I- ^ ■ . ,, 'I - ûi cos 97r — ç h 4 cos «îir ^ i
Att sm d LA A
(a/n-c/)sin^ rfsin S
— 9 cos 'îTT ^ ;j cos 97r — r —
A r as\ï\S ,
, . rir 1 - cos fîTT — T h cos îiTT
TT sm d L A
/isin (J"
cos 9W — \ — cos *Mt
{a + r/)sin J
as\ïïS\ ( - , . .-?> l t - <*os îîir — ç — » i w sm d \ A / X
. , («-+-(/) sin J T^ — ! \ \ -t-cosQTT
lA . , rtsm^ ., (/i-f-(/)sm^
=- ^ . ,>sin -TT - ^- cos-TT ç ;
TT sm*J A A
d'où enfin , en multipliant et divisant jiar rr,
sm TT — X —
l^ ^- lui
ir*fl*sin*J
^ Q (/i-f-//)sin^
-w- COS^ TT ^.^
Ûlti LUMIÈRE .NON POLARISEE.
L'uilciisit*^ lumiiiPiise est donc exprimée dans le cas actuel par un produit de trois facteurs : le premier de ces facteurs est constant:
le second est de la forme — r- ; il présente par conséquent des mi-
ninia qui sont tous nuls, et des niaxima qui vont en décroissant très-rapidement et dont le premier est égal à l'unité. Quant au troisième facteur, ses valeurs minima sont toutes nulles et équidistantes , ses valeurs maxima sont aussi équidistantes et toutes égales h l'unité: les déviations qui correspondent aux valeurs minima dé ce facteur siitisionl a la relation
. r ( 2/t 4- I 1 X 2 f/H-ff)
el celles qui correspondent aux valeurs maxima du même facteur sont données par la formule
sind== ji
h élant un nombre entier quelconque.
• l/intensité lumineuse s'annule quand l'un des deux derniers
fadeurs devient égal à zéro; les déviations qui correspondent l\ une
valeur minimimi de l'un de ces facteurs sont donc aussi celles pour
lescpielles l'intensité a ses valeurs minima, valeurs qui sont toutes
nulles.
L'intensilé est nulle sur toutes les directions pour lesquelles on a
. f. mX
sinJ= a
un
. ft (a/i-f- i)X
le pliéntunène présente par suit*» deux séries de bandes obsruros : relies qui résidtent de la \ariation du troisième fadeur scuit plus res* serrées que c(»lles (|ni pro\ieiuien( du second fadeur, et la dilTérenci* (lui exista» entre récarlemenl des bandes de ccvs deux sx sternes est dautant plus nianpiée que l'intervalle entre les deux fentes a une larijeur plus considérable par rapport à celle des fentes.
Les valeurs maxima de l'intensité ne coïncident rigoureusemi'nl ni aver les maxima du serond farteur. ni avec les maxima du troi-
DIFFUACTIOiV 277
sièiiie ; liiais cuiume, en jjëiiéral , pour les valeurs de S qui reutlenl Tun des facteurs inaxi.nmra, l'autre facteur ne se trouve pas dans k voisinage d'un minimum, l'intensité présente des valeurs niaxima )Our des déviations peu différentes de celles qui rendent maximum 'un ou l'autre de ces facteurs. Il existe donc deux séries de bandes brillantes quand on observe le pbénomène dans la lumière homogène : les unes ont à peu près les mêmes positions que celles qu'on obtient avec une fente unique, les autres sont plus resserrées ; toutes ces bandes diminuent du reste très-rapidement d'éclat ii mesure qu'on s'éloigne de celle qui occupe le centre du phénomène. Dans la lumière blanche on aperçoit une bande centrale blanche, et de chaque côté de cette bande deux systèmes de spectres tournant tous leur extrémité violette vers la bande centrale et s'affuiblissant trèsrapidement. Les spectres qui résultent de la variation du second facteur offrent à peu près la même disposition que ceux qu'on observe avec une fente uni((ue ; ce sont les spectres de première classe. Ceux qui proviennent de la variation du troisième facteur et qu on appelle spectres de deuxième classe sont plus rapprochés les uns des autres que les premiers , et , si l'intervalle qui existe entre les fentes est suffisamment grand par rapport à la. largeur des fentes, il peut arriver, comme Ta remarqué Frauenhofer, que tous les spectres visibles de deuxième classe soient compris entre la bande centrale et le premier spectre de première classe.
L'existence des minima de deuxième classe peut s'expliquer par des considérations tout à fait élémentaires; les déviations qui correspondent à ces minima sont données en effet par la relation
[a + d)smS=- (•în+ i)--»
qui exprime que la différence de marche entre deux rayons provenant de deux points homologues des deux fentes, et aboutissant a un point situé à une très-grande distance sur la direction considérée, est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation. Or, s'il en est ainsi, chaque rayon parti d'un point de l'une des fentes est détruit par le rayon provenant du point correspondant de l'autre l'ente, et, par suite, rinlcnsilé est nulle sur la direction considérée.
