LOIS GÉOMÉTRIQUES DE LA RBFLEIION ET DE LA RÉFRACTION

56. €oiuiMér»tloiui fténéralMi Bur I» théorie de la réflexion et de to réfnietlon. — Nous avons fait voir dans Tlntroduction(12) en quoi la marche suivie par Huyghens pour rendre compte des phénomènes de la réflexion et de la réfraction dans la théorie des ondulations est défectueuse. Les raisonnements de Huyghens ont cependant été admis comme suffisants par presque tous les auteurs qui l'ont suivi » et même par Young. Fresnel^^^ est le premier qui ait donné des lois géométriques de la réflexion et de la réfraction une explication débarrassée des difficultés que laissait subsister la démonstration peu rigoureuse par laquelle Huyghens avait cru établir le principe des ondes enveloppes. Cette théorie, que nous allons exposer en y ajoutant quelques développements, ii'est qu'une extension des principes qui nous ont servi à déterminer le mode de propagation de la lumière dans un milieu homogène indéfini : elle ne comprend que les lois géométriques qui règlentle6 directions des rayons réfléchis ou réfractés ; les questions rela* tives au partagé de la lumière incidente entre les rayons réfléchis et les rayons réfractés constituent ce qu'on appelle la théorie mécanique de la réflexion et de la réfraction , et ne peuvent être abordées qu'après Tétude des propriétés de la lumière polarisée.

Tant que la lumière se meut dans un milieu homogène, le mouvement vibratoire ne se propage pas en arrière; mais, s'il survient on changement brusque dans la nature du milieu , c'est-à-dire si le mouvement atteint la surface de séparation de deux milieux homogènes, il est naturel d'admettre, par analogie avec ce qui a lieu dans le choc des corps, que le mouvement ne se transmet pas tout entier an delà de cette surface et qu'une partie de ce mouvement

^^ Voyei les dêui premiers Mémoires sur la diffraction , la Note sur l'applicatipip iki principe de Huyghens et de la théorie des interférences aux phénomènes de la reflexion et delà rélciM;.liQfi» et une autre Note sur roxplicaiiou de la réfraction dans le système des ondes (Œtwres comptkn deFrunel, t. I, p. 38, /i5, 117, aoi, 317, a 30, 3 35, 373).

2U LUMIÈRE NON POLARISÉE.

rebrousse chemin dans ie premier milieu. Nous aurons donc à oonsidé'rer chaque point de la surface de séparation comme un centre d'ébranlement donnant naissance à des ondes élémentaires qui se propagent à la fois dans les deux milieux : celte surface tiendra , daUvS les raisonnements que nous aurons à faire sur la formation des ondes réfléchies ou réfractées, la même place que la surface de Tonde primitive lorsqu'il s'agissait de la propagation de la lumière dans un milieu homogène indéfini.

Gomme nous ne parlerons ici que des milieux isotropes, les ondes élémentaires qui émanent des différents points de la surface réfléchissante ou réfringente devront toujours être regardées comme sphériques. Ces ondes élémentaires ne sont pas tout à fait identiques à celles que produisent les différents points d'une onde primitive dans un milieu homogène : les mouvements vibratoires de leurs centres ne sont pas en général concordants, car les différents points de la surface réfléchissante ou réfringente sont atteints à des époques dif^ férentes parle mouvement vibratoire parti du point lumineux; de plus, rien ne nous autorise à admettre que sur certaines parties de ces ondes élémentaires l'intensité du mouvement vibratoire est sen- .siblement nulle, et par suite nous ne sommes pas en droit d'appliquer à la réflexion et à la réfraction des conséquences analogues à celles que nous avons tirées, pour la propagation de la lumière dans un milieu homogène , de l'obliquité de certaines directions par rapport à l'onde primitive.

Enfin, si 0 désigne le point lumineux. P le point éclairé par réflexion ou par réfraction , A le point où s'opère la réflexion ou la réfraction , la vitesse envoyée en P doit être considérée, en laissant de cAté l'influence de l'obliquité, comme inversement proportionnelle au produit des distances OA et AP. En effet , la vitesse du mouvement vibratoire du point A , que nous regardons comme un centre d'ébranlement, est en raison inverse de OA ; d'auire part, la vitesse envoyée au point P par le point A est en raison inverse de AP; donc la vitesse que le point P reçoit du point lumineux 0 par Pin* termédiaire du point A est en raison inverse du produit OA X AP.

