sin
LIMIKHE NO.N l'OLVIUSEE.
11 l'éMiUt' (li; Ih (jiic les valeurs dt' (J <|ui cui;i-us|)uiidciiL aux nicltit's de l'équalioii (n) ]»oiir le!i(|uelli-s sin"-'; ne s'annule pas, c'esl-à-dire aux racines du seiond (;i'ou|m>, son! loulfis beaucoup plus pctiteijquu «^ si II a une valorir un peu considérable. On voit encore que les uia\im;i secondaires du factour Q cuni|)rls entre deux ina<iitiia principaux vont en décroissant d'autant plus rapidement que h est plus grand, depuis le premier ruatinmiu principal jusqu'au milieu de l'intervalb' qui sépare les deux maxima principaux, ])uis en croissant depuis et' milieu jusqu'au second maximum principal; ces maxima secondaires ne M)n( pas équidistants .
mais ils sont disposés s\- —
métriquemenl [»ar ra[i
port au milieu de l'in
tervalle entre les deuï ~r^ maxima principaux , •-! 3 ceux ([ui sont égulemeuL-S éloignés de ce milieu oiil=^= des valeurs égales. Oii^m e de !a fonction Q à l'aid^^
de la ligure (15: la courbe tracée sur celle ligure repi-ésente les va
rialioiis de 0 quand ; croit de zéro à IW, » étant supposé égal à li Eu résumé, le fadeur 0 présente ;
i" Des minima tous nuls et équidistauts correspondant aux dévia — lions représentées par la formule
cunqi
où k est rin nombre entier non divisible par fi:
ii" Des maxima principaux, tous équidislants el égaux à h-, cor — respoudant aux déviations représentées par la formule
sin-î-
où m est un nombre entier quelconque;
•!" Des maxima secondaires au nombr Qiaxinia principaux conceutif^. inégaux
le w — 9 entre deu ■* non équidiiitanU et Ion ^
DIFFRACTION. 5>8ri
beaucoup plus petits que les maxima principaux tfeis ^que le nombre des ouvertures est tant soit peu considérable.
On peut conclure de ce qui précède que, si l'intensité ne dépendait que du facteur 0, on verrait une série de bandes brillantes correspondant aux maxima principaux ; ces bandes auraient toutes le mêmeéclat, et leurs déviations seraient entre elles comme la suite des nombres entiers : ces déviations étant indépendantes de w, les positions occupées par les bandes brillantes ne changeraient pas avec le jiombre des ouvertures. Les espaces compris entre ces bandes brillantes seraient sillonnés de raies beaucoup moins brillantes que les bandes et correspondant aux maxima secondaires; ces raies seraient très-resserrées lorsque le nombre des ouvertures serait considérable, et par suite les espaces inlenn<»diaires entre les bandes brillantes présenteraient alors l\ Tœil une teinte foncée uniforme.
En réalité, les variations de Fintensilé lumineuse dépendent nonseulement du facteur Q, mais encore du facteur P. Lorsque l'intervalle opaque d a une. largeur considérable par rapport à celle «le rintervalle transparent /?, conune cela a lieu dans les conditions ordinaires de Texpérience, P varie beaucoup jdus lentement que Q- Les déviations pour lesquelles P a une valeur minimum sont en effet données par la formule
. ^ niA
sin d = — 1 a
tandis (|ue les maxima principaux de Q correspondent à des déviations représentées par la formule
srn d =
Si a i\A petit par rapport à r/, le facteur Q passera donc par un grand nombre de maxima principaux avant que le facteur P ne passe par son preuiier minimum, et les maxima les plus apparents de rinlensité lumineuse se manifesteront sur les directions qui correspondent aux maxima, principaux du facteur Q.
dépendant l'influence du facteur P se fait sentir par deux espèces d'effets :
â86 LUMIEKE NON POLARISKK.
i°(]e farleiir décroissant Irës-rapidemenI, les maxiina de rinteiisité lumineuse, bien que coïncidant avec les maxima principaux du facteur Q, s'affaiblissent de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne de In bande centrale.
a"" Les minima du facteur P étant nuls, toutes les fois qu'un maximum principal de Q coïncide avec un minimum de P, l'intensité est nulle au lieu de passer par un maximum. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que Ton ait
mX m'X
d'oii
et
par conséquent, si le rapport 7 qui existe entre la largeur d'un intervalle trîlns|)arent et celle d'un intervalle opaque peut s'exprimer par une fraction dont les deux Icrmes soient des nombres entiers, la bande brillante dont le rang serait égal n la somme des deux termes de cette fraction fera défaut.
