THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION AGGIDEIN TELLE

305. Principes de 1» théorie de rélasiieité des corps solides. — Ellipsoïde des dllototions. — IHlotaiioiis principoles. — Neumann^^^ a voulu soumettre au calcul les phénomènes de la double réfraction due à des actions mécaniques exercées sur les corps solides. Mais il est inutile de le suivre ici dans les résultats auxquels il a été conduit, car il est parti d'un principe inexact, au moins dans la plupart des cas. Il a cherché à exprimer analytiquement les contractions et les dilatations qui se produisent dans l'intérieur des corps sous l'influence des forces mécaniques extérieures qui agissent sur eux. Pour mettre en évidence le défaut de rigueur de ses raisonnements, nous commencerons par rappeler ici les principes de l'élasticité des corps solides, tels qu'ils ont été établis par Cauchy. Nous supposerons qu'il s'agisse uniquement de corps solides dans lesquels toutes les directions jouissent de propriétés identiques, c'est-à-dire de ceux que Cauchy a nommés corps isotropes. Quant aux corps non isotropes, ce sont les cristaux, sauf ceux du système cubique, et les corps qui ont subi des modifications moléculaires accidentelles.

Considérons donc un corps solide isotrope : si, par une cause quelconque, les molécules de ce corps viennent à se déplacer de quantités inégales, il y aura dilatation ou compression. Pour simplifier le langage, nous comprendrons les deux phénomènes sous la même dénomination de dilatation , en admettant que cette dilatation peut élre positive ou négative. Il y aura h considérer deux espèces de dilatations : la dilatation cubique et la dilatation linéaire; nous chercherons d'abord l'expression de cette dernière.

Soient, lorsque le corps est dans son état naturel, x, y, z les

**î Pogff. Atm., LIV, 499. — Abhandlungen der Akatlemie von Berlin fur tSÙi, part Ilf , p. 3.

coordonnées d'une molécule, x + Ax^ y + Ay, z + Az les coor-données d'une molécule voisine. Désignons par Ç, >;, Ç les projections, sur les trois axes, du déplacement que subit la première molécule quand le corps passe à son nouvel état; par f-f AÇ, ti + Av, ^ + A^ les projections du déplacement de la seconde molécule. Si nous représentons par V la distance des deux molécules dans l'état naturel , on aura

V2=Ax2 + Ay2-f Az^.

En désignant par e la dilatation linéaire rapportée à l'unité de longueur, on voit que la distance des deux molécules devient après le changement d'état V (i + e), et que l'on a

(i) V2(i + e)^=(Aa: + Aef + (Ay + A,;)2 + (Az + AÇ)^

Si l'on considère les deux molécules conune infiniment voisines ainsi que cela arrive pour les molécules qui peuvent agir les un< sur les autres, on peut écrire

ce qui revient à négliger les puissances des quantités infinime — o( petites àx, Ay, Az supérieures à la première. Si maintenant on cL-^^

signe par a, jS, y les angles que fait avec les axes la droite qui joi Q^

les molécules dans leur position primitive, on aura

IAr= V cos a, Ai/ = Vcos/3, Az = V cos 7.

Si l'on remplace, dans l'équation (a), Ar, Ay, At par leti^ valeurs tirées des équations (3), puis, dans l'équation (1), Ar, l^y^ Az; AC, Aii, A^ par leurs valeurs tirées des équations (22) et (3), ^

t, en supprimant le facteur commun V^,

i(,4-e)2 = (cosa + 'j^cosa + ~cos/3 + ^cosy)*

onsidérons maintenant les angles a, j3, 7 comme définissant ia ction du rayon vecteur d'une surface ayant pour centre le point ; les coordonnées sont x, y^ z, la longueur de ce rayon vecteur

t égale à -— • Si nous représentons par X , Y, Z les coordonnées

extrémité du rayon vecteur rapportées au point [x, y, z) pris * origine, on aura

^^gCOsa,

, + eCOsAJ,

cos a

cosjS

cos y

!n portant ces valeurs de cos a, cos jS et cos y dans Téquation (li)^ -e)^ disparaît comme facteur commun, et il reste

■-(''+i'î+iv+|z)'

le second membre, ne contenant que les carrés des quantités X, I et les produits de deux de ces quantités entre elles, représente illipsoide ayant pour centre le point (x, y, z).

