DlffînMitoit pmr une fente étroite à hmrém imimllèles

— Si Tune des dimensions de l'ouverture rectangulaire que nous

^'^ Tiaité tle la lumiète piir J. Ueiscliel (Iruduclioii de Verliulsl cl (juolelet), t. 1, p. ôo5.

DIFFRACTION. i69

venons de considérer est très*grande par rapport à l'autre; si, en d'autres ternies, cette ouverture se réduit à une fente à bords parallèles, étroite et très-allongée, le phénomène prend l'aspect d'une ligne perpendiculaire à la grande dimension de l'ouverture et située dans un plan mené par le point lumineux perpendiculairement aux bords de la fente. Dans ce cas, en effet, l'intensité lumineuse, d'après ce que nous avons vu plus haut, devient insensible dès qu'on s'écarte de cette ligne, sur laquelle on observera d'ailleurs des niinima d'intensité qui seront tous nuls et des maxima qui iront en décroissant rapidement à partir du point où la ligne est rencontrée par la perpendiculaire abaissée du point lumineux sur le plan de In fente. Toutes les fois que l'ouverture diifringente est formée par une ou plusieurs fentes à bords parallèles, il suffit donc de chercher les variations de l'intensité lumineuse aux différents points de l'intersection du plan dans lequel les phénomènes sont supposés observés, ou plan du tableau, avec un plan passant par le point lumineux et perpendiculaire aux bords de la fente. Il résulte de là que, si la source lumineuse, au lieu de se réduire à, un point, présente la forme d'une droite parallèle à la fente, chaque point de cette source produira les mêmes effets que s'il était seul. Pour trouver l'aspect du phénomène, il faudra donc considérer isolément un point de la source, chercher la distribution des maxima et des minima sur la droite suivant laquelle le plan mené perpendiculairement à la fente par ce point coupe le plan du tableau, et mener par les différents points de cette droite des parallèles à la ligne lumineuse en donnant à ces parallèles des longueurs égales à celle de la ligne lumineuse si les rayons sont reçus directement sur un écran, à celle de son image si on emploie une lentille convergente : sur chacune de ces [larallèles l'intensité restera constante, et, si on opère avec la lumière blanche, chacune de ces parallèles présentera la même couleur en tous ses points.

Pour effectuer les calculs d'une façon plus commode, nous supposerons, dans tout ce qui est relatif aux phénomènes produits par une ou plusieurs fentes étroites, que les apparences soient observées sur un écran placé a une distance infiniment grande du corps diffringent et que la source lumineuse soit assez éloignée de l'ouverture

point au point éclairé faisant un ang^e infiniment petit avec le plan tangent à l'onde , l'intensité du mouvement envoyé suivant cette direction est négligeable. Dans tous les cas, les bandes peuvent donc être assimilées à des ondes linéaires. Il suffira par suite de considérer la portion de Fonde comprise entre deux plans perpendiculaires i ceux qui limitent les bandes et tels , que , dans Tintervaile de ces deux plans, il y ait toujours un grand nombre d'arcs élémentaires. On divisera celte région en bandes infiniment étroites perpendiculaires aux précédentes, et, en continuant le raisonnement comme dans le cas d'une onde sphérique , on arrivera aux mêmes conclusions.

Si , parmi les cônes ayant pour sommet le point éclairé , aucun n'est tangent à Tonde, et s'il existe seulement un cône asymptote à l'onde ou un cône parallèle au cône asymptote, il faudra employer le même mode de démonstration que dans le cas d'une onde plane indéfinie (51). On décomposera l'onde en bandes infiniment étroites par des plans parallèles entre eux, et on ramènera l'action de chacune de ces bandes à celle d'une portion située près de son pôle. L'action de l'onde se trouve ainsi réduite à celle d'une bande qui va en s'élargissant à mesure qu'on s'éloigne du pôle; les zones élémentaires de cette bande ont des surfaces de plus en plus grandes lorsqu'on s'écarte du pôle; mais, comme nous l'avons vu dans le cas d'une onde plane qui est leplus favorable à l'élargissement de la bande efficace , par suite de l'accroissement de la distance au point éclairé et de l'obliquité , les vitesses envoyées par ces zones au point éclairé n'en décroissent pas moins de façon à devenir négligeables pour les zones séparées du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires.