11 est facile maintenant de se rendre compte de l'aspect que présentent les phénomènes dans la lumière blanche; il existe alors trois ordres de spectres : les spectres de première classe, qui proviennent de la variation du facteur P; les spectres de seconde classe, qui correspondent aux maxima principaux du facteur Q, et les spectres de troisième classe, qui correspondent aux maxima secondaires de ce même facteur i»t qui sont compris entrai les spectres de seconde classe. Mais, lorsque le nombre des ouvertures est considérable, les spectres de troisième classe sont tellement resserrés qu'il est im|>ossible de les distinguer, et les spectres de première classe ne manifestent leur existence ([ue par l'affaiblissement graduel des
spectres de seconde classe, et, lorsque le rap|)ort ~, de la largeur de l'intervalle transparent à celle de l'intervalle opacpie est égal si ' • h et A* étant des nombres entiei*s, par la disparition complète du
DIFKUACTIOX. 287
spectre de seconde classe» de ranjj li + h, Ii0rs(|ue le nombre des ouverlures anjjniente, les speclres de seconde classe tendent donc à prt^dominer entièrement et à devenir seuls visibles: en niAme temps, ces spectres s'épurent de plus en |)lus, et on finit par y distinguer les raies de Frauenhofer. Le phénomène présente alors l'aspect suivant : au centre, une bande blanche brillante; de chaque côté de cette bande, un espace obscur assez large, puis une série de spectres tournant leur extrémité violette vers la bande centrale et s'affaiblissant rapidement : ces spectres sont de plus en plus étalés à mesure qu'on s'éloigne delà bande centrale, et en même temps les espaces obscurs qui séparent deux spectres <'onsécutifs se resserrent de plus en plus.
Supposons le nombre des ouvertures assez ^jrand pour que les spectres de seconde classe soient seuls visibles ; les déviations d'une même couleur ou d'une inême raie dans les différents spectres seront alors données par la relation
in S^
ou, si l'angle S est très-j)etit,
o jt
a -hfl
A étant la longueur d'ondulation de cette couleur ou de cette raie. t»t m le rang du spectre. On peut tirer de cette formule les conséquences suivantes :
i" Les déviations d'une même couleur dans l(»s dilférents spectres sont entre elles comme la suite des nombres entiers.
'î" (]es déviations ne dépendent pas du nombre des ouvertures qui constituent le réseau.
3° Les longueurs des spectres successifs ou les distances entre deux de leurs raies de même nom sont entre elles comme la suite» des nombres entiers.
^1° Les positions des spectres ne dépendent que de la somme //4-</ des largeurs de l'intervalle opaque et de l'intervalle transparent, somme qui constitue ce qu'on appelle un Mémeul du réseau ; si le
rapport n vient à changer, la sommo n-^d restant constante, les
212 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
étant immense par rapport à celle des ondulations lumineuses^ les dimensions des ouvertures ou des écrans qui peuvent produire une diffusion du mouvement vibratoire dans toutes les directions sont incomparablement plus grandes pour le son que pour la lumière^*'.
^'^ Pour la bibliu||raphie de ce chapitre, voyez ù la (in de la première partie la bibliographie générale de la diffraciion.