Donc, si autour d'un point du corps on prend, sur une direction quelconque, une longueur en raison inverse de i +e, e représentant la dilatation de l'unité de longueur dans la direction considérée, le lieu des points ainsi obtenus dans les différentes directions formera la surface d'un ellipsoïde qu'on peut appeler VetUpscSde i$ dStH tatlon. Si l'on considère , en particulier, les trois axes de symétrie de cet ellipsoïde , on voit que la connaissance de leurs longueurs respectives permet de calculer la longueur d'im rayon vecteur ayant une direction déterminée, d'où il résulte que, lorsqu'on connatt les dilatations qui s'exercent suivant trois directions rectangulaires particulières, on peut calculer la dilatation pour toute autre direction donnée. Les trois directions qui jouissent de cette propriété se nomment directions principales, et on appelle dilatations principales celles qui se manifestent suivant les directions principales.

306. Théorèmes du parallélipipède et du tétraèdre. — Premilons prinelpalea. — Représentatioii séensétrlqi des pressions. — Nous avons maintenant à nous occuper de^ forces qui s'exercent dans l'intérieur du corps. On leur donne sou — vent la dénomination de pressions moléculaires, mais il est préfé — rable de les appeler tensions, parce que ces forces peuvent être de^ s tractions aussi bien que des pressions. Considérons un élément cft ^ surface passant par un point du corps : si nous supposons que toute S. ^ partie du corps qui est située d'un côté de cet élément soit supprimées? , il faudra, pour rétablir l'équilibre, appliquer à cet élément une force qui remplace l'action de la partie supprimée; cette force peu/ être du reste normale ou oblique à l'élément de surface, et, suiva/i/ qu'elle tend à l'enfoncer dans la partie restante ou à l'en détacher elle constitue une pression ou une traction. Ces forces varient arec la position du point considéré et avec la direction de l'élément de surface sur lequel elles agissent. Mais, comme pour les dilatations, on peut démontrer que la connaissance des pressions qui, à unpoio^ donné, s'exercent sur des éléments de surface ayant des direction-^ quelconques, dépend uniquement de la connaissance de trois pressions principales, qui sont perpendiculaires aux éléments sur lesquels

elles agissent.

Pour faire voir qu'il en est ainsi , menons par le point considéré tn (fig. 5&) trois axes rectangulaires mx, my, mz; prenons sur l'axe mx une longueur a, sur l'axe my une longueur b et sur l'axe mz une j longueur e, et avec ces trois arêtes I construisons un parnUëlipipëde recigle. Pour que l'équilibre existe I dans le corps solide tout entier, il est ] nécessaire et suffisant qu'il y ait équilibre entre les forces qui agissent sur

I chacun des éléments parallélipipédi-

ng. Bi. ques dans lesquels on peut le supposer

décomposé. Cette remarque va nous permettre d'établir une relation remarquable entre les composantes des pressions qui existent sur les éléments de surface passant par un point du coi^s.

Considérons les pressions qui agissent sur les différentes faces du parallélipipède, c'est-à-dire les forces par lesquelles il faudrait remplacer l'action de ia partie du corps située du cAté extérieur de ;es faces, si cette partie du corps venait à élre supprimée. Désignons lar A, A', A' les composantes parallèles aux axes de la pression qui (gît sur la face du parallélipipède perpendiculaire à l'axe des x, et Ktsaant par le point m, origine des coordonnées; par B', B, B' les :omposantes de la pression sur la face perpendiculaire à l'axe des y, it passant par l'origine ; et enfin par G", G', G les composantes de la iression sur la face perpendiculaire à l'axe des ; et passant par l'oigine , A , B' et G' étant d'ailleurs les composantes parallèles à l'axe les X, A', B, G' les composantes parallèles à l'a^ie des y. A', B*, G les omposantes parallèles à l'axe des z.

