Cas d'un faisceau lar^e. — Ce cas est un peu plus

compliqué que le précédent, mais n'ofTre aucune difficulté. On décompose le rayon incident en deux rayons polarisés à angle droit dans le plan d'incidence et dans le plan perpendiculaire. On lient compte des rayons qui, réfléchis un nombre pair de fois, émergent après avoir traversé la pile. L'intensité de chacune des composantes du rayon émergent est donc la somme des intensités d'une série de rayons dont le premier traverse directement la pile, dont le second subit deux réflexions dans l'intérieur de la pile, le troisième quatre réflexions, le quatrième six réflexions, et ainsi de suite. La somme des intensités de ces deux composantes est égale à l'intensité du rayon émergent.

Lorsque les rayons incidents sont naturels, la lumière émergente est partiellement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Mais lorsque la lumière incidente est polarisée rectilignement, il n'est pas exact de conclure, comme l'ont fait MM. de la Provostaye et P. Desains, que la lumière émergente est polarisée dans un plan faisant avec le plan d'incidence un angle dont la tangente est donnée par le rapport des amplitudes des deux composantes rectangulaires. Cela n'est pas exact à cause des réflexions multiples.

Le faisceau formé par les rayons réfléchis donne lieu à des considérations analogues, à moins que l'angle d'incidence ne soit l'angle de polarisation complète, car dans ce cas particulier tous les rayons réfléchis sont entièrement polarisés dans le plan d'incidence, et par conséquent il en est de même du faisceati réfléchi total.

B. — HoUPPEB DE H*1DINGEB.

Sàh. DcaarlpdoB des hvuppea de Hftidincer. — Oa peut rattacher au\ modifiralions de la lumière polarisée par réfraction le phénomène découvert par le physicien allemand Haidinger"^ et qui porte le nom de houppe» de Hatdtnger.

Ce phénomène consiste en ce que, si l'on reçoit dans l'œil de la lumière blanche polarisée, on aperçoit une douhlc aigrette jaune JJ' (fig. 66) dont l'axe est dans le plan de polarisation, et qui est limitée par deux courbes ayant la forme d'arcs d'hyperbole. Cette aigrette s'élargit h mesure qu'on s'éloîgne du plan de la vision. Des deux côtés de la partie médiane de l'aigrette se montrent deux taches violettes, V et V, plus larges que les aigrettes jaunes, mais plus courtes.

Lorsqu'on a constaté une fois l'existence de ces houppes, il est facile de les reconnaître par la suite, et l'œil peut alors remplacer un polariscope et même servir à déterminer ta direction du plan de polarisation.

Pour découvrir les houppes de Haidinger, on regarde un point du ciel h travers un prisme de Nicol un jour oti le temps est couvert, et, ai on ne les distingue pas à cause de leur peu de netteté, elles opparaùsent lorsqu'on fait tourner le prisme de <)o degrés sans changer la direction de son axe : on les voit alors tourner ^vec le prisme. On peut aussi les distinguer è l'œil nu lorsque le ciel serein envole lui-même de la lumière polarisée. Quand le soleil est près de l'horizon, on regarde successivement, dans un plan perpendiculaire au plan vertical qui passe par l'œil et le soleil , un point situé au zénith et un autre à l'horizon : on reçoit ainsi deux rayons polarisés h an^e droit et on peut distinguer les houppes.

"' Plw-*"-..Uni, igiLXVII. «5îLVm,73,3o5îLXXT, 35o{ ICI, 3ii. 59,.

3 A 5. Explle»ti«ii des li^iippes de HmIdiBser. — Ce phénomène a beaucoup attiré l'attention des physiciens. Plusieurs d'entre eux, et entre autres Haidinger lui-même, peu versés dans la connaissance des lois de l'optique, voulaient y voir les vibrations rectilignes de la lumière polarisée. Ces idées ont contribué à faire regarder le phénomène comme singulier, et beaucoup d'explications peu satisfaisantes en ont été données.

M. Jamin ^'^ a expliqué les houppes de Haidinger d'une manière simple, en se basant sur les effets des piles de glaces, et les a reproduites artificiellement. Lorsqu'un rayon polarisé dans un certain plan tombe sur une pile de glaces, on peut le décomposer en deux rayons polarisés, l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans le plan perpendiculaire. Par l'effet de la pile, la composante parallèle au plan d'incidence perd plus de son intensité que l'autre, d'où il r^lte que l'intensité du rayon transmis sera d'autant moindre qu'il est polarisé dans un plan plus voisin du plan d'incidence. Ceci posé, supposons qu'on fasse tomber sur une série de surfaces sphériques, concentriques et superposées un faisceau de rayons polarisés dans un certain plan. Si l'on mène par le centre commun des surfaces sphériques un plan parallèle au plan de polarisation du faisceau, les rayons compris dans ce plan , et pour qui par conséquent le plan d'incidence coïncidera avec le plan de polarisation, auront après l'émergence une intensité minimum. Ceux au contraire qui sont situés dans une section faite par le centre perpendiculairement au premier plan auront après l'émergence une intensité maximum.