La vitesse du iBouvemeot vibratoire qui résulte de la superposition des deux rayons a toujours pour composante, parallèlement à la direction considérée, v + v'.

Or, si Ton fait

n étant un nombre entier quelconque, les termes qui ont pour coefficients A(.;H-i), A3(,«-|.i), A5(,»+i),. . ., et généralement A(,k-|.,) (t«-|-t)^ manqueront dans le développement de v + v\ Il résulterait de là que le mouvement vibratoire sur le rayon formé par la superposition des deux rayons interférents serait représenté par une série dans laquelle, pour certaines valeurs de la différence de marche, pourraient manquer plusieurs termes; il serait alors inexplicable que sur ce rayon la nature du mouvement vibratoire fût indépendante de la différence de marche, sauf en ce qui touche l'intensité et la phase. Pour faire disparaître cette difficulté, il faut admettre que la série qui, dans le mouvement vibratoire lumineux, exprime le déplacement d'une molécule vibrante suivant une direction quelconque se réduit à son premier terme, et que par conséquent il en est de même de la série qui représente la vitesse.

La valeur de cette démonstration est subordonnée à celle de l'hypothèse que nous avons faite en supposant que, sur le rayon modifié par l'interférence, le mouvement vibratoire ne diffère que par l'intensité et la phase de ce qu'il est sur un rayon quelconque. Bien que ce point n'ait jamais été établi directement, comme l'hypothèse n'a rien de contraire à l'expérience et que les conséquences qu'on en tire s'accordent avec les phénomènes observés, nous l'admettrons, de même qu'on admet ,* par exemple, que deux corps qui sont en équilibre de température avec un troisième le sont aussi entre eux, proposition qui n'a jamais sans doute été vérifiée directement.

i2. €)muÈ9mrm propres dmm corps. — Newton a cru trouver dans les phénomènes de coloration que présentent les lames minces l'explication des couleurs propres des corps. Suivant lui, les rayons qui tombent sur la surface d'un corps pénètrent toujours dans Tin-

316 LUMIÈRE !<JON POLARISÉE.

sur le point P se réduit à celle d'une fraction des deux premiers ^rcs

élémentaires situés de part et d'autre du pâle A.

Si maintenant nous décomposons le plan réfléchissant en bandes infiniment étroites, parallèles au plan normal OAP ({ui contient le point lumineux et le point éclairé, nous pouiTons raisonner sur chacune de ces bandes comme sur la droite MN , et par suite l'action de chaque hande se réduira à celle d'une très-petite longueur de cette bande ayant pour milieu le point de la bande pour lequel la somme des distances au point lumineux et au point éclairé a une valeur minimum. L'action du plan réfléchissant tout entier sur le point P se trouve ainsi ramenée à celle d'une bande Z, dont nous allons chercher k déterminer la forme et la largeur.

Prenons pour plan de figure le plan réfléchissant: soient o et/) les projections sur ce plan du point lumineux et du point éclairé (lig. à^), et posons

Oo = k, ?p^k. o/>./.

Choisissons pour axe des x- la droite oj), qui n'est autre que I-i trace .sur le plan de la ilgurc du plan normal OAP, et pour a<kc des y

une perpendiculaire à cette droite openëe par le point o ; soil enfin CD une des droites parallèles k MN qui limitent les bandes infiniment étroites dont nous avons supposé le plan réfléchishani forme.

Proposons-nous de déterminer sar la droite CD un point Q tel, que la somme des distances de ce point aux points 0 et P soit minimum : les coordonnées de ce point doivent satisfaire à la condition

comme 2^ conserve une valeur constante sur la droite CD, il suffit de différenlier l'expression entre parenthèses par rapport à x^ ce qui donne

En élevant au carré, on a

d'où

{y^+h^){l-xf=^x^y' + lc^).

Cette équation , si on y considère or et j^ comme variables » représente une courbe qui est le lieu des points jouissant de la même propriété que le point Q sur les droites parallèles à CD, courbe qui forme l'axe de la bande étroite Z, à l'action de laquelle se ramène celle que le plan réfléchissant exerce sur le point P.

En tirant de l'équation de cette courbe la valeur de a;, on a

si on y fait y =- o, cette» expression devient

Ih x =

/iH-ife

et donne l'abscisse du point A où la courbe rencontre la droite MN. Si y prend une valeur infinie, on a

la droite menée par le milieu de ap parallèlement à l'axe des y est

il8 LUMIKRE NON POLARISÉE.

donc asymptole à la courbe, qai, par suite, a une forme telle que AQO'.

