LLMIÈUE NON POLARISEE

les phciiomènes se dessinent alors sur la rétine comme ils le feraient sur un écran situé à une distance infiniment grande , pourvu toutefois que Foeil puisse s*accommoder pour des rayons parallèles. L'œil uivope ne jouit pas de cette faculté, mais on peut la lui faire acquérir au moyen d*un verre divergent convenablement choisi.

En résumé, trois méthodes différentes' d'observation conduisent aux mêmes résultats :

i"* Celle qui consiste à viser directement le point lumineux avec une lunette astronomique, en interposant un diaphragme entre Tobjectif et l'oculaire ;

•j*" La projection du phénomène sur un écran situé à une trèsgrande distance du corps diffringent ;

3* L'emploi d'une lunette astronomique qu'on dirige sur l'ouverture diffringente et dont l'axe peut recevoir différentes directions.

Lorsqu'on emploie une des deux dernières méthodes , les rayons qui tombent sur le diaphragme doivent être sensiblement parallèles, c'est-à-dire émaner d'un point situé à une grande distance de l'ouverture diffringente; dans le premier procédé, il n'est pas nécessaire que cette condition soit remplie.

Par les raisons que nous avons indiquées eu parlant des franges d'interférence, la source lumineuse, pour que les phénomènes de diffraction soient visibles , doit avoir un diamètre apparent très-petit. Cependant, quand l'ouverture diffringente est formée d'une ou de plusieurs fentes étroites, la source lumineuse peut sans inconvénient être allongée dans le sens parallèle à la grande dimension des fentes, car les systèmes de franges produits par les différents points de la source se superposent alors sensiblement, ce qui augmente l'éclat du phénomène. La source lumineuse de forme linéaire, qui peut être soit une fente pratiquée dans le volet d'une chambre obscure, soit la ligne focale d'une lentille cylindrique, doit, lorsqu'on se sert de l'une des deux dernières méthodes d'observation , se trouver à une grande distance du corps diffringent, » moins qu'on ne rende les rayons parallèles à l'aide d'un collimateur placé entre la source et l'ouverture diffringente.

Fresnel ^ indiqué la simplification qui s'introduit dans les apparences dues à la diffraction lorsque le centre de l'onde incidente,

DlFFUACTiON. :î()3

au lieu d*élre uu point lumineux, se trouve dans le ])lan du tableau ^'^; mais il nest entré .dans aucun détail sur les phénomènes dont l'étude fait l'objet de cette première partie. Frauenhofer s'est servi le premier d'une lunette astronomique pour observer les ciïcts produits par des ouvertures diflfringentes : il a établi avec beaucoup de soin les lois expérimentales de ces phénomènes, principalement dans le cas où l'ouverture, formée d'un grand nombre de fentes égales et équidistantes . constitue ce qu'on appelle un réseau ^'\

On doit à M. Herscbel de nombreuses observations sur les apparences que présente l'image d'une étoile vue dans une lunette dont l'objectif est muni de diaphragmes de différentes formes ^^K

La théorie des phénomènes observés à une grande distance du corps diffringent ou au moyen d'une lentille convexe a été établie d'une manière sommaire par Airy ^*^ puis développée et perfectionnée par Schwerd, qui a coordonné tous les travaux de ses devanciers sur ce sujet ^^l

69. MHttrmmtion par une ouverture reetansulnlre. — Nous allons maintenant effectuer le calcul de l'intensité lumineuse dans un certain nombre de cas particuliers; les résultats que nous obtiendrons en partant de la formule établie pour une onde sphérique concave seront applicables à l'un quelconque des trois modes d'observation que nous avons indiqués plus haut.

Supposons en premier lieu que l'ouverture du diaphragme qui limite l'onde soit de forme rectangulaire. Si Taxe des z passe par le centre de celte ouverture, et si Ton désigne par a la longueur du côté de l'ouverture qui est parallèle à l'axe des x, par b celle du

côté qui est parallèle à l'axe des y, les limites des intégrales sont — et -f - relativement h x, et -f- -relativement à y, et la formule

^') Mémoire couronné sur la diffraction {Œuvres complète», t. l, p. 3oa).

