différentes ondes d'où provient l'éclairement d'un même point sont rencontrées par une même droite passant par le point éclairé, ou, en d'autres termes , que les pôles de ces ondes par rapport à un même point sont en ligne droite , ce qui ressort immédiatement de la construction indiquée plus haul.

55. Tliéarle générale des ombreii* — Sans entrer pour le moment dans l'étude détaillée des phénomènes de diffraction, dont la théorie complète sera exposée plus loin avec les développements qu'elle comporte, nous allons déduire des résultats que nous venons d'obtenir, relativement à l'action exercée par les ondes sur les points qui leur sont extérieurs, d'importantes considérations sur les effets produits d'une manière générale par la limitation des ondes.

Examinons en premier lieu le cas où la lumière passe à travers

une ouverture percée dans un diaphragme opaque illimité, la source lumineuse ayant des dimensions suffisamment petites pour pouvoir être confondue avec un point. D'après la théorie géométrique des ombres, il y aurait alors éclairement uniforme dans riniérieiir d'un cône ayant pour sommet le point lumineux et pour base l'ouverture du diaphragme, obscurité absolue en tous les points qui, situés au delà du diaphragme par rapport à la source lumineuse, se trouvent en dehors de ce cône ; mais , en réalité , les phénomènes sont beaucoup plus complexes et dépendent essentiellement de la grandeur de l'ouverture du diaphragme.

Supposons d'abord que cette ouverture comprenne yn grand nombre de zones élémentaires par rapport aux points dont on cherche l'éclairement , ou, en d'autres termes, que les distances du point éclairé au centre de l'ouverture et à un point quelconque de son contour diffèrent d'un grand nombre de longueurs d'ondulation, ce qui n'empêchera pas les dimensions de l'ouverture d'être petites par rapport à sa distance au point éclairé. Pour tout point situé au delà du diaphragme, Taction du point lumineux se réduit à celle d'une onde sphérique limitée par le contour de ce diaphragme. Prenons un point P à l'intérieur du cône qui délimite l'ombre géométrique, et soit A le pôle de ce point sur l'onde dont nous venons de parler : si la distance de ce pôle A à un point quelconque du contour de l'ouverture comprend un grand nombre d'arcs élémentaires, les parties de l'onde sphérique qui sont supprimées par l'interposition du diaphragme n'auront, d'après ce que nous avons vu (53), aucune action sensible sur le point A, et par suite ce point sera éclairé comme si l'écran n'existait pas. 11 résulte de là que, dans l'intérieur de la projection conique de l'ouverture, il y aura éclairement uniforme en tous les points qui sont assez écartés des limites de l'ombre géométrique pour que la distance de chacun des points du contour de l'ouverture à leur pôle coinprenne un grand nombre d'arcs élémentaires.

Considérons maintenant un point P' toujours situé à l'intérieur du cône qui limite l'ombre géométrique, mais assez voisio de la surface de ce cône pour que la distance de son pôle B à certains points du Contour de l'ouverture ne comprenne qu'un petit nombre

308 LUMIÈRE Son polarisée.

d'arcs élémentaires, et soit M le point de ce contour le plus rajippoché du pôle B {fig. Ii-j). Menons par ce point M une tangente TT' au bord du diaphragme, et par le point B une parallèle CD à cette tangente : si nous faisons passer un pian par cette droite CD et par le point éclairé P', la portion efficace de i'onde sphérique , c'est-à-dire celle qui est limitée par l'ouverture, se trouvera divisée en deux parties dont l'une, celle qui se trouve sur la figure à gauche de CD, peut être regardée comme illimitée, tandis que l'autre, pourvu que le rayon de courbure de la courbe qui circonscrit l'ouverture soit en M très-grand par rapport à la longueur d'ondulation, exerce une action sensiblement égale k celle d'une bande qui s'étendrait indéfiniment entre les deux parallèles CD et TT'. L'action de cette dernière bande se réduit à celle d'une zone très-petite, limitée par deuï courbes EE', FF' symétriques par rapport k BM. En divisant BM en arcs élémentaires el en menant par les points de division des perpendiculaires à BM , on partagera celte zone en zones élémentaires qui seront en petit nombre, et, comme deux zones élémentaires consécutives envoient au point éclairé des vitesses de signes contraires, suivant que BM comprendra un nombre pair ou impair d'arcs élémentaires, l'éclairement du point P' sera Faible ou intense. Ainsi s'explique la production, dans le voisinage de l'ombre géométrique, de franges alternativement brillantes et obscures dans la lumière homogène «t colorées dans la lumière blanche.