Si nous décomposons cette courbe AQQ' en arcs élémentaires tels, que, pour les deux extrémités d'un même arc, les sommes des distances au point lumineux et au point éclairé diffèrent de ~i et que

par les points de division nous menions des parallèles à CD^ la bande efficace Z se trouvera partagée en zones élémentaires. Les arcs élémentaires de la courbe 4QQ' décroissent très-rapidement à partir du point A, mais, pour démontrer qu'il en est de même des vitesses envoyées au point P par les zones élémentaires, il faut comparer les surfaces de ces zones dans le voisinage du plan normal OAP et à une certaine distance de ce plan. Or la bande Z est comprise dans * l'intérieur d'une autre bande Tl limitée par deux courbes qui sont le lieu des extrémités des premiers arcs élémentaires des droites parallèles à CD, arcs qui sont situés sur chacune de ces droites de part et d'autre du point analogue au point Q; de plus, les surfaces des zones élémentaires des bandes Z et TI qui correspondent à un même arc élémentaire de la courbe AQQ' sont dans un rapport sensiblement constant : il suffira donc de voir comment varient les ^rfaces des zones élémentaires de la bande Z'.

Soit Oj l'extrémité du premier arc élémentaire de la courbe AQO', et désignons par « la longueur de l'arc AQj , par o- la longueur du premier arc élémentaire de la droite MN à partir du point A : la surface de la première zone élémentaire de la bande Z' sera de l'ordre du produit o-jt. Or, en appelant R la somme des distances d'un point quelconque du plan réfléchissant au point lumineux et au point éclairé, on arriva, en suivant la même marche que pour déterminer la grandeur des arcs élémentaires voisins du pôle dans le cas d'une onde linéaire de forme quelconque, à l'équation

la \aleur de . ^ élant celle qui correspond au point \.

Gomme on a d'ailleurs

il vient

R=y/x-i + yi+/|--i + Y/(/ --0;)^+/+^;

rf^ r-^jr j y- -i- h'

En remplaçant dans celte expression .i; et y par les coordonnées du

point A, qui sont y = o et ;r =- r-^^ cll<? devient

</jL

/lA [/*-*-( A -+./t-]

d'oïl

cr=\/X

Afe[/*+;/i-4.ft)M''

Les quantités h, k, l sont du même ordre de grandeur, et par suite la fraction qui multiplie X sous le radical est de l'ordre de la première puissance d'une quelconque de ces quantités; o- est donc de l'ordre dei/AX, et la surface de la première zone élémentaire de l'ordre de « \/ AX. Quant à la vitesse envoyée par cette zone, comme elle est inversement proportionnelle au produit dés distances de la zone au point lumineux et au point éclairé, elle est de l'ordre de la quantité £VMX ^ AA

Considérons maintenant une zone élémentaire de la bande Z' séparée du point A par un grand nombre d'arcs élémentaires : soient «' l'arc élémentaire de la courbe AQQ' qui sert de base à cette zone, et <r' la longueur du premier arc élémentaire de la droite parallèle à CD qui limite la zone. Lorsque y augmente, x tend vers une limite égale à -' et 5^ vers une limite égale à -;;à une grande distance du pôle A, la surface d'une zone élémentaire est donc de

220 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

l'ordre de s'k/Xy, et, comme les distances de cette zone au point éclairé et au point lumineux diffèrent alors peu àey, la vitesse envoyée par cette zone au point P est de l'ordre de ^ ^^ - > Cette der-

nière quantité est très-petite par rapport à la quantité ^^, , qui

indique l'ordre de grandeur de la vitesse envoyée par la première zone élémentaire. Donc, malgré l'élargissement de la bande Z\ les vitesses envoyées par les différentes zones élémentaires de cette bandç au point P décroissent très-rapidement à mesure qu'on s'éloigne du pôle A , et par suite il en est de même des vitesses provenant des zones élémentaires de la bande efficace Z.

L'action du plan réfléchissant sur le point P se réduit en définitive à celle d'une très-petite région comprenant le point A , et l'éclairement du point P peut être regardé comme provenant sensiblement du point A. Or A est dans le plan normal passant par le point lumineux 0 et le point éclairé P, et les droites OA et AP font des angles égaux avec la normale menée en A au plan réfléchissant; la loi de la réflexion régulière se trouve donc démontrée pour le cas d'une surface réfléchissante plane et illimitée.