DIFFRACTION. 289
très-grande distance sur la direction considérée; abaissons du point A deux perpendiculaires AQ et AR sur les parallèles menées par le point M à la direction des rayons incidents et à la direction AP. Si la vitesse envoyée en P par l'élément correspondant au point A est représentée par
celle qu'envoie en P l'élément correspondant au point M sera
// MQ-+-MR\ , smîjTr (;p^ -^ ) dx
/ .xsini-4-.xsin(J— i)
sinfîTr
r/ .xsmi-4-.xsin(d— 1)*| • l T \~ J ^'^•
Les calculs qu'il faudra effectuer pour déterminer la valeur de l'intensité lumineuse en P seront identiques à ceux que nous avons développés pour le cas de l'incidence normale, mais sinisera remplacé par sini+ sin(J— t). Lorsque les angles t et S sont petits, celte dernière expression se réduit sensiblement à i+S—t^ c'est-àdire à S. Les lois du phénomène, lorsque l'angle d'incidence est petit, sont donc les mêmes que dans le cas de l'incidence normale, pourvu qu'on convienne de compter la déviation non pas h partir de la normale au réseau , mais à partir de la direction des rayons incidents. Il n'est pas nécessaire que la déviation soit très-petite, car, tant que l'angle d'incidence a une valeur peu considérable, on a sensiblement, quel que soit ^,
sin i + sin ( J— i) = sin S»
Les déviations, d'après le procédé qu'on emploie pour les mesurer, sont toujours rapportées a la direction des rayons incidents : on peut donc conclure de ce qui précède que ces déviations, toutes les fois que l'angle d'incidence est petit, sont soumises aux mêmes lois que dans le cas de l'incidence normale; par suite, lorsqu'on fait servir les réseaux à la détermination des longueurs d'ondulation^ il n'est pas indispensable que les rayons incidents soient rigoureusement normaux au plan du réseau.
Vkbdrt, V. - — Optiqiif*, ï. t(j
290 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
73. Détermliuitlaii de» longueurs d*aiidutotkiii moyen de» pésenux. — La formule
. t mX
rjiii repr(^sente les déviations d'une même couleur ou d'une même raie dans les spectres successifs, permet de déterminer la longueur Tondutation X lorsqu'on connaît la déviation Jet la quantité a + d \\n est la somme des largeurs d'un intervalle opaque et d'un intervalle transparent. La mesure des longueurs d'ondulation se fait avec beaucoup plus de précision au moyen des réseaux qu'à l'aide des phénomènes d'interférence ; car, lorsque le réseau est formé d'ouvertures suffisamment nombreuses et suffisamment rapprochées , les spectres deviennent assez purs pour laisser distinguer les raies, et les mesures peuvent être rapportées à ces raies, ce qui est impossible quand on se sert des franges d'interférence; dans ce dernier cas, la lumière qu'on emploie n'est jamais complètement homogène, et les résultats obtenus correspondent à des régions du spectre qu'il est impossible de définir exactement.
Frauenhofer, après avoir reconnu les lois des phénomènes des réseaux, les a appliquées h la détermination des longueurs d'ondulation. Les réseaux qu'il employait dans ses premières expériences avaient été construits en enroulant un grand nombre de fois un fil métallique très-fin sur deux vis de même pas disposées parallèlement; il obtint ensuite des réseaux plus parfaits, soit en collant sur une plaque de verre une feuille d'or et en enlevant le métal sur des lignes parallèles et équidistantes, soit en traçant sur une lame de verre, au moyen d'une pointe de diamant mise en mouvement par une machine à diviser, des traits sensiblement opaques, égaux et équidistants : ce dernier procédé est le plus usité aujourd'hui, et d'habiles constructeurs, parmi lesquels il faut citer M. \obertde Barth, réussissent à tracer plus de mille divisions dans un millimètre.
La largeur d'un élément du réseau, c'est-à-dire la quantité w-fr/, est égale, lorsque le réseau est formé d'un fil tendu entre deux >is, au pas de ces vis: quand le réseau se compose de traits opaques» tracés sur une lame de verre, il faut, pour obtenir la largeur dun
DIFFRACTION.
i-lément, mesurer la dislancp clos deux traits extrt^mes et romptor le nombre des traits.