En passant d'une face du parallélipipède à la face parallèle, les orces varient de quantités infiniment petites par rapport à ellesadmes, et ces variations seront contre-balancées par les forces extéieures qui agissent sur le parallélipipède ; ces forces extérieures sont les infiniment petits du troisième ordre, puisqu'elles agissent sur m élément solide infiniment petit, qui est lui-même un infiniœat petit du troisième ordre. Les pressions sur les faces du paral- -élîpipède étant du secondordre, leurs variations serontdu troisième ordre et feront équilibre aux forces extérieures.

VuKT, VI. — Oplj'que, II. «6

378 DOUBLE RÉFBACTION ACCIDENTELLE.

11 suffira donc de faire entrer dans les six équations qui expriment les conditions d'équilibre les forces agissant sur les faces du parallélipipède. Dans la première série de ces équations d'équilibre, série qui exprime que sur chaque axe la somme des composantes des forces est nulle, nous pourrons négliger les termes du troisième ordre. Mais il n'en est pas de même pour les irois dernières- conditions, qui expriment que la somme des moments des forces, par rapport à chacun des trois axes, est nulle,' €t que^ par conséquent, le corps ne peut tourner autour d'aucun de ces axes : ces moments, en effet, sont les produits des forces par leurs bras de leviers; ils sont donc du troisième ordre et on ne peut né^iger que les termes du quatrième ordre.

Nous allons chercher à exprimer que la somme des moments de^ forces par rapport à l'axe des x est nulle, et pour cela nous pouvoim^s supposer que la force qui agit sur chaque face est appliquée au centn^ de gravité de cette face. Des trois composantes qui agissent sur la facr < située dans le plan des xz, une seule, B, a, par rapport à l'axe àesx^,

un moment dont la valeur est — ; ce moment doit être pris avec Me

signe—, parce que cette force B tendrait à faire tourner le corps

Bc autour de l'axe des x de droite à gauche; donc est le morne n/

de la composante B par rapport à l'axe des x. Sur la face oppos<?e

à celle que nous venons de considérer, les deux composantes B et B'

Bc ont pour moments, par rapport à l'axe des a?, — et —Wh, le premier de ces moments étant pris avec le signe -h, parce que sur celte face la composante B tend à faire tourner le corps de gauche à droite. La somme des moments des forces qui agissent sur les deux faces du parallélipipède parallèles au plan des xz par rapport à l'axe des ^^ . ^ se réduit donc à — Wh, Par raison de symétrie, on voit immédiatement que la somme des moments des forces appliquées aux deiu faces du parallélipipède parallèles au plan des xy par rapport a l'axe des x est égale à Ce. Quant aux moments des forces (|Ui agissent sur les faces perpendiculaires à l'axe des x, ils sont de signes contraires et se détruisent réciproquement. La condition pour qQ<^ la somme des moments des forces appliquées sur les faces du parai'

lélipipèdc par rapport à Taxe des x soit nulle est donc

Ail lieu des composantes réelles des forces, nous allons introduire dans cette équation les rapports de ces composantes aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent, c'est-à-dire les composantes des pressions rapportées à l'unité de surface. Nous désignerons le rapport d'une composante à la surface sur laquelle elle s'exerce par la même lettre que cette composante, mais en l'affectant de l'indice i. Nous avons ainsi

et, en substituant ces valeurs dans l'équation des moments» elle devient

c;=Bï.

On trouverait de même, en prenant les moments par rapport à l'aie des y et à l'axe desz,

AÎ=CÏ.

On voit que, si l'on considère trois éléments rectangulaires passant par un même point, ces éléments ayant des surfaces égales, les neuf composantes parallèles aux axes des pressions qui agissent sur ces trois éléments se réduisent à six composantes distinctes. Désignons ces composantes distinctes par les six lettres A, B, C, D, Ë, F, et nous arriverons aux résultats qui sont contenus dans le tableau suivant :

COMPOSANTE PARALLitE

A Taxe des 9, à l*axe d«s y. à Taxe des s.