278 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
72. lHifi'm«ti«« par un ffr»nil ■•■ilupe ûm fe«t«iéip«lt«% égales 9 éqtildlMaiites el; à bords iiavallélMk — WiémmmuiLm —
Un système diiïringent composé d'un grand nombre de fentes étroites , à bords rectiiignes et parallfMes, toutes égales, équidîstantes et trèsrapprochées les unes des autres, constitue ce qu'on appelle un réseau. Les phénomènes des réseaux ont été découverts par Frauenhofer, qui en a fait connaître ies lois expérimentales : ils ont une très-grande importance en ce qu'ils fournissent le procédé le plus exact pour la détermination des longueurs d'ondulation. Leur explication théorique est due principalement à Schuerd'*'; nous allons l'exposer avec quelque détail.
Soit un réseau formé de n Fentes étroites ayant chacune une largeur égale à fi, et désignons par d la largeur constante de Tintervalle opaque qui existe entre deux de ces fentes : nous aurons, d'après ce qui précède, pour l'intensité de la lumière en un point situé à une très-grande distance sur une droite faisant un angle i avec la direction normale au réseau, l'expression suivante :
+ sin 97r s-^ h
. [fifl -»-(w — ij/Zjsin^
"r" Sin 2W *-**— -■'■■ >■■ ' ■ ■»
(a-4-f/)sin^ . (ao-*- arf)sin^ -— sm 37r j^ sui aw j-^
(3tf -4- 3d)sin^
— sin îsw j^ • • •
[(/è— i)a-k'{n — \)(lW\iiSy
— sm aw 5- — —^
, r {a-^d]sii\S , (a(? -h 3f/) sin <î + i+cossTT^ y^ hcosatr r-^
{3a -H3rf) sin^ , + cos air ' ^, h • • •
[in — \)n-h'(n — i](/]sin^ iisinJ + cos air > cos •iir
(a« -+- d) sin S ( 3a -^ arf) sin S — cos air ^ cos air jp
[na h [n — iW^ sin^ VI
cosa^t ^ 1^.
<•> Die Deyg^tngi«r8ckiinup^èn,}fU]xheimi i835.
DIFFRACTION.
La réduction des termes contenus dans les crocliels se fait à Taidc des formules qui donnent la somme d'une série de sinus ou de cosinus dont les arcs sont en progression aritlimétique: ces formules sont
sina-f-sin((x + iS) + sin(a+ •îi8)+ ... + sin | « + (/«-- i)j8J sni -- sm a -+- ^ c
rosa-f-cos(a + iâ) + cos{ a+ y/3 )4- . • H- co> | « + ( « - i )/3J
. nB sin-^cos
• i8 sm-
On y arrive aisément en remplaçant les sinus et les cosinus par des exponentielles imaginaires ; on obtient ainsi des progressions géométriques dont on effectue la sommation, puis on revient aux lignes trigonométriques.
En faisant usage de ces formules, il vient
sin^TT
n(a-¥d)siïtS
47r*8in*^ • « (a + d)sin^
sin n
[2a4-(H — i)(a-4-rf)] sinS
-— smw
(« — i){a-f d)sin^V
. r (w- i)(a-4-rf)sinJ [2a-¥(n — ï),a-}-d)]smSy)
-r COSTT ^ COSTT ' ^ j J
sm-'/m
(a -hé/jsin^
= , , . , f ; iT'-^- l *-i — a cos air - -r— j
sm'w
sm-WTT
(a-hd)siu S
^___ \ ' 2 asinS
7r*sin'^ !9^(a-4-d)sinX ^ ^ X~
sm^TT
280 LLMIÈUE NON POLAlUSKK.
(Fou enfin, en inullipllant et divisant par a-,
. ., //siii<î . ., la 4 d) sin S sin-TT — < — sni- nti . —
l" — II' ■ . 1. 1 • —
— — ^, — sin-TT — - -/
L'intensité est donc représentée par le produit de trois facteurs dont le premier est constant; le second facteur, que, pour abréger, nous
désignerons par P, est de la forme — 5-; nous en avons déjà étudié
les variations en traitant du cas d'une fente unique; (piant au troisième facteur, il prend, en posant
[a-hd) sin S
si 11"//:
la forme -7-TT"*^ nous le désignerons par (J.