Dans les azimuts intermédiaires, l'intensité croîtra de la première section à la seconde. Mais les rayons des différentes couleurs ont leurs intensités altérées d'une ipanière différente, puisque cette altération dépend des angles t et r, et par suite de l'indice de réfraction. Si donc la lumière est blanche, les maxima et les minima des différentes couleurs ne seront pas proportionnels aux intensités respectives de ces couleurs dans la lumière blanche; ily aura une couleur prédominante, et c'est celle-là qui apparaîtra. Si l'on fait pour les différentes couleurs le calcul de l'affaiblissement qu'éprouvent les intensités des rayons polarisés dans le plan d'incidence et

<•) C. /?., XXVI, 197. — ln$t., XVI, 53.

dans le plan perpendiculaire, on reconnait que ce sont les rayons jaunes qui prédominent dans le premier cas, et les rayons violets, complémentaires des rayons jaunes, dans le second.

On peut reproduire artificiellement ce phénomène en faisant ar-^ river de la lumière polarisée au moyen d'un Nicol sur une pile de 100 à 300 verres de montre placés dans un tube en cuivre.

La même série de phénomènes se passe dans l'œil, qui peut être assimilé à une pile de ce genre, car la cornée et le cristallin sont formés de couches sphériqucs inégalement réfringentes (^^.

C. — Polarisation de la LoiiiiR£ par émission bt par diffusion.

Le mode de polarisation de la lumière émise ou diffusée par les corps s'explique encore par les lois de Fresnel.

3&6. P«torlMitioii par énti^ston. — 11 n'existe sur la polarisation par émission qu'un petit nombre d'expériences dues en partie à Arago ^^K La lumière rayonnée par un liquide ou par un solide incandescent dans une direction autre que la direction normale à la surface rayonnante est polarisée comme par réfraction , c'est-à-dire qu'elle est partiellement polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d'émergence. Gela tient à ce que les molécules de la surface ne rayonnent pas seules; celles des couches intérieures rayonnent également, du moins jusqu'à une certaine profondeur, et les rayons émis par ces molécules intérieures viennent se réfracter à la surface.

Si la lumière émise par. les gaz incandescents n'est jamais polarisée , cela s'explique par la faiblesse de la réfraction quand un rayon passe d'un gaz dans un autre ou même d'un gaz dans le vide.

La polarisation de la lumière émise par un corps peut donc nous renseigner sur la manière dont la lumière est émise par ce corps et

(^) M. Helniholts (voir la traduction française par Javal et Klein, p. 553), dans son Optique pkygiologique , n^admet pas l^explicaiion des houppes donnée par M. Jamin, et loi objecte, entre autres choses, que, si Ton opère avec de la lumière homogène, le bleu est k seule couleur pour laquelle les houppes sont visibles, et que Tétendue des houppes coïndde avec celle de la tache jaune de Tœil. 11 en conclut qu^on peut expliquer k production des houppes en admettant que les éléments jaunes de la tache jaune sont faiblement biréfringents et quMls absorbent plus fortement le rayon extraordinaire que le rayon ordinaire pour la lumière bleue. (L.)

^) Aêtronomie populaire , II, 95. — Œuvree complétée, VJI, 6o3.

sur l'état du corps. C'est ainsi que l'on reconnaît que la lumière émise par la lune est polarisée, comme par réflexion, dans un plan qui passe par la iune et le soleil. La lune n'est donc pas un corps lumineux par lui-même , et la lumière qu'elle nous envoie doit être celle qui, émise par le soleil, s& réfléchit sur sa surface. Cette expérience se fait en dirigeant un polariscope vers la lune.

On peut, par le même procédé, reconnaître si la lumière solaire est due à un solide ou à un liquide incandescent, ou bien à un gaz. Si la surface incandescente est solide ou liquide, la lumière du centre, émise normalement, ne doit pas être polarisée, mais un polariscope dirigé vers les bords du disque solaire doit donner des signes sensibles de polarisation. Or, jamais on n'a obtenu de traces de polarisation en dirigeant le polariscope sur un point quelconque du disque solaire. La lumière solaire est donc due à l'incandescence d'un gaz. Nous n'avons pas h parler ici des recherches ultérieures sur la constitution physique du soleiK qui ont confirmé le résultat obtenu par Arago.

3A7. Polarisation par dlffiuiloii. — La diffusion, comme la réflexion et la réfraction, modifie la polarisation de la lumière. Arago n'a fait que peu d'expériences à ce sujet. MM. de la Provostaye et P. Desains ont repris ces expériences sans être guidés par aucune vue théorique ^^^ de même qu'Arago. De là résulte un peu de confusion dans les résultats. Toutefois, on peut rendre un compte suffisant des effets de la diffusion observés par MM. de la Provostaye et P. Desains dans trois cas qu'ils étudièrent.

Le premier cas est celui des corps parfaitement polis; le second cas est celui des surfaces: mates sans granules ou à granules opaques; le troisième, celui des surfaces à granules transparents.

Arago avait observé sur la porcelaine bien polie un phénomène singulier : des poussières et des substances étrangères adhérentes à la surface font qu'elle n'est pas entièrement dépourvue de pouvoir diffusif. Arago I en recevant sur un polariscope les rayons ainsi diffusés, trouva des traces de polarisation perpendiculairement au plan

<*) Ann. de ckim. et de phyi,, (3), XXXlV, 9 15.

de diffusion, c'est-à-dire au plan passant par le rayon diffusé et par la normale à la surface diffusante.