Face perpendiculaire à l*axe des .r . . . A F E

Face perpendiculaire à Taxe des y . . . F B D

Face perpendiculaire à Taxe des ^ . . . E D C

Les pressions qui s'exercent sur trois éléments rectangulaires pas-

380 DOUBLE REFRACTION ACCIDENTELLE.

sant par un mâme point ne sont donc pas indépendantes les unes des autres.

Le théorème que nous venons de démontrer est dû à Gauchy. En considérant un tétraèdre au lieu d'uu parallélipipède, il est arrivé à une seconde proposition qui porte le nom de théorème du létraèdrt et qui permet d'obtenir la représentation géométrique des pressions. Menons encore parle point considéré m (fig. 55) trois axes rectangulaires : prenons sur l'axe des x une longueur (i,5ur l'axe des y une longueur b et sur l'axe des z une longueur c. Les trois points ainsi obtenus forment avec le point m les sommets d'un tétraèdre. En employant le niénie raisonnement que pour le parallélipipède, on fera voir que, pour que le corps soit en équilibre, il faut que les conditions générales de l'équilibre soient satisfaites pour les forces qui agissent sur les faces du tétraèdre. Désignons par &> la surface de la base du tétraèdre, c'est-à-dire de la face opposée au — sommet m; supposons qu'on fasses '*' "' passer par le point m un élément-

de surface parallèle à cette base et ayant même superficie a, eK. appelons Po) la pression qui s'exerce sur cet élément. P sera la près — sion rapportée à l'unité de surface, et la pression sur la base a, qui s'exerce en sens contraire, sera sensiblement égale, si on la rap|K>rte à l'unité de surface , à — P.

Soient a', a", a" les surfaces des trois faces du tétraèdre respectivement perpendiculaires à l'axe des x, à l'axe des y et à l'axe des :, et appelons X, pt, v les angles que fait avec les axes la direction de la pression —P. La première condition d'équilibre, celle qui eiprime que la somme des projections des forces sur l'axe des t est nulle, sera, en tenant compte des résultats obtenus pour le cas du parallélipipède ,

— Pw cos X+ Aw'+Fû)'-*- £&»"= o.

Si nous désignons par a, j3, y les angles que fait avec les aies»

normale à la base du tétraèdre, nous aurons

a;'=û>cosa, ûi^^ûicos/S, 6i;"'=û>cosy,

et par conséquent l'équation précédente devient (i) P cos X = A C08a+ F cos jS+ E ces 7.

On trouvera de même, en projetant les forces sur Taxe des y et sur l'axe des z, les deux équations

(a) , Pco8/ùe = Fcosa-t-BcosjS + Dcosy,

(3) Pcosi;==Ecosa + Dcosi8-t- Ccosy.

Les trois autres équations d'équilibre, celles qui expriment que la somme des moments des forces par rapport aux trois axes est nulle, sont satisfaites identiquement; il n'y a donc pas à s'en occuper.

En élevant au carré les trois équations (1), (s), (3), et en les ajoutant, il vient

J P^= (A cos a + F cos jS+ E cos y)2 + (F cos a+ B cos jS + D cos y)2

^ ^1 -t-(Ecosa-t-DcosiS + Ccosy)2.

Considérons a, jS, y comme les angles que fait avec les axes le rayon vecteur d'une surface ayant pour centre l'origine, et donnons

à ce rayon vecteur une longueur proportionnelle àp^ c'est-à-dire à

l'inverse de la pression qui agit sur l'élément perpendiculaire à ce

rayon vecteur, et il résultera de l'équation précédente, comme nous

l'avons vu à propos des dilatations (305), que la surface, lieu des

extrémités des rayons vecteurs, sera celle d'un ellipsoïde qui est en

général à trois axes inégaux.