58. Réflexion par une rarfAceeourbc. — Lorsque la surface réfléchissante est courbe, l'action de cette surface sur un point extérieur se réduit encore à celle d'une très - petite région comprenant le pôle : pour le démontrer on raisonnera, si la surface est illimitée, comme dans le cas d'une surface réfléchissante plane; si elle est limitée par une courbe, tout en ayant une étendue assez considérable pour comprendre un grand nombre d'arcs élémentaifes» comme dans le cas d'une onde sphérique (53) ou d'une onde limitée de forme quelconque (54). Mais, quand la surface réfléchissante est courbe, on devra considérer comme pôle tout poiqt de la surface pour lequel la somme des distances au point lupiineux et au point éclairé est un maximum ou un minimum; il peut par conséquent y avoir plusieurs pôles, c'est-à-dire que la lumière peut se propager par plusieurs chemins différents, du point lumineux au point éclairé, en touchant la surface réfléchissante.

est même servi pour montrer qu'une solution magnétique se concentre près du pôle d'un aimant ^^^

àà. CouleuMi tfe« lames mlKtcs* — Lescouleitrs des lames mixtes ont été découvertes parYoung en regardant la flamme d'une bougie à travers deux plaques de verre légèrement humides et presque en contact ^^^ Ces couleurs se manifestent toutes les fois qu'entre deux lames transparentes très-rapprochées on introduit deux liquides non susceptibles de se mélanger, ou bien des gouttelettes d'un seul liquide séparées par des intervalles remplis d'air. Suivant Brewster, qui a fait de nombreuses expériences sur ce sujet ^^\ le meilleur moyen de produire les couleurs des lames mixtes est d'étendre sur les plaques de verre un peu de blanc d'oeuf battu , de les sécher pendant quelques instants devant le feu pour enlever l'excès d'humidité, et de les mettre ensuite en contact. Les couleurs peuvent être vues, soit par transmission, soit par réflexion; si l'un des verres est un peu convexe, elles prennent la forme d'anneaux. Ces anneaux sont beaucoup plus larges que ceux des lames minces ordinaires : ainsi, si la lame mixte est formée d'air et d'eau, les diamètres des différents anneaux sont à ceux des anneaux de même

rang qu'on obtient avec une lame d'air dans le rapport de i/6 à l'unité. Les anneaux des plaques mixtes sont d'ailleurs d'autant plus resserrés que l'incidence est plus oblique.

Young, sans entrer dans aucun détail, a attribué les couleurs des plaques mixtes aux interférences des rayons qui, dans la lame, traversent des milieux différents. La régularité du phénomène, qui est complètement indépendant des dimensions et de la forme des gouttelettes liquides, montre qu'il n'est point dâ, comme le pensait Brewster, à la diffraction qu'éprouveraient les rayons lumineux en passant près des bords de ces gouttelettes.

Nous allons développer l'explication d'Young en nous bornant au '

<'> Atm. de ekim, et de phy$,, (3), XLIX, 389; LU, i63, 171. — C. A., XLII, 68:1; XLIII, ii9i;X!i¥, 89a.

<*) Pk7. 7n«JM., 180s, p. 387. — ïjêeîmm on SaUirùl Phiiotophy, p. 869. î'> PM. Traju., i838, p. 73. — ItuûL, VI, a6a.

222 IJIMiÈRK N0\ POf.ARISfiK.

- ellipsoïdR de révolution ayant pour foyers le point lumineux S el le point éclairé P, et prenons sur la surface de cet ellipsoïde un poini quelconque A : pour toute surface tangente à l'ellipsoïde en A la loi de la réflexion régulière est satisfaite en ce point; mais, tandis que sur la surface de l'ellipsoïde la somme SA + AP est constante , cette somme est minimum en A pour toute surface tangente extérieurement à l'ellipsoïde en ce point, maximum pour toute surface tangente intérieurement. Si ta surface réfléchissante est illimitée, elle ne. peut d'ailleurs présenter de pâle rorrespondant à un maximum sans qu'il y ait sur cette surface au moins un autre pôle correspondant à un minimum '".