D'après cela la diffusion irrégulière polariserait comme la réfraction, phénomène dont on ne voit pas la raison.

MM. de la Provostaye et Desains ont reconnu que , si la lumière tombe normalement sur la plaque de porcelaine, la lumière diffusée est polarisée dans le plan de diffusion. 11 en est de même quand l'incidence augmente, jusqu'à une certaine incidence pour laquelle il n'y a plus de polarisation; mais au delà la polarisation reparait perpendiculairement au plan de diffusion et va en augmentant avec l'incidence. Cependant l'or, sur lequel les deux physiciens expérimentèrent également, donna pour toutes les incidences de la lumière polarisée dans le plan de diffusion. Il en fut de même pour les surfaces complètement dépolies, c'est-à-dire pour les surfaces qui diffusent la lumière au plus haut degré.

L'anomalie observée sur la porcelaine s'explique d'une manière satisfaisante par le phénomène de la fluorescence. La fluorescence est une sorte de phosphorescence de très-courte durée qui se manifeste lorsque certains corps ont été éclairés. Après que ces corps ont cessé de recevoir la lumière ils en émettent encore pendant quelques instants. Cette lumière ainsi émise doit être polarisée comme par réfraction, ainsi que nous l'avons vu plus haut (3A6), et par suite perpendiculairement au plan de réfraction. D'ailleurs, si on ne constate cette lumière émise par le corps qu après qu'il a cessé d'être éclairé, elle n'en existe pas moins pendant l'éclairement, et alors elle se trouve associée à la lumière diffusée. Suivant que la lumière diffusée ou là lumière émise prédomine, la lumière renvoyée par le corps sera polarisée parallèlement ou perpendiculairement au plan de diffusion. Or, à mesure qu'on s'écarte de la normale, la quantité de lumière diffusée diminue, tandis que la quantité do lumière fluorisée ne change pas beaucoup. Il se peut donc que la lumière diffusée, d'abord prédominante, devienne, lorsque l'incidence aug^ mente, égale à la lumière fluorisée, puis, au delà, moins intense que cette lumière. Ainsi se trouvent expliqués les phénomènes produits par la porcelaine.

Les substances dépolies diffusant fortement la lumière, il n'est

pas étonnant qu'elles ne présentent jamais d'anomalies semblables à celles de la porcelaine, et, si Tor ne polarise pas la lumière perpendiculairement au plan de diffusion , cela tient à ce que For, comme tous les métaux, ne possède pas le pouvoir fluorescent.

MM. de la Provostaye et P. Desains expérimentèrent aussi sur les corps à surface non compacte, tels que le noir de fumée, le platiné platiné, etc. Pour de telles substances il n'y a pas de fluorescence, et, puisqu'ils ne transmettent pas la lumière, le seul effet produit sera celui de la diffusion. La lumière sera donc polarisée partiellement dans le plan de diffusion. Cette diffusion pourra être considérée comme une réflexion à la surface de granules convexes, et par suite la proportion de lumière polarisée doit augmenter avec l'incidence, car, l'angle du rayon incident avec le rayon réfléchi ne pouvant surpasser 5o degrés, sous l'incidence normale l'angle d'incidence ne peut surpasser kb degrés, angle moindre que celui de la polarisation complète. Or, jusqu'à cette incidence la quantité de lumière polarisée augmente en effet, et l'expérience vient vérifier ces conjectures.

Le dernier cas est celui des substances non compactes à granules transparents : tels sont le cinabre en grains, le papier, le soufre, le blanc de céruse , qui diffusent le plus de lumière. Dans ces substances la lumière pénètre à une profondeur plus ou moins grande, de sorte qu'on ne reçoit pas seulement les rayons qui se sont réfléchis une fois à la surface de ces granules, mais encore ceux qui se sont réfléchis un certain nombre de fois dans des plans différents, et surtout les rayons qui se sont réfléchis totalement dans l'intérieur du corps. Si donc la lumière incidente est naturelle, la lumière diffusée se composera de rayons polarisés dans tous les plans sans aucune régularité et sera de la lumière naturelle. Si la lumière incidente est polarisée, toutes ces réflexions tendent à changer le plan de polarisation d'un très-grand nombre de manières différentes, et la lumière diffusée sera encore plus ou moins dépolarisée. Ces résultats de la théorie ont été vérifiés par les expériences de MM. de la Provostaye et P. Desains.

Ces observations ont d'ailleurs constaté pour la chaleur les mêmes phénomènes de polarisation par diffusion que pour la lumière.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FKESiNEL 189

D. — TuiOBIB COMPLÈTE DES ANNEAUX COLORl&S,

3A8. Invunsance de la tliéarle élémentaire des anneaux eeloréiu — La connaissance des lois de la réflexion et de a réfraction de la lumière va nous permettre de compléter la théorie les anneaux colorés par réflexion et par transmission. Dans cette héorie élémentaire on admet que les anneaux par réflexion proiennent uniquement de l'interférence des rayons réfléchis k la preoière surface de la lame mince avec ceux qui se réfléchissent sur la econde surface de cette lame. Mais l'expérience montre que les anleaux obscurs produits par réflexion sont absolument noirs dans la umière homogène, tandis que, d'après la théorie élémentaire, leur ntensité devrait être seulement très-faible, car les deux rayons |u'on considère comme interférents ont des intensités inégales, celui |ul se réfléchit à la seconde surface ayant son iuten.<ité aflaiblie par leux réfractions. Ce désaccord entre la théorie et l'expérience proient de ce que, dans cette théorie simplifiée, on ne lient pas ompte des rayons qui émergent après avoir subi 3,5,7,... et en fénéral un nombre impair de réflexions dans l'intérieur de la lame, ît qui cependant doivent nécessairement intervenir dans le phéiomènë.