Nous avons encore ii examiner comment varie l'éclairement pour les points situés en dehors du cône qui limite l'ombre géométrique. Soit d'abord Q un point asseï éloigné de la surface de ce cAne pour que son pôle soit séparé, même du point du contour de l'ouverture qui en est le plus rapproché, par un grand nombre d'arcs élémen-

taires. La portion conservée de Tonde sphérique n'aura alors aucune action appréciable sur le point Q , dont Téclairement sera par suite insensible. Ainsi, à une petite distance de la surface du cône, l'obscurité sera à peu près complète, ce qui explique la formation d'une ombre assez nettement délimitée lorsque Touverture a des dimensions suffisantes.

Quant à la région située entre la surface du cône d'ombre géométrique et les points dont l'éclairement est né^igeable, l'expérience montre que l'intensité lumineuse y décroît très-rapidement sans présenter de maxima ni de minima bien marqués ; mais les considérations simples que nous avons employées jusqu'à présent ne suffisent plus pour rendre compte de la manière dont varie l'éclairement dans cette région.

Si les dimensions de l'ouverture deviennent assez petites pour qu'elle ne comprenne qu'un petit nombre de zones* élémentaires, c'est-à-dire pour que la différence des distances du point éclairé au centre de l'ouverture et à un point quelconque de son contour ne soit que d'un petit nombre de longueurs d'ondulation, tous les points situés à l'intérieur du cône d'ombre géométrique se trouvent dans les mêmes conditions que les points voisins de la surface de ce cône dans le cas d'une ouverture de grande dimension, et par suite il n'y a plus, dans la projection conique de l'ouverture, de région présentant un éclairement uniforme. On observe alors des maxima et des minima à l'intérieur du cône d'ombre géométrique; mais, à l'extérieur de ce cône et à une petite distance de sa surface , l'éclairement devient encore insensible par la même raison que ds^ns le cas précédent.

Enfin, si la petitesse de l'ouverture est poussée à l'extrême, de sorte que la différence des distances du point éclairé à deux points quelconques de l'ouverture ne soit qu'une petite fraction de la demi-longueur d'ondulation , les mouvements envoyés par les différents points de l'ouverture au point éclairé seront sensiblement concordants; l'intensité lumineuse ne pourra alors s'affaiblir que par suite de l'obliquité de la direction suivant laquelle se propage le mouvement vibratoire par rapport à l'onde sphérique limitée par l'ouverture. Il y aura donc diffusion de la lumière dans toutes les

Vbrdet, V. — Optiqii«, I. lA

2Ï0. LUMIKRR NON POLARISEE.

directions qui ne sont pas trop inclinées sur cette onde, et toute trace d'ombre disparaîtra.

Si une seule des dimensions de l'ouverture est extrêmement petite , la diffusion de la lumière a lieu dans toutes les directions perpendiculaires à cette dimension et qui ne sont pas trop obliques par rapport à Tonde; c'est ce qu'on peut vérifier au moyen d'une de ces fentes sur lesquelles on fait tomber les rayons solaires pour obtenir un spectre pur et dont on peut faire varier la largeur à volonté. Un peu avant que les bords de la fente se touchent, une diffusion très-visible de la lumière succède à la délimitation nette qui existait auparavant.

