LUMIÈRE NON I»0LAR1SÉK
en posant
I sinîjw — T — dw
I COS97r — >- — (Ix
et
d'où, en tenant compte des résultats du calcul elTectué dans le cas d'une fente unique ,
flsin^ a sin TT — > —
Tasin
La vitesse envoyée au point P par ia seconde fente ne peut différer de celle qu'envoie la première que par la phase, puisque ces ouvertures ont même largeur; la différence de marche de deux rajons partis de deux points homologues des deux fentes étant égale à (/i + rf)sinJ, l'expression de la vitesse envoyée parla seconde fente ost
I /P\ • ( ^ <P (fl-hrf)sinJ\
on a de même, pour la vitesse envoyée par la troisième fente,
i/^\ • f^ 9 (3fl-4-rf-»-rf')sinJ\ ^{S)^m^2n[^-l 5^ j.
et ainsi de suite.
Soit*w le nombre des fentes, et posons pour ahréger
(éi + rf)sinJ=ej, {'ia + d+d' + d')hinS=e^,
[(n-i)a+rf+rf' + c/' + ...+d^"->]sin^=e.,;
DlFFKAGTlO^. 297
nous aurons pour la vitesse totale envoyée en P
4>{S) [sin 37r (,{ - f ) + sin a» (.{, - ^) + • • • = >{/(J)|sma7r L-p — |- j i +cos aw -^ + 008 a7ry+ • • •
— cos-jw ( ^,— -T 1 sinaTry + sinavry
+ sin97r^n •
L'intensité lumineuse au point P s'obtiendra en faisant la somme des carrés des coefficients de sin a^rf nn— y J et de cos'aw f ?f — jy ce qui donne
p=[>{;(^)]-^[w+cos27r^^ + cos37r^^H
+ cos aw ~^-T-^ + <^os aw > + + cos aw >
+ cos aw " * > "
La première partie de la parenthèse contient w — a cosinus, la seconde n — 3 , ... ; la dernière, qui est la (n — a)*"% en contient un
seul; on a donc en tout^ ^cosinus dont les arcs ont des
valeurs variant d'une façon tout à fait irrégulière. Ces cosinus étant en très-grand nombre et leurs valeurs étant réparties entre + 1 et — 1 sans suivre aucune loi régulière, on peut admettre que leur somme est sensiblement nulle, et que, par suite, l'expression de rintensité lumineuse se réduit à
±)H LUMIERE >0.\ POLARISEE,
ou à
sui-TT — ^ —
IA
(ielte expression ne diH^re de celle qu'on trouve dans le cas d'une fente unique (|ue par le facteur constant n; les phënomènes suivent donc dans le cas actuel les mêmes lois que s'ils étaient produits par une fente unique, et Tintensilë est en chaque point |)roportionnelle au nombre des ouvertures.
76. Diffraction par un srand nontbre de Bîm éffaux, parallèles et non étinidtotanto. — Supposons que te système dillringent soit formé dun {j[rand nombre d'intervalles opaques de même largeur, séparés par des intervalles transparents dont les lar- ;;eurs soient variables et entièrement soumises au hasard, ce qu'on réalisera en tendant un {jrand nombre de (ils de même diamètre parallèlement les uns au\ autres et à des distances inégales ne suivant aucune loi régulière.
Ce cas. en apparence complètement différent du précédent, conduit cependant à des résultats identiques.
Si, en effet, on désigne par d la largeur constante de l'intervalle opaque, par a, a, a",. . .. ^^"^ les largeurs des intei*valles transparents, l'expression de l'intensité sur la direction (|ui fait un angle é ave(! la normale au réseau sera
cos3;r — ^- — (la: j +( Isin-jw — >- — fu 1 ^
chacune des intégrales étant prise successivement entre les limites suivantes:
0 et a,
a + d et n + a+d.
a+</+rt'+ • +a^"-'' + [n-\)d et ti-^a+a'+' • + </"- '^-(m i)#/;
DIFFH ACTION.