La théorie de Fresnel va nous permettre de calculer toutes les ipparences que doivent présenter lés anneaux réfléchis et les anneaux fansmis, puisqu'elle donne les formules nécessaires pour déterminer e que devient un rayon après un nombre quelconque de réflexions ►u de réfractions. Ces calculs ont été efl'ectués pour la première fois >ar Aîry^'^. 11 est inutile d'introduire dans les calculs l'hypothèse le Young sur le changement de phase produit par la réflexion (38), puisque ce changement résulte des formules de Fresnpl H qu'il y est ompris.

3A9. Intensités des anneaux réiléelile et transmis iarsque la lumière ineidente est polarisée dans le plan rineldenee. — Nous allons traiter en premier lieu le cas des anleaux par réflexion, lorsque la lumière incidente est polarisée dans

<•) Camhr. Trnm,, IV, niC), '109. — Phil. Mag,, ('O* X, 1 ^11; (3), lî, lao. Vrrdct, VI. — Opliqiip, 11. .{a

le plan d*incidence. Nous supposerons, comme cela a Heu ordinairement, que la lame mince est le milieu le moins réfringent. Si le faisceau est un peu large, il interviendra dans le faisceaii réfléchi suivant chaque direction une série de rayons qui ont subi i, 3« 5, . . . réflexions, et, comme les intensités de ces rayons décroissent très-rapidement avec le nombre des réflexions, on pourra faire la somme de leurs intensités en considérant leur série comme indéfinie.

Si Ton représente par sin qtt r-p le mouvement vibratoire du rayon

incident au point d'incidence et au temps t, le mouvement vibratoire du rayon réfléchi sur lu première surface aura pour expression,

au même point et à la même époque, a sin avj,* Quant au rayon

qui s'est réfléchi sur la seconde surface de la lame, en désignant par e l'épaisseur de la lame et par i l'angle d'incidence , on voit que sa difl^érence de marche avec le premier rayon réfléchi est accosi', et que sur ce rayon le mouvement vibratoire est représenté par

. . ft a^cosix A sm 97r Lp — 1 •

L'amplitude A peut être remplacée par le produit bcdy si, l'affl- |)litude du rayon incident étant prise pour unité, b désigne l'amplitude du rayon réfracté à la première surface, c le rapport de lamplitude de la lumière qui est réfléchie par la seconde surface à l'amplitude du rayon (]ui tombe sur cette surface, et enfin d le rapport de l'amplitude du rayon réfracté par la première surface i Taiiiplitude du rayon qui tombe sur cette surface. Le mouvement vibratoire du second rayon réfléchi aura donc pour expression

, , . ft 2rcosi\ hca sin îîTT I Y 5- — j •

Le troisième rayon réfléchi a été réfracté une fois du premier au second milieu, puis réfléchi trois fois à l'intérieur de la lame et réfracté une fois du second milieu au premier. Son amplitude sera donc devenue bc^d. Quant à sa diflerence de marche avec le premier rayon réfléchi, elle est de deux fois la quantité aecost. Il vient donc.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FRESTJEL 491 pour le mouvement vibratoire de ce troisième rayoïr, l'expression

bra sin qtt ( j, — a — r — 1 •

On a de même, pour le quatrième rayon,

bc^asinùirlj — o — j — 1»

et généralement, pour le (m+ i)*^"** rayon réfléchi,

icr" Vsin 97r (j— ^ — T — ) •

On a d'ailleurs, d*après les formules de Fresnel, i étant Tangle d'incidence dans la lame mince,

sin (r—i) sin (i—r)

Sin (r-Hi) sni (i-f-r)

I asinicosr » asinrcosi

0=? — ï — T-. — rt a = — r

sin(i-f-r)' sin (i-tr)

Par suite, il vient

jj 4sinicosisinrcosr [sin(i4-r)-4-sin (i — r)][sin(i -+-r)— sin (i—r)]

sin*(i-+-r) sin*(i-+-r)

sin*(i-4-r)— sin» (i—r) sin'(i— r) ^

sin* (I -+-/•) sin*(i-i-r)

En posant

t 2ecosi

les expressions des mouvements vibratoires prennent les formes suivantes : pour le premier rayon réfléchi, —csino;; pour le second, c ( 1 -— c^) sin (^ — y) ; pour le troisième , r* ( i — (?) sin (ar — ay) , et en général, pour le (n+ i)**^ rayon, c^**""* (i — c^)sin {x—ny).