Nous arrivons ainsi à cette conclusion générale : Longu'tiiie tmJe de forme quekonque ne présente quun pdk unique par rapport à un point extérieur, $on action sur ce point se réduit à celle iune région très-petite comprenant le pôle.

Si l'onde présente par rapport au point éclairé plusieurs pôles séparés les uns des autres par un grand nombre d'arcs élémentaires, il est évident que l'action de l'onde sur ce point se rédoii à celles de régions très-petites en nombre égal à celui des pôles et comprenant respectivement ces pôles.

DIFFRACTlOiN. i71

par suite, si nous représentons par sin97rq.rfjp la vitesse envoyée

au point P par rélément de la droite AB correspondant au point A, la vitesse envoyée par l'élément qui a pour milieu le point M sera

égale à

f t a; sin ^\ , smaw ( 7x5 j — 1 ax.

L;i vitesse envoyée en P par la droite AB est donc représentée par

iin ^\ , t r^ x&iTk S t

frt . (i asmJN , . t [^

I Smiîwlqr T — I «A* ==Sin aWrï? I COSQTT

xûn S

t r^ . xsin S 1

— rOS 9.1t qr I Sin 9W" — T — aûc.

Cette vitesse étant proportionnelle à colle qui provient de l'ouverture tout entière, on a pour la valeur de l'intensité lumineuse nu point P, en supprimant un facteur ccnslan',

/ À . asinJ\2 , r ^- ( rtsin^ Mj

\27rsind A / l.27rsmc) v. ^ /j -

X* / a sin S\ X . « « sin S

^~ . i ' it^ (9 — 9 cos an — ^ — 1 = a . .. n sm^ ir — ^ — i

et, en multipliant et divisant par ^%

a sin J sin*7r

sin^TT — r

L'expression qui représente l'intensité se compose donc de deux facteurs dont l'un est constant et l'autre de la forme — ?— • ^ons

avons étudié plus haut (69) les variations de cetle dernière fonction, et nous avons vu que ses minima sont tous nuls et correspondent aux valeurs de u données par l'équation u^mir^ m étant un nombre entier différent de zéro. L'intensité est donc nulle sur toutes les di-

il'2 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

reriions pour losquellos on a

> ^ mX sin d= — ; a

si l'angle S est trcs-petil, comme cela arrive ordinairement, on aura Irès-approximativemenl pour ces directions

mX

Les déviations qui correspondent aux minima sont par conséquent proportionnelles à la longueur d'ondulation, en raison inverse de la largeur de la fente, et croissent comme la série des nombres entiers consécutifs.

L'intensité passant par une valeur maximum en même temps que le facteur variable, les déviations qui correspondent aux maxima de lumière sont données par la formule

oti

sin^=-r7 ira

M^ étant une des racines de l'équation

ti = tangtt.

Si 11 a une valeur un peu considérable, la racine u^ diffère peu» comme nous l'avons vu, de (aw+t)-* Les déviations qui correspondent aux maxima d'un rang élevé sont donc données approximativement par la formule

sm d= •

Les maxima décroissent du reste très-rapidement si partir do In direction normale n la fente; c'esl ce que montre l'étude (pie nous

avons faite de la fond ion . •

Loi'sqii'on opère dans la lumière blanche, on aperçoit an cenln» du phénomène uno bande blanche et brillante qui est située sur la

DIFFIlACTlOiN. ^73

diroclion normale à la ïenie. diffringento : de chaque rôle de celle bande se trouve un espace obscur, puis \iennen! des spectres de moins en moins brillants et séparés par des bandes noires. La déviation augmentant avec la longueur d'ondulahon, tous ces spectres ont leur extrémité violette tournée du côté de la bande centrale. Les spectres qui s'observent dans le cas d'une fente unique ont été appelés par Frauenhofer spectres de première classe.

Des considérations tout à fait élémentaires permettent de déterminer, lorsque l'ouverlure diffringente est formée d'une fente unique , les directions sur lesquelles l'intensité lumineuse est nulle. En effel . pour que l'intensité lumineuse, envoyée par l'ouverture en un poini P situé à une très-grande distance sur une droite faisant avec la normale au plan de cette ouverture un angle S^ soit rigoureusenienl nidle, il faut et il suffit que, par rapport au point P, la droite ^D comprenne un nombre pair d'arcs élémentaires, c'est-à-dire qu'<Mj abaissant du point A une perpendiculaire AL sur la droite BP (lig. 6fî) on ait

BL==mX,

don, comme on a

on (

lédiiit

BL = ^/ sin S.

sm è^ —

valeur idenlique à celle qui a été trouvée plus haut.

