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'îTrVsnrôJo ^ cos'^/
Rcos0sin6
. ., Rcos^sinÔ \ 2
:m LUMIÈRE NON POLARISÉE.
En posant
7rAsin0
il vionl (léiinitivcnieni
L J 0 2 Wl COS (P ^ 3 J o '" COS' (p ^ .1
Aucune des deux intégrales qui figurent dans le second membre de cette dernière équation ne peut être évaluée en termes finis; mais rintégration peut s'effectuer au moyen du développement en séries. On a en effet
sinx X* a;* a?*
sïn*x 3 2^x* 3*0?* 3'x'
"t" .«o*ri3 ^ ^ 1 t r c ^ a i*
et ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de x inférieures à l'unité.
r? if 1 ^1 ^',1 sin(3mcos0) , sin'{mcos0)
En développant les quantités -^^^77^ ^^ ni^co$^i' ®"
séries d'après ces formules, il vient
\jo L 1.2.3 1.3.0.4.5 1.3.3.4.5.6.7 j ^
/a ^ R« r 2 2'(mcos^)* 3^(mcos^)* o 3 L1.2 i.3.3./| 1.3.3.4.5.6
3'(mcos(P)*
(I ou , en remarquant quo I on a I cos" (pd(p= . — — - ?»w,
p 2Rif ^ '"' I 2^#n* 1.3 3^ m* 1.3.5 .
-^TT n j 1.3.3* 3 1.2. 3. '1.5 ' îï. 4 1. 2. 3. 4. ').(). 7 ' 3.4.6
3' m' 1.3.5 Nlj^
i.'j.3.'|.r).6.7.iS' 2.'|.6 ' /l '
DIFFRACTION. 305
et enfin
La série contenue entre crochels étant formée de termes alternativement positifs et négatifs, pour démontrer qu'elle devient convergente à partir d'un certain terme, il suffit de faire voir que les termes suivants vont en décroissant d'une marfière continue. Or les termes de rangs n et n + 1 ont respectivement pour expression
et
[l.2.3...(«-l)]*« ' (1.2.3. . .71)* (rt+l)'
leur rapport est donc égal à —7 — —ri quantité qui devient inférieure
h l'unité dès qu'on an^ + w^m^; d'oii Ton peut conclure que la série, quelle que soit la valeur de m, devient convergente à partir d'un certain terme dont on peut calculer le rang à l'aide de la condition que nous venons de trouver.
En calculant la valeur de la série pour des valeurs croissantes de m, on trouve qu'elle change plusieurs fois de signe, d'où il résulte que l'intensité lumineuse présente des maxima et des minima alternatifs, et que ces derniers sont nuls. Les formules ordinaires d'interpolation permettent de déterminer exactement les valeurs de m qui donnent les maxima et les minima d'intensité; les déviations correspondantes s'obtiennent à l'aide de la relation
wRsinô
d'où l'on tire
sin6 =
7rl\
On peut remarquer que le sinus de la déviation pour laquelle on observe un maximum ou un minimum d'un ordre déterminé, et par suite la déviation elle-même si elle est petite, est en raison inverse
du rayon de l'ouverture.
Le tableau suivant contient les valeurs de— qui correspondent aux premiers maxima et aux premiers minima, ainsi que les valeurs
Verdet, V. — Optique, T. ao
LUMIÈRE NON POLARISÉE.
maxima de Tintensité; ces dernières ont été calculées en prenant pour unité la valeur de l'intensité sur la direction normale à l'ouverture.
IMENSITK.
Premier maximum
1,333 1,619 1.8/17 â,iao 9,36 1
u,oo4i5
Premier minimum
Deuxième maximum
Deuxième mim'mum
Troisième maximum
Troisième minimum
Quatrième maximum
Quatrième minimum
Ginauième maximum
Cinauième minimum
On voit par Tinspection des nombres contenus dans ce tableau que la différence entre les valeurs de m qui correspondent à deux minima
consécutifs tend à devenir constante et égale à -, et que les maxima
de l'intensité décroissent très-rapidement.
Antérieurement aux travaux de M. Knochenhauer, Schwerd avait déjà obtenu les résultats numériques que nous venons de faire connaître ^'^ mais la méthode de calcul qu'il employait était trèspénible. Il remplaçait le cercle par un polygone régulier de 3Go côtés et, on abaissant des sommets des perpendiculaires sur un diamètre passant par deux sommets opposés, il divisait ce polygone en trapèzes; il cherchait ensuite la vitesse envoyée par chacun de ce*^ trapèzes et arrivait, en combinant ces vitesses suivant les règles ordinaires, à déterminer l'effet total produit par l'ouverture.
L'aspect que présentent les phénomènes sur un écran trèséloigné de l'ouverture circulaire ou au foyer d'une lunette peut être j)révu d'après la théorie précédente. Dans la lumière homogène on ol)ser\era au centre du j)hénomène une tache circulaire brillante
^'' Die BfUffunf(itn'jichpintinf[^u. p. 67.