En remplaçant les sinus par des exponentielles imaginaires, ces expressions deviennent, en laissant de côté pour le moment le premier ravon réfléchi ,

&93 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. et pour le (n4- ^Y^ rayon réfléchi,

Si Ton partage cette série d'expressions en deux groupes comprenant, l'un les ternies dont l'expression générale est

2 yCT et l'autre les termes dont l'expression générale est,

on aura deux progressions géométriqu&s où l'on peut faire la somme des n premiers termes. Les raisons de ces progressions étant respectivement

^.-'^ et c^e'"^,

on a , pour la somme deâ n premiers termes de la première progression ,

et pour la somme des n premiers termes de la seconde,

La somme des deux progressions est donc

2\~ \ c2fi[^[T-(/i-hi)j]v^^^-[^-(«-+-i)r]\/^]

I — 3^*ros r -^c* / , ^ — ■ ,

-vU.-i

Le terme du dénominateur (^\e +e j a été rem-

placé par sa valeur ac^ cosy.

En remplaçant de même au numérateur les exponentielles imaginaires par les lignes trigonométriques, il vient, pour la somme des mouvements vibratoires des rayons réfléchis, sauf le premier, Texpression

/ __J2\c^ ^^sin(.r— /iv)— c^^Sin[.r— (fi->-i)/]-c*sin.xH-sin(a;— 7)

' 1— 2C*C0SJ'-l-C*

Cette expression est réelle et on peut y faire croître n indéfiniment. Si l'on passe à la limite vers laquelle elle tend quand n croit indéfiniment, on trouve

^ / 1— ac*cosj-i-c*

Il faut, pour avoir le mouvement vibratoire total du rayon réfléchi, ajouter à celte limite le terme — csino?, qui représente le mouvement du premier rayon réfléchi et que nous avons négligé dans le calcul précédent, et on a alors pour expression définitive du mouvement vibratoire total du rayon réfléchi

/ «^ sin(.r— y)— c^sinx

Pour avoir Tintensité totale du rayon réfléchi, il faut mettre cette expression sous la forme

Asm9»(.-7j?r- Iv

et alors A^ représentera l'intensité; mais on sait aussi que Ton peut la mettre sous la forme

a sm aw t^ + « cos aw ^ i

vX qu'alors l'intensité est égale à a^+ 6'. C'est cette dernière forme c|ue nous choisirons. On trouve ainsi successivement, pour l'expires-

Udh RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE U LUMIÈRE POLARISÉE.

sion du mouvement vibratoire,

r(i--c*)sin(.r— y)— c^siiia?-4-!>(?^sinxco8y~c8inj?

1— ac*cosj-hc*

(i— c^sin(a?— ;)')— (i-+-c*)sîna?-*-2c*sina?cosj

(i-hr*)(cosv— i)sinj:— (i— c*)sîn jcosj:

I— 2c*cosy-+-c*

On a donc pour l'intensité cherchëe

I c*(i ^-cy (co&y— i)*-4-f* (i — c*ysiii* Y "~ (i— ac*cos7-+-c*)* ,

o a(i -4-c*)4-4c*cos*j-2(i -f-r*)*cosy ( 1 — ac* cos j-f- c*)*

^(i4-c*)(i — cosy)— ac*(i— cosj)cosY

(i— ac*cosj4-c*)*

o (i — 2c*cosj^-4-c*)(i — cosy) ~^ (i— ac*cosj-+-c*)* '

et enfin

I ac*(i— cosy)

1— 2C*C0SJ-f-C*

rt I . , a<? cos r • ^ 19

Ln remplaçant y par sa valeur air — r — » on arrive a 1 expression

définitive

4c* SI 11* 7r — * — 1=^ ^

(i — c*)*-i-/5c*sin*7r — r —

Telle est Tintensité des anneaux réfléchis lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence. Quant à celle des anneaux transmis <, elle s'en déduit immédiatement en retranchant de rnoil^ l'intensité des anneaux réfléchis , ce qui donne

, ,,, . . . , accosi

La quantité r dans ces deux expressions est égale à — h^wf^*

350. Intensités des anneiMix rélléelils et transmis Inrs^itue In lumière Incidente est polarisée perpendicnlairement au plan d'Inddenee. — Les formules précédentes donnent encore les intensités des anneaux réfléchis et transmis quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence; seulement la valeur de c est alors différente de ce qu'elle est dans le cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence.

En effet, les sinus qui entrent dans l'expression du mouvement vibratoire de chaque rayon réfléchi sont les mêmes que dans le cas précédent; les coefficients de ces sinus contiennent toujours les facteurs a, b^ c, d^ mais la valeur de chacun de ces facteurs a chan{jé. On a, dans ie cas actuel,

foii

tang(r-+-i'j' tang(i + r)*

c = — « ; asinicosr ■ asinrcosi

sin (i -t- r) cos (r — i) * sin (i -f- r) cos (i — /) '

1» ^ ou

il sin ai sin ar sin(i-4-r->-i'— r)sin(i-4"r-4-r— i)

sin*(i-4-r)cos*(i— r) sin*(/-+-r)cos*(i— r)

Le numérateur de cette dernière expression étant égal au produit le

sin(i + r) cos(i--r)-f-sin(i— r) cos(i + r)

par

on a

et enfin

sin (t+r) cos (t — r) — sin (t — r) cos(t +r),

sin*(i-+-r)cos*(i— r)— siii*(i— r)cos*(i-hr)

sm* (iH- r) cos* (i — r)

tang*(i-+-r)

C'est la même relation que dans le cas précédent.