on aura donc
^n^mvSl
[ai sin an —
ou
sin<î . {a + a'-^ir,s\\\S j^ h sin !î7r -^
(a -^a -ha -h 11(1) sm S , + siii»i7r . - h- • •
+ siuîîTr
[«4-rt-+-«
«(" '"' + (/i-i)r/Jsin(î
sin *Jir -
( a -h d) s'iii S
— Mn*iir
{a-ha'-h2c1)sii\S
SUltiTT
i4-cosa7r ^ f-cos'jTr — — ^-- • •
+ COS *j7r
— cos un ~K^ cos un
— COS'JTT
( ff 4- ff ' 4- fl" -4- 'Jf/ ) si n ^
— coS'JTr
[«-4- a' -H «"h hfl^" ''4-(« -i)r/lsin<î
.A r/sin^ ^,
1^ == , . . it -JW — 3 ( M — 1 cos î!7r — > h o
-iTr'MndL ^ A j
Lti ternie S se compose d'une somme de cosinus qui sonl en trèsgrand nombre et dont les arcs ont des valeurs entièrement soumises au hasard; cette somme peut donc être considérée comme nulle, et il vient
i.. ^* r / \ ds\i\S
1 =" , ^ ■ , r 9» — 3 ( w — 1 ) cos an — 7 — 'iTT sm d L ^ A
X* I , / . / dsinS
sin^TT
dsinS
aX . X
-^-h+ (n~ i)dr — rir^i t^ ' 'à ^ ' 7r"a surd
471 sui
Cette dernière ej^pression se compose de deux termes, dont l'un
300 LUMIÈRE NON POLARISEE.
est en raison inverse de sin^^ tandis que l'autre est égal à (n — i) fois rintensité que produirait une fente unique de largeur d.
Le premier terme étant négligeable vis-à-vis du second, les phénomènes suivront dans le cas actuel les mêmes lois que si le système diflfringent était formé d'une fente unique ayant une largeur égale à la largeur constante d des intervalles opaques; l'intensité sera seulement multipliée en chaque point par le nombre de ces intervalles. Ainsi un système diflringent, composé de n intervalles transparents de même largeur séparés par des intervalles opaques de largeur variable, donne lieu identiquement aux mêmes effets qu'un système formé de n intervalles transparents de largeur variable, séparés par des intervalles opaques ayant tous la même largeur que les intervalles transparents du premier système.
Ce résultat pouvait être prévu à l'aide d'un raisonnement trèssimple et qui est susceptible de généralisation. Considérons une ouverture d'assez grande dimension pratiquée dans un écran opaque, et supposons qu'on fasse tomber normalement sur cette ouverture des rayons parallèles entre eux : l'intensité lumineuse sera nulle sur toute direction faisant un angle sensible avec la normale au plan de l'ouverture. Imaginons maintenant que l'on intercepte certaines portions de l'ouverture par des corps opaques en grand nombre et disposés d'une façon quelconque, et qu'alors l'intensité cesse d'être négligeable sur certaines directions obliques par rapport à l'ouverture. Il est évident que la vitesse envoyée suivant une de ces directions par les parties de l'ouverture qui ne sont pas recouvertes est égale et de signe contraire à celle qu'envoyaient suivant la même direction, lorsque l'ouverture était entièrement libre, les parties actuellement recouvertes, car la somme de ces deux vitesses est sensiblement nulle, et la première, d'après l'hypothèse que nous avons faite , a une valeur appréciable.
On peut conclure de là que, si des rayons parallèles tombent normalement sur un système diffringent formé d'un grand nombre d'ouvertures disposées d'une façon quelconque, et si, de plus, l'intensité a une valeur sensible sur certaines directions obliques par rapport aux ouvertures, ce qui n'est possible qu'autant que ces ouvertures sont très-petites, les phénomènes de diffraction reste-
DIFFRACTION. 301
ronl identiquement les mêmes, en supposant que les parties transparentes du système deviennent opaques, et réciproquement; d'où il suit que les deux problèmes précédents sont au fond identiques. Le principe fécond dont nous venons de donner la démonstration est dû à M. Babinet^i^
Les phénomènes produits par un grand nombre de fils parallèles de même diamètre et non équidistants peuvent servir à déterminer le diamètre de ces fils. Si en effet on désigne par d ce diamètre et par S^ la déviation du n^ minimum dans une lumière homogène dont la longueur d'ondulaûon est X, on aura
. ^ nX ' smJ„ = -^.
dou
nX
sm.„
tel est le principe d'un instrument construit par Young pour comparer les grosseurs de filaments et de fils de différente nature, et qui a reçu le nom d'ériomètre ^^\