DIFFRACTION. 307
entourée d'un anneau obscur, puis une série d'anneaux circulaires ahernalivement brillants et obscurs; l'éclat de ces anneaux s'affaiblira très-rapidement à partir du centre, et, si la source lumineuse est peu intense, il pourra arriver que la tache centrale soit seule visible : le diamètre de cette tache centrale sera d'ailleurs, suivant une remarque que nous avons faite plus haut, en raison inverse du diamèlre de l'ouverture. Dans la lumière blanche on aura encore une tache centrale blanche et brillante, entourée d'un anneau noir, mais les anneaux suivants seront colorés : l'éclat de ces anneaux décroîtra très-rapidement, et on ne pourra en distinguer un certain nombre que si la source lumineuse a une intensité considérable.
Frauenhofer et Schwerd ont observé les phénomènes de diffraction produits par une ouverture circulaire : ils ont mesuré les déviations des anneaux, et les résultats qu'ils ont obtenus, le premier en opérant avec la lumière blanche, le second en se servant d'une lumière rouge sensiblement homogène, viennent confirmer la théorie de la manière la plus éclatante.
78. Application de la théorie des phénonténefl produits par une ouverture circulaire à la forntation de« intai^ea dans les instrumente d'optique. — Le travail des miroirs emplojés dans les télescopes est aujourd'hui si parfait, les verres des lunettes et des microscopes sont si heureusement combinés, que les aberrations qui résultent des lois de l'optique géométrique peuvent être j)resque entièrement évitées. 11 semble donc que les rayons partis d'un point lumineux doivent, dans ces instruments, converger rigoureusement en un même point; cependant il n'en est rien, car dans les meilleurs télescopes l'image d'une étoile conserve un diamètre apparent sensible. La théorie que nous venons d'exposer fournit l'explication de cette anomalie apparente : le faisceau incident étant limité par un diaphragme dont l'ouverture a une forme circulaire, l'image d'un point lumineux devra toujours se composer, même en supposant que les lentilles ou les miroirs de l'instrument forment un système rigonreusemont aplanétique, d'une tache circulaire brillante entourée d'une série d'anneaux. Le nombre des anneaux visibl'^s dépend de l'éclat du point lumineux; mais le
308 LUMIERE iNON POLARISEE.
diamètre de la tache centrale est toujours en raison inverse de celui de l'ouverture ^'^ On comprend d'après cela pourquoi l'image d'une étoile vue dans une lunette ou dans un télescope se dilate à mesure (ju'on rétrécit l'ouverture du diaphragme. On ne peut donc pas espérer de perfectionner indéfiniment les instruments d'optique en faisant disparaître les aberrations géométriques par l'emploi de diîiphragmes à ouverture de plus en plus petite; car on se trouve bientôt arrêté par l'apparition d'une nouvelle aberration qui devient de plus en plus sensible et qu'il est impossible d'éliminer.
L'image d'un point lumineux étant toujours une tache de grandeur finie, il faut, pour que deux points puissent être distingués l'un de l'autre à l'aide d'un instrument, que les images de ces points n'empiètent pas l'une sur l'autre , et pour cela il est nécessaire que le diamètre apparent de la droite qui joint les deux points lumineux soit supérieur à une certaine limite; l'inverse de cette limite est ce que M. Foucault a appelé pouvoir optique de l'instrument ^^^. L'étendue de la partie visible de l'image d'un point lumineux dépend de l'éclat de ce point, de l'acuité de la vision de ^observateur et de beaucoup d'autres circonstances : le pouvoir optique d'un instrument n'est donc pas une quantité constante; mais, toutes choses égales d'ailleurs, ce pouvoir optique est proportionnel au diamètre de l'ouverture par laquelle les rayons incidents pénètrent dans l'instrument.
La théorie précédente permet de déterminer une limite inférieure du pouvoir optique. Soient en effet deux points lumineux dont les images ont leurs centres aux points A et A'; supposons qu'il n'y ait pas de lumière sensible dans chacune de ces images au delà du premier anneau brillant : il faudra alors, pour que les deux images n'empiètent pas l'une sur l'autre, que la distance AA' soit au moins égale au double du rayon du premier anneau brillant, et, par suite, que le diamètre apparent de la droite qui joint les deux points lu<mineux soit au moins égal au double de la déviation du premier
^'^ Ces phénomènes ont ëlé observés pour la première fois par W. Ilerschel ( Trmiidê la Lumière de L Herscliel, traduction de Verhulst et Quelelet, t. I, p. fioi). Ils ont été étudiés par Arn((o, qui les décrit dans sa Noiico sur In scintillation.
'•^ Mémoii^ns sur In construction des UHescopes (Annalen tle VOhnpi^vnUtirr^ \,\),
BÉFLEXIOX ET RÉFRACTION. 223
mémo aux points A, A', A", .... puisque ces points sont voisins. H résulte de là que, sur une petite étendue de la surface R qui est le
lieu des points P, P', P' , les mouvements vibratoires de ces points
peuvent être regardés comme concordants : nous pouvons donc considérer cette surface comme étant Tonde réfléchie. Il est facile d'ailleurs de faire voir que la surface R est l'enveloppe des sphères décrites des points A., A', A",... comme centres, avec des rayons égaux respectivement à AP, A'P\ AT^, .. et de justifier ainsi le principe des ondes enveloppes dans le cas de la réflexion. Supposons en effet qu'au, point A' sur la surface 2 la somme SA'+ A'P soit un minimum : on aura alors
SA + AP'>SA' + Ar,
et comme
il viendra