Les expressions trouvées pour les intensités des anneaux réfléchis A transmis sont donc applicables au cas où la lumière est polarisée

jierpendiculairement au pian d'incidence/à condition de faire dans ces expressions

lang(i -+-/•)

351. IHaxIiii» et mlBini» des aiiiie»ux réfléeliUi tt transmis. — Considérons d*abord les anneaux rëflëchis. Dans les deux cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan, on voit que l'intensité I est nulle lorsqu'on a

. o 2PC0S/

SUrTT — r — =0,

(Yoù

3ecosi= aw -•

C'est là la condition donnée par la théorie des interférencesi el l'on voit que les minima des anneaux réfléchis dans les deux cas que nous avons traités sont complètement nuls, et que par suite les anneaux qui correspondent aux minima sont absolument noirs, ce c|ui s'accorde avec l'expérience.

La valeur de I peut s'écrire

li-cV

. . 2éîC08(

sm*7r

donc l'intensité est maximum en même temps que sin^w — jpî

ainsi les anneaux réfléchis, dans les deux cas que nous avons examinés, ont leurs intensités maxima lorsqu'on a

!iPcos t=(îiw-r i) - '

et l'intensité maxima a pour valeur

(i-c*)*-+-4('* (i-Hc-*)

Puisque les intensités des anneaux transmis, ajoutées à celles des anneaux réfléchis, doivent donner une soinilio constante ^ale a

i'anité, il en résulte que les anneaux transmis ont leur intensité maximum quand les anneaux réfléchis ont leur intensité minimum , et leur intensité minimum quand les anneaux réfléchis ont leur intensité maximum. Les anneaux transmis ont donc pour intensité

maximum l'unité et pour intensité minimum . ,m'

On voit que, pour les anneaux transmis, les minima ne sont jamais nuls, et que par conséquent ces anneaux ne peuvent jamais être complètement obscurs. Lorsque c^ est très-pelit, c'est-à-dire au voisinage de l'incidence normale, les minima des anneaux transmis difl^rent peu des maxima.

Quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, on a c = T — ^ — :• Si, dans ce cas, l'angle d'incidence est

celui de la polarisation complète, on aura t + r=90 degrés, et c=o, d'où 1 = 0 et T= 1, c'est-à-dire que, lorsque la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, si l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, les anneaux réfléchis disparaissent complètement quelle que soit l'épaisseur de la lame, et les anneaux transmis ont pour intensité l'unité, ou plutôt, l'intensité étant indépendante de la couleur, on aura , à la place des anneaux transmis, une lumière blanche et uniforme.

353. Intensités des sniiesuiL réfléeMs et transmis lorsque 1a lumière incidente est |ioliM>isée dans un plan qucleonqtie. — Le cas où la lumière incidente est polarisée dans un plan quelconque ne présente aucune difficulté, et les formules qui s'y rapportent se déduisent immédiatement des précédentes. Soit en effet a l'angle du plan de polarisation du rayon incident avec le plan d'incidence , et prenons pour unité l'intensité du rayon incident; on peut décomposer ce rayon en deux autres, l'un polarisé dans le plan d'incidence, l'autre polarisé perpendiculairement à ce plan, et les amplitudes de ces deux composantes seront respectivement cosa et sina. Si l'on applique à chacune de ces composantes des formules que nous avons trouvées plus haut, on aura '.les intensités destleux composantes, du rayon réfléchi et des deux coia-*' posantes du rayon transmis. Comme ces deux composantes sont po-

â98 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE P0UR1SÉE.

iarisées h angle droit et sans différence de phase, il suffit, pour avoir Tintensité du rayon réfléchi ou du rayon transmis, d'ajouter les intensités des deux composantes, ce qui donne pour les anneaux réfléchis et transmis

. , . , aecosi . /« • . accosi

^d^sinn — » — àc sin*n — ^ —

I = cos^a ---. + sin^ a

aecosi " , ,^. . ,. . . a^cosi

(i -cV4- 4c*sin»7r ^^^ (i -c'*)*+4c'»sin»7r — ^—

1 = co8*a --— -j-sm-'a

(i — c*)*4- 4c'sm* w — j — (i — c *)*-h4c *sm' w — ï—

Dans ces expressions il faut prendre

sin(t-r) ^,taiig(i-r)

sin(i-hr) tang (i-hr)

On voit donc que , dans le cas où la lumière est polarisée dans un plan quelconque, les maxima et les minima se produisent, pour les anneaux réfléchis et transmis , dans les mêmes conditions que lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan. Les minima des anneaux réfléchis sont encore nuls et les maxima égaux à

4c*cos*a ^, 4c'*sin*a

Pour les anneaux transmis, les maxima sont égaux à l'unité et les

minima à

(i— c*)cos*g (i — c'*)sin*a

(i4-c«)* ' (i-hc'*) '

On voit de plus que, dans le cas actuel, il n'existe aucune incidence pour laquelle les anneaux disparaissent, quelle que soit Tépaisseur de la lame.