Cet ellipsoïde est entièrement déterminé lorsqu'on connaît les longueurs de ses trois axes de symétrie, longueurs inversement proportionnelles aux pressions qui s'exercent sur les trois éléments de surface qu'on peut mener par l'origine perpendiculairement h ces axes. Il en résulte que, quelle que soit la distribution des dilatations et des compressions, les pressions qui s'exercent autour d'un point

du corps sur les différents éléments de surface qu'on peut faire passer par ce point sont distribuées symétriquement par rapport h trois axes rectangulaires passant par le point considéré; de plus, on voit que l'on peut calculer la pression qui s'exerce sur un élément de surface passant par le point considéré et ayant une direction quelconque, pourvu qu'on connaisse les trois pressions exercées sur les trois éléments menés par ce point perpendiculairement aux axes de l'ellipsoïde; ces trois pressions, rapportées bien entendu à l'unité de surface, reçoivent la dénomination de pressions principales, 11 est facile de montrer que ces pressions principales sont normales^ aux éléments de surface sur lesquels elles s'exercent, ou, ce quï. revient au même, parallèles aux axes de l'ellipsoïde.

Cherchons en effet quelles sont les directions pour lesquelles le^s=; angles X, fi, t; sont égaux aux angles a, j8, ^, c'est-à-dire pour lesquelles la pression est normale à l'élément sur lequel elle s'e\erc< 11 suffit, pour cela, de remplacer, dans les équations (i), (s). (3 X, fit t; par a, /3, 7, ce qui donne les trois équations

Pcosa = Acosa+Fcos)3+Ecosy, PcosjS=Fcosa + Bcos/g + Dcosy, Pcosy = Ecosa + Dcos^-f-Ccosy.

Or, ces équations sont précisément celles qui déterminent la din^^tion des axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (4).

Si nous rapprochons ces résultats de ceux que nous avons ohiea us pour les dilatations, nous serons conduits h admettre que les aic^ de l'ellipsoïde des pressions coïncident en un point donné du corps avec les axes de l'ellipsoïde des dilatations, et que, par suite, \^ pressions principales sont parallèles aux dilatations principales. Si les dilatations sont petites, on peut admettre que les pressions principales et les dilatations principales sont liées par des relations linéaires, et on voit enfin que la pression en chaque point sur un élément de surface donné peut se calculer si l'on connatt les Irais pressions principales, qui sont elles-mêmes des fonctions linéaire des dilatations principales. Nous supposons qu'il s'agisse d'un con liomojfène et isotrope : pour un tel corps, les directions des axes

l'ellipsoïde qui représente h la fois les dilatations et les pressions sont parallèles en tous les points du corps, et de plus les coefficients par lesquels s'exprime la dépendance mutuelle des pressions principales et des dilatations principales sont indépendants de la direction de ces axes.

Ceci posé, en désignant par j», p', f les pressions principales, par e, e', e" les dilatations principales, par i, i', V des coefficreilft constants pour tout le corps, on peut écrire

p = ke + A:'e'.+ k"e".

On peut simplifier cette formule, car, e étant la dilatation princi|)ale parallèle à la pression principale p, il est évident que le coefficient de e doit être différent de ceux de e' et de e^, et que les coefficients de e et de e" doivent être égaux, puisque rien ne distingue Tune de Tautre les directions perpendiculaires à la pression p. L'équation précédente devient donc

On trouverait de même

Introduisons dans ces équations la dilatation cubique au point considéré : en désignant cette dilatation cubique par v, on a

et les équations précédentes deviennent

p =(A'-— /i)e +lw,

f^{k-h)e"+hr.

Gauchy, dans ses calculs, désigne p.ar A la quantité que nous avons appelée k — h, et par k celle que nous avons appelée h. Si nous nous conformons à ses notations, qui sont généralement employées.

les équations précédentes deviennent

(i) p=he+kvi

(a) p'=h8'+kv,

(3) f^he"+kv.

La connaissance des coefficients h et k, ainsi définis, permet de résoudre les questions relatives h la compression ou à la dilatation d'un corps soumis à Taction de Forces extérieures. Prenons pour exemple un cylindre comprimé ou dilaté dans le sens de sa longueur par une force égale à P agissant sur ses bases. Une des pressions principales sera évidemment parallèle au sens dans lequel s'exerce la compression ou la dilatation et égale à la force P, qui est supposée rapportée à Tunité de surface; les deux autres pressions principales, qui sont perpendiculaires à l'axe du cylindre, sont néces- ^^ sairement nulles. On a donc

(i) P = Ae+ib.