Les phénomènes que nous venons de décrire ne dépendent pas seulement de la grandeur absolue de l'ouverture, mais encore de sa distance au point éclairé; car, à mesure que cette distance augmente, les dimensions de l'ouverture restant constantes, la différence des distances du point éclairé au centre de l'ouverture et à un point de son contour va en décroissant, et par suite l'ouverture comprend un nombre de plus en plus petit d'arcs élémentaires. Ainsi, quelles que soient les dimensions de l'ouverture, à une distance suffisamment grande l'ombre finira toujours par disparaître, et en générai les phénomènes de diffraction seront d'autant plus sensibles qu'on les observera à une distance plus grande de l'écran qui limite le faisceau lumineux.

Une conséquence générale qui ressort de tout ce qui précède es( que les rayons lumineux n'ont pas d'existence physique; si l'on cherche à isoler un rayon en restreignant de plus en plus les dimensions de l'ouverture qui laisse passer la lumière, on finit par arriver à une diffusion du mouvement vibratoire dans toutes les directions ^^K

Des raisonnements tout à fait analogues à ceux que nous venons de faire pour le cas d'une ouverture percée dans un écran opaquq

^*) On conçoit d'après cela pourquoi certains géomètres qui , pour expliquer la prupagalion rcctiligne de la lumière, ont considéré un mouvement vibratoire limité par unràne d^ouverture angulaire très-petite, ont vu leurs elToris rester infructueux. Poisson en par> ticulier était tombé dans cette erreur, et il y a toujours persisté. On raconte que, dans sa dernière maladie, il répétait suuvent : ^ J'a\ais trouvé un filet de lumière. ^

illimité peuvent servir à expliquer les effets produits par un «^cran opaque limité.

Si cet écran a de grandes dimensions, et nous avons vu plus haut ce qu'il faut entendre par là , les points situés en dehors du cône d'ombre géométrique et à une certaine distance de la surface de ce cône seront éclairés comme si l'écran n'existait pas; dans le voisinage de cette surface, il y aura des maxima et des minima de lumière, et à l'intérieur du cône l'intensité lumineuse décroîtra trèsrapidement , de façon à devenir insensible à une faible distance de la limite de l'ombre géométrique.

Si l'écran est très-petit, il y aura des maxima et des minima de lumière dans toute l'étendue de l'ombre géométrique; dans certains cas simples, par exemple lorsqu'on observe l'ombre d'un fil trèsétroit, on verra des franges qui ressemblent beaucoup aux bandes d'interférence.

Enfin, si l'écran est extrêmement petit, de façon à ne comprendre qu'une petite fraction du premier, arc élémentaire, tous les points, même ceux qui sont situés vers le centre de la projection conique de l'écran, sont éclairés à peu près comme si cet écran n'existait pas, et, par suite, il n'y a plus d'ombre.

La théorie des ombres que nous venons d'exposer repose entièrement sur l'extrême petitesse des longueurs d'ondulation de la lumière ; c'est ce qui explique la différence apparente entre les propriétés du son et celles de là lumière.

On sait en effet que, dans les conditions ordinaires, on n'observe pas d'ombre sonore. Euler a cru lever cette difficulté proposée par Newton ^^^ en remarquant que les corps dont on se sert le plus souvent pour arrêter les ondes sonores ne sont pas complètement imperméables au son; mais cette explication est insuffisante, car, si l'on se place derrière un obstacle très-massif et percé d'une ouverture, On perçoit le son à peu près avec la même intensité, quelle que soit la j)Osition qu'on occupe. La véritable cause qui empêche la formation des ombres sonores est la longueur considérable des ondulations qui correspondent aux sons perceptibles : cette longueur

(') Optique, liv. III, quesl. â8.'

212 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

étant immense par rapport à celle des ondulations lumineuses^ les dimensions des ouvertures ou des écrans qui peuvent produire une diffusion du mouvement vibratoire dans toutes les directions sont incomparablement plus grandes pour le son que pour la lumière^*'.

^'^ Pour la bibliographie de ce chapitre, voyez à la fin de la première partie la bibliographie générale de la difTraclion.