353. PolArisation des AimeiMix réflédiis mt tonique Im lumière iueldeute est uAturelle* — Si l'on considère la lumière naturelle comme formée de deux faisceaux po*

iarisés à angle droit et ayant chacun pour intensité -^ on aura, pour

la composante du rayon réfléchi polarisée parallèlement au plan d^incidence » l'intensité

ac*sm*w — e — (i —d'f-h 4c*sm*7r — ^ —

et pour la composante polarisée perpendiculairement au plan d'incidence •

2c*sni'w — r —

/ 11 * '1 • 1 aé?rosi (i —c V-h 4o *sm*w — r —

Il est facile de voir que le rayon réfléchi est partiellement polarisé dans le plan d'incidence, ce qui n'a pas lieu de nous surprendre puisque l'effet ordinaire de la réflexion est de polariser la lumière naturelle dans le plan d'incidence. En effet, la diflérence

, . - arcosi ,. . , a(?cos{

ac'sm* TT — j — 2c *sm'w — r —

(i -€*)'-+- 4c* sm'TT — r — (i— c')*4-4c*sm«7r — r — peut s'écrire sous la forme d'une fraction ayant pour numérateur •jc-sin^'w — y^ — \[i ^ c^)*+ lic^sin^tr — j^ —

ac -* sm^TT — K- — ( 1 — c^)' + ac* sjn* v — v —

= a sin^^ ^^ [c^ (i - cy- c'2 ( 1 - c^Y] ;

c^ étant plus grand que c''^ et chacune de ces quantités étant moindre que l'unité, celte dernière quantité est positive, et par conséquent l'intensité de la lumière réfléchie est plus grande pour la composante polarisée parallèlement au plan d'incidence que pour la composante polarisée perpendiculairement à ce plan.

Pour la lumière transmise, ce sera l'inverse : ce sera la composante polarisée perpendiculairement au plan d'incidence qui aura la

plus grande intensité , et par suite la lumière transmise sera polarisée partiellement et perpendiculairement au plan d'incidence.

Ce dernier résultat semble en contradiction avec une. expérience d'Ârago. Il recevait la lumière réfléchie ou transmise par la lame mince sur un prisme biréfringent dont la section principale était parallèle au plan d'incidence. Il obtenait ainsi deux systèmes d'anneaux, l'un dû aux rayons ordinaires, et l'autre aux rayons extraordinaires. Or il remarqua que, lorsque l'angle d'incidence était celui de la polarisation complète, les anneaux disparaissaient dans l'image extraordinaire, et on avait à la place absence de lumière pour le rayon réfléchi, lumière blanche plus intense pour le rayon transmis. Cela tient uniquement à ce fait que nous avons signalé plus haut (351), que si, la lumière étant polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, l'angle d'incidence devient égal à celui de la pola^ risation complète^ c'^esi nul, et par conséquent Tin tensité du rayon transmis ou réfléchi devient indépendante de l'épaisseur et de la couleur, nulle pour le rayon réfléchi, et égale à l'unité pour le rayon transmis.

3 5 A. Explication des eiLpérlenees de Yomii; sur les neaux k eentre Mane et k centre noir. — L'amplitude des difl'érents rayons réfléchis dont la superposition constitue le rayon réfléchi total décroit rapidement; donc le signe de la somme des ampliludes de tous les rayons réfléchis, sauf le premier, est le même que le signe de Famplitude du second rayon réfléchi. Or les amplitudes du premier et du second rayon réfléchi sont — cet c(i — r). Si le milieu intermédiaire est placé entre deux milieux semblables, comme nous l'avons supposé jusqu'ici, ces deux amplitudes sont toujours de signe contraire, et, par conséquent, il y aura toujours changement de signe dans la vitesse d'un des deux premiers rayons réfléchis, mais d'un rayon seulement, à la première ou âja seconde surface.

Supposons d'abord le milieu intermédiaire moins réfringent que les deux autres; si alors la lumière Incidente est polarisée dans le

plan d'incidence, c a pour valeur — . . ■ ! et est positif; le changement dç signe a donc lieu i^ la seconde surface; si la lumière est

polarisée pérpèridiculairement au f\m d'incidence, c a pour valeur

^^\' — ] et le changement de signe a lieu è la première ou à la

seconde surface, suivant que i + r est plus petit ou plus grand que 90 degrés, c'est-à-dire suivant que Tangle d'incidence est plus petit ou plus grand que l'angle de polarisation complète.

Si le milieu intermédiaire est plus réfringent que les deux autres et si la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, c est négatif, et le changement de signe a lieu à la première surface; si, dans le même cas, la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence , le changement de signe aura lieu à la première ou à la seconde surface, suivant que l'angle d'incidence est plus grand ou plus petit que l'angle de polarisation complète.

En somme, lorsque le milieu intermédiaire est compris entre deux milieux semblables, il y a toujours changement de signe pour un seul des deux premiers rayons réfléchis. D'oii il résulte. que, dans ce cas , les anneaux réfléchis sont toujours à centre noir et les anneaux transmis à centre blanc.