De plus, par raison de symétrie, e' et e" sont égaux : on peu^ ^^-^^ donc poser

d'où

En remplaçant, dans l'équation (q), p' par zéro et e' par sa valeur, il vient / /^^

(5) o = /i \'lcv.

Si A et A: sont connus, les équations (A) et (5) permettent de déterminer complètement e et v. On en déduit en effet

/i+ afc'

khe h(h-¥U)

t est de même signe que e si h et k sont de même signe, cesHH

dire qu'à une compression correspond une diminution de volume et à une traction une augmentation de volume. Quant à la dilatation

transversale > elle peut être positive ou négative. La théorie

laisse donc indéterminée la question de savoir si à un allongement du cylindre correspond une dilatation ou une contraction du diamètre transversal du cylindre. Pour résoudre cette question il faut déterminer par l'expérience v ete, ce qui fera connaître, au moyen des équations précédentes, les coefficients h et k.

Gagniard-Latour a fait des expériences dont il crut pouvoir conclure que, dans le cas d'un cylindre comprimé sur ses bases, on a toujours

d*où, d'après l'équation (6),

h-h2k a et

Wertheim, au contraire, en expérimentant également sur des cvlindres comprimés ou dilatés , trouva la relation

d'où l'on déduit, au moyen de l'équation (6),

Les expériences de Cagniard-Latour n'ont aucune valeur démonstrative à cause du peu de précision que comporte la méthode suivant laquelle elles ont été faites. Quant à celles de Wertheim, elles ont porté sur un petit nombre de corps jouissant de propriétés spéciales, et leurs résultats ne peuvent pas être généralisés. D'ailleurs, il est complètement impossible qu'il y ait entre les deux coefficients hei k une relation indépendante de la nature du corps. En effet, supposons que h soit très-petit; les équations (1), (q), (3) montrent que

les trois pressions principales sont alors très-près d'être égales entro elles; par suite, Tellipsoïde se rapprochera beaucoup d'être une sphère, et les pressions seront presque normales à tous les éléments, quelles que soient leurs directions. On voit que dans ce cas les propriétés du corps seront analogues à celles des liquides : ce sera un liquide visqueux. Dans les corps réellement solides, au contraire, les coefficients h et k ont des valeurs comparables entre elles, et, puisque la nature oiTre toutes les transitions entre les liquides parfaits et les solides proprement dits, il est impossible qu'il ne puisse pas y avoir entre les coefficients A et k un très-grand nombre de relations différentes suivant la nature du corps. C'est donc en vain que Wertheim a cherché une relation constante entre ces deux coefficients. Quant au résultat de Cagniard-Latour, il est positivement erroné ; c'est ce qu'ont montré des expériences plus précises exécutées après lui sur les mêmes corps.

307. Travaux de Memnaiiii* — A l'époque où Neumann a exécuté son travail analytique sur la théorie de la double réfraction accidentelle (iS&i), la théorie de l'élasticité était très-peu connue, bien que Poisson et Cauchy eussent déjà publié, en i8q8 et en 1899, des mémoires où se trouvaient exposés les principes de cette théorie. Leurs mémoires n'étaient pas répandus à l'étranger, et Green est le seul qui semble en avoir eu connaissance. Avant cette époque, Poisson et Lamé avaient considéré la question de l'élasticité sous un autre point de vue, en admettant qu'il s'exerce entre les molécules des forces attractives ou répulsives proportionnelles à leurs variations de distance. Cette théorie conduit à des formules qui ne conliennenf qu'une seule constante et qui, par suite, sont certainement inexactes. '

Or Neumann a pris pour point de départ de ses calculs les fo^ mules établies par Lamé, Navier et Clapeyron. De là une premi^f^ cause d'erreur qu'il est impossible de corriger aujourd'hui. Il serait donc complètement inutile de déterminer par l'expérience les constantes qui entrent dans les formules de Neumann.