Les directions qui correspondent aux maxinui ne peu\enl r**tre déterminées aussi simplement; on peut remarquer seulement qu'elles doivent être voisines de celles pour lesquelles AB peut se décomposer en un nombre impair d'arcs élémentaires, c'est-à-dire des directions qui sont données par la formule

. ft {2n-i-i)X smd = - —'

Nous avons vu en effel que cette formule, dès (pie n a une valeur un peu considérable, indique avec une grande approximation les directions sur lesquelles l'intensité a une valeur n)aximun].

Frauenhofer, à qui on doit la découverte des pbénomènes que nous

Verdet, V. — Opliqiio, I. i8

â7/i LUMIÈRE NON POLARISÉE.

venons de dérriro, et en général de tous ceux que présentent les ouverhires diffringenles formées de fentes à bords parallèles lorsqu'on ' les regarde à travers une lunette ^'), a reconnu dans ses expériences que les déviations des rayons rouges dans les spectres successifs forment une série dont les termes sont entre eux comme la suite des nombres entiers. Il semble au premier abord que ces résultats soient en contradiction avec la théorie que nous venons d'exposer et d'après laquelle la loi trouvée par Frauenhofer s'applique aux minima d'intensité; mais un examen plus attentif montre que cette contradiction n'est qu'apparente. Les nombres consignés dans le mémoire de Frauenhofer satisfont en effet à la formule

sin()= -<.

i\ ('(Hidition quon donne à A non pas la valeur qui convient aux rayons rouges, mais celle qui correspond aux rayons les plus intenses parmi tous ceux du spectre, c'est-à-dire aux rayons jaunes: or l'absence de ces rayons jaunes produit sur la rétine l'impression d'un rouge sombre teinté de violet. Les directions sur lesquelles cette dernière nuance présente un maximum d'intensité correspondent donc aux minima dp certains rayons simples du spectre, et leurs déviations doivent suivre la loi (jne la théorie indique pour tes minima.

7 I . Dilffrfielion par deux fenteii étroites k bords porollèles, éiroleii et trè«-ropproehées lUine de l*fiutre. — Sup- |)Osons maintenant que Tcuiverture diffringenle se compose de deux fentes étroites a bords parallèles, ayant chacune une largeur égale à n et séparées par un intervalle opaque dont la hirgeur. que nous désignerons par A, soit aussi très-petite.

Kn raisonnant comme dans le cas précédent, on tromera, pour l'intensité de la lumière en un point P situé à une très-grande dis-

<') Les travaux do Frauenhofer sur la dilTraclion so Irouvenl tou» expiMés dans le Mi>inoire intitulé : Newe Modijicalùm de» làrhin durck gfgêHMeitiffe EinwirkunK uni Beuffung di'i' Strahlcn, nnd Ge»plZ4* dn-nelbea, pulilié pour In première fois en t8f)3 dans le II' volumi* des UlrohOMt'xehe AhhnMUmigPH do Schumarlior ol reproduit on partie danslos Annolrëdt fiUhtrt,{. LWIV. p. .137.

DlFFRACTlOiN.

lance sur une direction faisant avec la normnl^ au plan des fentes un angle i,

,. f (^ xsin^, , /^« + rf TsinS j N,»

r=-\ I C0S2W — > — dx+ \ cosîiw--> — na- 1

a: sin ^ , f^na-^d . jsin^ , >-.i

+ I sin STT — X — dx +1 sin 9w -

4ir'sinv L

SinSTT

asin^

+ sin97r -

(aa + </)sinJ'

— sm *?7r

(fl-f-d)sin^"]2

A r asxuS , (û-f-(/)sin^

-^T? « — ^^^ •^'T - > h cos Qw ^^

sin <3 L ^ A

— cos «ir

(afl4-df)sin^ia

r > -J' » I' (arn-rf)sinJ' ^* . i i

il ou , en considérant I arc îitt j-^ comme étant ta somme des

, (a-hrfjsinJ flsin^ . «. . . ., .

deux arcs qw ^ - et aw — r — et en eliectuant les réductions,