La méthode employée par Frauenhofer pour mesurer les déviations consistait à fixer le réseau au centre d'un cercle gradué, sur la circonférence duquel pouvait se mouvoir une lunette; il visait avec cette lunette la même raie dans deux spectres de même rang placés Il droite et à gauche de la bande centrale, et Tangle des deux positions de la lunette lui donnait alors le double de la déviation de cette raie.
Deux séries d'expériences ont été exécutées par Frauenhofer pour mesurer les longueurs d'ondulation des principales raies du spectre solaire. Les nombres obtenus dans la preniière de ces séries sont ' consignés dans le mémoire publié en tSufi dans les Astronamsche ÀbhandlutigeH de Schumacher, et où Frauenhofer s'est surtout attaché n déterminer les lois expérimentales des phénomènes des réseaux: ce sont ces nombres qu'on cite ordinairement en France et même en Allemagne dans les traités de physique. Quelques années après la publication die son premier mémoire, Frauenhofer présenta à l'Académie de Munich ^'^ un travail spécialement entrepris dans le but de déterminer les longueurs d'ondulation et dont les résultats méritent par conséquent |)his de confiance que ceux de ses premières expériences. Les nombres trouvés par Frauenhofer dans ces deux séries d'expériences sont reproduits dans le tableau suivant.
DETERMINATION DES LONGUEURS DONDnL\TION PAR FR\UENHOFER.
KAIKS.
LONGUELRS D'ONDlif.ATIOX
K\ MX-NlLUOlVlilllS DK «lUIlliTIE.
an
s^rie.
w'rie.
Gr»fi'i
<») Deiiknchriflt^n tlei' Wfnehwr Akwhmw. L \U\. — Gilhetr» Atimhn . LXXÎV, ^-j.
â9à LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Frauenhofcr n'a jamais pu distinguer la raie A dans les spectres des réseaux; dans la seconde série, la longueur d'ondulation delà raie B n'a pas été mesurée.
M. Mascart a entrepris récemment des recherches destinées à contrôler et à compléter les résultats obtenus par Frauenhofer ^^^ Il s'est servi d'un goniomètre de Babinet construit par M. Brunner et avec lequel les angles pouvaient être évalués à .5 secondes près. Le réseau était fixé sur la plate-forme centrale du goniomètre; la circonférence du cercle gradué portait un collimateur destiné à rendre parallèles les rayons incidents et une lunette servant à mesurer les déviations. M. Mascart a remarqué que les spectres fournis par les réseaux présentent un minimum de déviation comme les spectres prismatiques, et a utilisé cette propriété pour la mesure des Ion* gueurs d'ondulation. Voici comment on peut rendre compte de l'existence de ce minimum de déviation : la déviation qui correspond au né^* spectre est donnée, d'après ce que nous avons vu, par la formule
sint+sin(J-t*) = ^, t désignant l'angle d'incidence; on tire de là
X = sm - cos I ;
la déviation sera donc minimum lorsqu'on aura
c'est-à-dire lorsque le plan du réseau sera bissecteur de l'angle que forme le rayon incident avec le rayon diffracté. Si l'on place le rt^ seau dans la direction qui correspond au minimum de déviation, la longueur d'ondulation sera donnée par la formule
X = - ^ ' sm - •
Il y a tout avantage à observer dans la position du minimum de déviation : la neltotédes raies se trouve alors considérablement aug-
t» Âm, de VÉcoU ijwwi., l. I ol IV. ^ C. fl., LVI , 1 38 ; LVIÎI , 1 1 1 1 .
DIFFRACTION.
nieiitée, et l'on n'est pas astreint à placer le réseau normalement aux rayons incidents.
Les résultats auxquels M. Mascart est parvenu en employant plusieurs réseaux différents sont réunis dans le tableau suivant, oii les longueurs d'ondulation sont exprimées en cent-millionièmes de millimètre.
DiSTERMlNATION DES LONGUEURS D ONDULATION PAR M. MASCART.
RAIES