Nous pouvons, à l'aide des considérations qui précèdent, donner une idée simple de la théorie de Neumann. Nous avons vu, dansl^

théorie de la double rëfraction (12&), que, dans un milieu homogène quelconque, il existe toujours un ellipsoïde tel^ qu'en faisant une section par le centre on obtient une ellipse dont les axes ont des longueurs inversement proportionnelles aux vitesses des ondes planes qui ont leurs vibrations parallèles à ces axes. L'hypothèse de Neumann consiste à supposer que, dans un corps homogène et primitivement isotrope, mais déformé par la compression ou la dilatation, les trois forces élastiques principales sont des fonctions linéaires des trois dilatations principales. On peut par conséquent écrire, en désignant par A, B, C les forces élastiques principales et par G le rapport de la vitesse de propagation du mouvement dans le milieu considéré ;i sa vitesse de propagation dans le vide, les équations suivantes :

B^G+pe' + (i{e + e').

C==G+pe"+q{e + e).

A, B et C, étant les forces élastiques principales, ont des valeurs proportionnelles aux carrés des vitesses suivant les axes de Tellip- 8o!de, et par suite inversement proportionnelles aux carrés des longueurs des axes de cet ellipsoïde.

C'est de ces trois équations que Neumann prétend déduire les phénomènes qui se passent dans un corps uniformément comprimé ou dilaté. Mais ici se présente une grande difficulté; c'est qu'on ne peut pas faire d'expériences sur un parallélipipède dont toutes les faces sont soumises à l'action de forces normales. On ne peut opérer qu'avec des corps comprimés dans une seule direction, ou tout au plus dans deux directions rectangulaires. Il est donc impossible de détermmer expérimentalement les constantes p et q.

Quoi qu'il en soit, il n'est pas sans intérêt d'indiquer ici les deux méthodes expérimentales employées par Neumann. Dans la première il observa les lignes isochromatiques d'une lame de verre courbée. La ligne noire correspond au filet des molécules qui n'ont été ni éloignées ni rapprochées, et on peut calculer les différences de marche qui correspondent aux autres lignes isochromatiques. Neumann, en assimilant ces filets de molécules à un fil allongé ou

comprimé , et en admettant la loi posée par Cagniard-Latour (306), a pu établir une relation entre la différence de marche et les coefficients p et q. D'après lui , on a pour le verre

^^=o,ia6,

la valeur de G étant 0,6 5 &.

Dans une seconde série d'expériences, Neumann plaça la lame de verre courbée au devant de deux ouvertures très-rapprochées et éclairées de manière à pouvoir produire des phénomènes d'interférence. Il s'arrangeait de façon qu'un des faisceaux interférents traversât la lame dans une région où il y a dilatation, et l'autre dans une région oii il y a compression. Les apparences sont assez confuses; mais, en les étudiant avec un analyseur, Neumann a pu prendre des mesures et amver ainsi aux relations suivantes :

qui déterminent des valeurs négatives pour p et pour q.

Malgré l'incertitude qui règne dans toute la théorie de Neumann, on peut regarder les signes des coefficients p et q comme parfaitement établis. En effet, si on introduit dans les calculs de Neumaon la relation donnée par Wertheim et qui est très-approchée delà vérité, du moins pour le verre, on trouve le même signe n^tif pour les coefficients p et q.

Il résulte de là une conséquence remarquable, c'est que, si Ton comprime un morceau de verre d'une manière uniforme, la vitesse de propagation doit augmenter dans l'intérieur de la substance, et par suite l'indice de réfraction doit diminuer. Une dilatation, au contraire, produit une diminution de la vitesse de propagation, et par conséquent un accroissement de l'indice de réfraction. Ce résultat ne peut pas être vérifié directement par l'expérience, maison en déduit une conjecture très-plausible sur ce qui se passe quand les corps éprouvent une faible variation de température. Si cette variation est très-petite, on peut admettre qu'elle n'a d'autre effet qu^

de dilater le corps et par suite d'augmenter son indice de réfraction. Cet accroissement de l'indice par un léger échauffement a été vérifié expérimentalement par Neumann ^^K