5'J. CmmmtÊmmtimm «e l'aBde réSécUe. — Soient 2 (&g. 5i) une surface réfléchissante quelconque, S le point lumineux : considérons sur la surface X une série de points voisins A, A', A',...; joignons ces points au point S et menons les rayons réfléchis qui correspondent aux rayons incidents SA, SA', SA',...; r ces rayons prenons des longueurs I AP, A'P', A"?',... telles, que les chemins SA-f^AP. SA'+A'P', SA'+A'P".... soient égaux. Les points P, P', P'. ... peuvent être regardés comme recevant respectivement leur éclairemenl du point lumineux S |)ar l'intermédiaire des points A , A', A" de la surface réfléchissante; le mouvement vibratoire emploie donc des temps égaux pour se propager du point lumineux S aux points- P, P', P', . . . ; de plus, si, par le fait de la réflevjon, il se produit un changement de phase, on peut supposer que ce changement est sensiblement le

"' La propriété qui dëlinil lp fi\e A d'uni; surface rpEléchisunle par rapport à deux poiali donn^ S pt P coninl», i proprement parifr, en ce que, si l'on paue de en pûle A iiin point infiniment voisin sur la surfare.h variation de la loronie SA + AP eti' lin infiiumeal petit d'im ordre supérieur au preaiir, el, dans certains raa pirticuliera , retle somme peut n'être ui maximum ni minimum au point A ; c'eat ce qui trriven ai h surface refli'chisMnte a au point A un contact d'oiJr»! pair aypr IVIlipsoïilo il^ ri'^nliilion ayant piiiir h\en 1™ poinis S H P i-l jMissnnl Pn K. (L.)

REFLEXION ET REFRACTION. 223

mémo aux points A, A', A", . . . , puisque ces points sont voisins. 11 résulte de \k que, sur une petite étendue de la surface Rqui est le

lieu des points P, P^ P*^ , les mouvements vibratoires de ces points

peuvent être regardés comme concordants : nous pouvons donc considérer cette surface comme étant l'onde réfléchie. Il est facile d'ailleurs de faire voir que la surface R est l'enveloppe des sphères décrites des points A, A', A",... comme centres, avec des rayons égaux respectivement à AP, AT', AT", .. et de justifier ainsi le principe des ondes enveloppes dans le cas de la réflexion. Supposons en effet qu'au, point A' sur la surface 2 la somme SA'+ AT soit un minimum : on aura alors

SA + AP' > SA' + A'P', ef comme

il viendra

d'où

SA' + A'P'^SA + AP, SA + AP'r>SA-hAP,

AP'>AP

tout point voisin du point P sur la surface R étant plus éloigné du point A que le point P, la sphère décrite du point A comme centre, avec AP pour rayon., est tangente en P à la surface R. Une dé* monslration tout à fait analogue s'applique au cas où la somme SA' + A'P' est maximum sur la surface 2 au point A'. La surface de Tonde réfléchie est donc identique à celle que nous apprend è construire le principe des ondes enveloppes, et par suite aussi à la surface normale aux rayons réfléchis que définit le théorème de Gergonne (3).

60. Tlié^ràe sé^méfrlque de la réfraction. — La théorie géométrique de la réfraction, lorsque les deux milieux sont isotropes, peut se calquer presque entièrement sur celle de la réflexion, ce qui nous dispense d'entrer dans aucun développement. Mais il faut remarquer que, dans le cas de la réfraction, les conditions de concordance ou de discordance des mouvements vibratoires envoyés par les différents points de la surface réfringente, considérés comme

t58 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Pour les anneaux ordinaires des lames minces vus par transmission, les conditions du maximum et du minimum sont, la lame étant formée par le milieu m^

et

il résulte de là que les épaisseurs e et e', qui dans la lame mixte et dans la lame simple du milieu m transmettent le même anneau brillant, doivent être telles que Ton ait

Si le milieu m est Teau et le milieu wl Tair, on a approximativement

d*où

les diamètres des deux espèces d*anneaux doivent donc dans ce cas être entre eux dans le rapport de Tunité à i/6 , ce que vérifie Texpérience.

Cherchons enfin comment doit varier la largeur des anneaux de^ lames mixtes avec l'incidence; d'après la valeur trouvée plus haut pour l'épaisseur qui donne un anneau d'un ordre déterminé , cette épaisseur est d'autant plus petite, et par suite les anneaux d'autant plus resserrés, que la quantité cosf >-, cosf' est plus grande. Il suflit donc d'étudier la variation de cette expression, ou, ce qui

RÉFLEXION ET BÉFRACTION. 225

SAP, SA'P', SA"?",... soient parcourus en temps dgaux, c'est-àdire qu'on ait , en désignant par v et v' les vitesses de propagation dans le premier et dans le second milieu ,