^') Schumacher* ê Aetronomische Abhandlungen , II. — GUberi*» Annalen, LXXIV, 337.

^') Traité de la Lumière de Herschei ( Iraduclion de Verliulst et Queleiet) , L I , p. 5o3.

^*) Mathematical Tracts y Cambridge, i83i,p. 32 1.

^^) Die Êkugungserscheinungenj Manheim, i835.

198 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

blement constant entre les zones élémentaires de ces deux bandes qui correspondent à un même arc élémentaire de RS.

Il suffit par conséquent de chercher comment varient les surface^» des zones élémentaires de la bande Z'. La largeur de cette bande parallèlement à MN est égale en A à deux fois la longueur du premier arc élémentaire de MN , c'est-à-dire à

Prenons maintenant sur Tare RS un point A' à quelque distance du point A; désignons par c le rayon de Fonde circulaire M'A'N' parallèle à MAN et passant par le point A', par d la plus courte distance du point éclairé à la circonférence de Tonde M' ATI', par h la distance du point P au plan M'A'iN'. La largeur de la zone Z' au point A' sera , d'apaès la valeur trouvée pour le premier arc élémentaire dans le cas d'une onde circulaire agissant sur un point situé en dehors de son plan ,

or, si Ton prend pour plan de figure le plan RAS (Hg. Mi) et si 0 désigne le centre du petit cercle M'A'N', on voit immédiatement que Ton a

c+\/rf^-A'--0'A' + \/AT>' -- ÔÔ'^ ^op.-a + h: l'expression de la largeur de la bande Z' en A' devient donc

Les deux plans BB' et CC étant toujours peu distants Tun de l'autre, c diflere peu de a, et </ est sensiblement égal à i; la largeur de la bande Z' varie donc très-peu entre BB' et CC, et par suite les zones élémentaires de cette bande ont des hauteurs peu différentes. Les bases de ces zones, qui sont les arcs élémentaires de RS, décroissent au contraire très-rapidement. Donc les surfaces des zones élémentaires de la bande 7J décroissent très-rapidement

DIFFRACTION. 265

il vient

En multipliant et divisant la valeur de l'intensité par rrfr^ elle prend une forme plus commode pour la discussion : on obtient ainsi l'expression

sin-^Wj^ sin^TT^

L'intensité lumineuse au point dont les coordonnées sont ^ et n est donc représentée par un produit de trois facteurs dont l'un est cons-

tant, tandis que les deux autres sont de la forme — r- •

Nous sommes ainsi amenés à étudier les variations de la fonclion ; 1 fonction que nous représenterons par S. On voit immédiatement que cette fonction ne peut jamais prendre de valeurs négatives, qu'elle est égale à l'unité pour u= o, et qu'elle s'annule toutes les fois qu'on a tt = m7r, m étant un nombre entier diffrrcnt de zéro. Les valeurs nulles de ia fonction S correspondent à des minima : pour trouver les valeurs de u qui rendent S maximum, il faut égaler à zéro la dérivée de cette fonction, ce qui donne

sina ucosu — sinu

L'équation

sinu

donnant les valeurs qui correspondent aux minima, il resté, pour déterminer celles qui correspondent aux maxima, l'équation

ttcostt — sihM==o (U) ii==tangu.

Cette éfjuation a une première racine égale ù zéro; une seconde, que nou5 appellerons w^, comprise entre n et o -;une troibièmeMg

i%Ù LUMIÈRE i\UN l'OLARISÉE.

cuntpriïti entre •2ir et ù-^ el ainsi de suilc. Généralement, entre

a» -et (3«+ i)â' '' '^■''''*^'^ ""* racine a, de l'équation (U), et une

seule.