Pour trouver les valeurs de : qui rendent Q maxinmm ou minimum, égalons à zéro la dérivée de Q par rapport à z, ce qui
donne
sin //; (/isin : cos/*r — cos: sin nz)
sin^c
étpiation qui se décompose (ui deux autres,
\ sin/t:
' sni :
et
/ \ • /rsiri : cos/<: — cos: sin //:
sm*:
Les racines de Téqualion (ij sont données par la formule
/. étant un nombre entier <pii ne soit pas un nudtiple de ti : si en effet k était divisible par m la quantité '— r f prendrait la forme -^
et, en cherchant les dérivées du numérateur et du dénominateur, on voit facilefiienl fjue la véritable valeur de cette quantité serait alors éfjide à v, Lns racine.^ de 1 équation (i) annulent le fadeur Q
DlFFll ACTION. -J81
ci doniieiit par suite à ce facteur des valeurs niiiiinia ; ces racines correspondent à des déviations représentées par la forumle
SlII d =- -
où k est un nombre entier non divisible par n : sur toutes les directions dont les déviations satisfont à cette relation, le facteur () est nul, et par suite il en est de même de Tintensité lumineuse.
Les valeurs maxima du facteur Q correspondent aux racines de Téquation (»2), qui, puisque le dénominateur du premier membre ne peut jamais être nuL se rédirit à
(•)) tang/u=«lang:.
I^es valeurs de z que détermine cette dernière équation se divisent en deux groupes : les unes, qui sont données par la formule
tu étant un nombre entier i{uelconque. annulent à la fois tun{j//:ct tang:; les autres n'annulent aucune de ces deux quantités. Les racines du premier {;rou|)e correspondent à des déviations représentées par la formule
niA
sind=^ — — .:
elles font prendre au fadeur Q la forme-- Mais, en renjarquanl
(lue ce facteur est égal à (— "~ ] , on \oil que sa véritable valeur
\ sin z I
s'obtiendra, toutes les fois que %\\\nz et sinz sont nuls simultané-
(Il f*#)& Il ■* \ ' — 7— ,— j ; donc, loreque
z est égal à i/itt, le facteur Q est toujours égal à w-. Les maxima du facteur Q qui correspondent aux racines du premier groupe sont j)ar suite tous égaux à n-, et ces maxima sont équidistanls : nous les appellerons maxima principaux.
Considérons maintenant les racines de l'équation (*)) appartenant au second groupe, et cherchons d'abord celles qui sont comprises entre les deux racines zéro et it (|ui font partie du |)remier groupe.
Quand z croît de zéro ti — • tang/c croit de zciu l\ -|- oc en conseï-
282 I.UMIÈdK MIN COI.AKISÉK,
vaiil loujunrs mif valeur supérieure » celle de ntaiigz; il n'y a donc |ias dtt rurini! dans cel iiilervalle. iVfais, pendant que z varie de -- à -^ 1 laufiu: croît de — oc à + c» el i> lanyj croit aussi d'une manière continue: il y a donc une racine dans cet intervalle, et. en traçant les courbes tpii représentent l<i marcli« des fonctions
"tang; el tangfi;, il est 1' (ju'une seule. L
cl 1» figure 6i les valeurs de
e de s'assurer (ju'il ne [leul y en avoir lit n égal à 5,
n su|>|iKSBiil H égal à 6; les abscisses représentent . les coordonnées les valeurs corresi'ondanleii de?
DIFFRACTION, 283
deux fuiiclions n laiigz el langiiz. En se bornsuit à l'aire varier z de zéro à ir, on obtient dcu\ courbes : la première , formée de deux branches infinies OiM et iVlT, indique la marche de la fonction tttangz; la seconde, formée d'une série de branches ON, M'.N",... au nombre de n-f-i, correspond à la fonction tangnz. IjCs points d'in* ierseclion de ces deux courbes ont des abscisses égales aux racines de Téquatiou (ti). On voit ainsi qu il y a une racine, et une seule,
dans l'intervalle compris entre — el — i et ijénéralement dans l'iri-
tcrvallc compris cnlre {-ip - t)— ci [:>.]>+ \) — '> p étant un nombre
entier tel que q^ + i soit plus petit que w. On serait porté à croire d'après cela qu'il y a w — i racines du second groupe entre zéro et ir; mais l'inspection des figures 63 et (il monti*e qu'il n'y en a que n— *j : cela tient à ce que, si n est pair, il n'y a pas de racine
comprise entre et ^H — % tandis que, si w est impair, les
deux racines comprises entre et — | se confondent et
<^ a aie a an
sont toutes deux égales à - •
L'équation (*î) a donc « - 3 racines entre zéro et n : nous rcj n»senterons ces racines par :^, Zj» -sv-» ^«—2- En augmentant l'une d'entre elles de ^tt, 9 étant un nombre entier quelconque, on aura encore une racine de Téquation, d'où il résulte qu'entre qic et (^+i)7r il existe encore w — a racines égales respectivement à Zi + y-TT, z^ + qn, Zj + ^fw,..., z„.2 + y • ^oun appellerons maxinm secondaires les valeurs du facteur Q qui correspondent aux racines de réquatio!K(-j) appartenant au second groupe; il est facile de voir que ces maxima secondaires sont tous beaucoup plus petits que les maxima principaux. Pour le démontrer, mettons l'équation (a) sous la forme
//*sin'z sin*/«r