Ces racines ont été calculées |>ar Sclnierd, qui est arrivé au\ va- Icui-s suivantes :

Ou voit qui! la racine u, tend vers la valeur {■2n+ i)-» ce qu'il était facile de prévoir. Quant aux nia\tina de la fonction S, le pR>-

niier est égal à l'unilé et les autres à

Ces niaxinia décroissent très-rapidement, car la (juantité u' croît , d'une manière continue et trèsvite, tandis que le numérateur sin^w, reste toujours inférieur à l'unité; le second maximuoi est déjà beaucoup pluN jietit que le premier. En résumé, la fonction S, que nous aurons souvent à considérer dans l'étude des phénomènes de diffraction, présente des minima équidistants et tous égaux à zéro , el des maxima dont le premier est égal à l'unité et qui vont en décroissant avec une très-grande rapidité : la marche de cette fonction ^■st repi-ésentée par une courbe dans la ligure 60.

DlFKUACTrON. 367

^ouï pouvons luainlenanl nous rendre uuniple de l'ai^pect que présentent les phénomènes danti la lumière Koriiugèiie. L'intensité lumineuse est nulle en tous ies points du plan des xy pour lesipiels un des deux derniers facteurs de la valeur de P devient égal à zéro, r'est-à-dire en tous les points pour lesquels on a, m étant un nombre entier différent de zéro.

On a donc un sjsièmu de li^jnes entièrement ubscures dont le» équations soni

Ces lignes forment deuv systèmes de droites équidtstantes , |iarallcles les unes à l'axe des x, les autres à l'axe des y, et constituent un réseau à mailles rectangulaires. Les mailles de ce réseau sont toutes égales entre elles et semblables à l'ouverture ; maïs elles ne sont pas orientées de la même fac;un ([uc l'ouverture, car les côtés hoiiwlo- (jues ont des directions perpendiculaires. Plus sera grande lu longueur d'un des côtés de l'ouverture , plus les l^nes noires qui sont perpendiculaires à ce côté seront serrées. La ligure 61 représente le réseau de lignes noires dont nous venons de parler; l'ouverture rectangulaire est figurée séparément. Sur chacune des droites Ox et Oy, l'un des deux derniers fadeurs de la valeur de P est constant et égal à l'unité, tandis que l'autre présente des niaxima qui décroissent très-rapidement, et par suite l'intunsilé lumineuse présente aussi des ma^ima qui deviennent du

268 LLMIÈKK MON POLARISÉE.

uioins en moins intenses; ces droites ne font pas partie du réseau des lignes obscures, et le point 0 est le plus éclairé parmi tous ceux du plan. Pour tout point qui n est pas voisin de l'un des deux axes, les deux derniers facteurs de P ont des valeurs très*petites; par conséquent, les maxima qu'offre l'intensité lumineuse dans l'intérieur des mailles qui ne sont pas très-voisines de l'un des axes sont très-faibles par rapport à ce que sont les maxima sur les axes mêmes. La partie la plus apparente du phénomène est donc une sorte de croix dont les branches sont dirigées suivant Ox et suivant Oy. Lorsque l'ouverture est un peu large, les maxima et les minima sont très-resserrés; l'œil ne peut alors les distinguer, et on croit voir une croix lumineuse dont l'éclat s'affaiblit rapidement sur chaque branche à partir du point où ces branches se croisent. C'est sous cette forme que l'image d'une étoile brillante s'est présentée à W. Herschel, lorsque l'objectif de la lunette était muni d'un diaphragme à ouverture rectangulaire ^*^ A mesure que les dimensions du diaphragme deviennent plus petites, la séparation des maxima et des minima s'accuse plus nettement : lorsque l'ouverture est suffisamment rétrécie, on aperçoit au point 0 une tache lumineuse beaucoup plus brillante que les autres, de forme rectangulaire, et semblable à l'ouveilure que l'on aurait fait tourner de 90 degrés; sur chacun des axes se trouvent des taches présentant la même forme, mais dont l'éclat va en s'affaibHssant très-ra|iidenient à partir du point 0 ; d|ins les angles formés par les axes , on observe des taches lumineuses beaucoup moins brillantes que celles qui sont situées sur les axes et d'une forme plus compliquée. Dans la lumière blanche ces taches lumineuses se transforment en autant de spectres; les valeurs de Ç et de i; qui correspondent soit à un même maximum, soit à un même minimum, croissant avec la longueur d'ondulation, tous ces spectres ont leur extrémité violette tournée du côté du point 0, qui est le centre du phénomène.