Il n'en est plus de même quand les deux milieux entre lesquels se trouve la lame sont difi*érents. Supposons d'abord que l'indice du milieu qui forme la lame soit intermédiaire entre les indices des deux milieux qui la comprennent* Les deux réflexions se font alors dans les mêmes conditions, et les deux premiers rayons doivent, ou ne pas changer de signe, ou changer de signe tous deux, l'un h la première et l'autre à la seconde surface. Dans l'un comme dans l'autre cas« la réflexion n'introduit pas de changement de phase et, par conséquent, les anneaux réfléchis doivent. être à centre blanc, et les anneaux transmis à centre noir; c'est ce qu'a vérifié Young(38).

Enfin considérons le cas où les deux milieux qui comprennent la lame mince sont tous deux plus réfringents ou tous deux moins réfringents que le milieu de la lame, tout en ayant des indices trèsdifl'érents.

Supposons, pour fixer les idées, que les deux milieux aient des indices supérieurs à celui de la lame mince , et que la lumière incidente soit polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Le rayon

réfléchi à la première surface a alors pour amplitude + t — ^-t — rr-,

r^mplîtude du rayon incident étant prise pour unité. De même le

rayon réfléchi à la seconde surface a pour amplitude . ^;. — r!»

lamplitude du rayon qui tombe sur la seconde surface étant prise pour unité. On a, dans la supposition que nous avons faite» i^r et t > r' ; si, de plus, on suppose r > r', c'est-à-dire le second milieu plus réfringent que le premier, le changement de signe aura lieu à la première surface et non à la seconde tant qu'on aura t+r<C 90*, c'est-à-dire tant que l'angle d'incidence est inférieur à l'angle de polarisation complète pour le premier milieu : dans ce cas, les anneaux réfléchis sont à centre noir. Sil'on at-f-r>90*ett-|-r^<go*, c'est-à-dire si l'angle d'incidence a une valeur intermédiaire entre celles des deux angles de polarisation complète relatifs aux deux milieux, il n'y a de changement de signe ni à la première ni â la seconde surface, et alors les anneaux^ réfléchis sont à centre blanc. Enfln , si l'on a t -f- r' > 9 o**, c'est-à-dire si l'angle d'incidence surpasse l'angle de polarisation complète relatif au second milieu, le changement de signe a lieu seulement à la seconde surface, et les anneaux réfléchis sont de nouveau à centre noir«

Au lieu de faire tomber sur la lame de la lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, on peut y faire tomber de la lumière naturelle, et recevoir ensuite les rayons réfléchis sur uo prisme biréfringent dont la section est parallèle au plan d'incidence: l'image extraordinaire donnée par le prisme ne se composera alors que de lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, et présentera, suivant la valeur de l'angle d'incidence, les différentes apparences que nous venons d'indiquer.

Ces apparences sont assez difficiles à vérifier, parce qu'il faut employer deux substances bien transparentes dont les indices soient très-différents. Airy les a vérifiées le premier en se servant de sulfure de zinc et de verre.

E. — Polarisation par diffraction.

355. Rapiiorta entre lea pliéiioméiiea de 1a potoriMitlea par diffr aetion et Im direetion des vibrations de la lumière polarisée. — C'est à M. Stokes qu'on doit les premières recherches

sûr les modifications cpie ia diffraction peut imprimer h la lumière polarisée ^^). Il avait spécialement pour but de déterminer quelle est, sur un rayon polarisé rectilignement, la véritable direction des vibrations, si ces vibrations sont parallèles ou perpendiculaires au plan de polarisation. Les phénomènes de l'interférence des rayons polarisés laissaient, comme on sait, le choix entre ces deux hypothèses, sans rien décider en faveur de. Tune d'elles. Fresnel, d'après la théorie mécanique de la double réfraction qu'il donna, fut conduit à regarder les vibrations de la lumière polarisée comme perpendiculaires au plan de polarisation; mais cette théorie reposait, comme nous l'avons vu (118), sur un grand nombre d'hypothèses, dont plusieurs sont peu exactes. Les travaux de Poisson et de Cauchy sur ta théorie de la double réfraction montrèrent qu'en faisant sur des coefficients constants des hypothèses également admissibles on arrive à trouver les vibrations, soit parallèles, soit perpendiculaires au plan de polarisation. Enfin Fresnel a donné de la réflexion et de la réfraction de la lumière une théorie qui s'accorde avec l'expérience, et pour l'établissement de laquelle il s'appuie, d'une part, sur ce que les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, et, d'autre part, sur trois principes (311), dont deux sont évidents, savoir : la continuité du mouvement de l'éther et la conservation de la force vive. Mais le troisième de ces principes n'était, ik cette époque , qu'une hypothèse consistant h admettre que l'élasticité de Téther est constante dans tous les corps et que la densité de Téther dans un corps est d'autant plus grande que ce corps est plus réfringent et proportionnelle au carré de l'indice de réfraction du corps par rapport au vide. Ce qui n'était qu'une hypothèse a été vérifié depuis par les expériences de M. Fizeau, qui consistent à observer le déplacement que subissent les franges d'interférence lorsqu'un des faisceaux qui produisent ces franges a à traverser un milieu pondérable animé d'un mouvement dans la direction du rayon. Dans ces expériences, il a reconnu que la vitesse de l'éther dans le milieu en mouvement est bien celle qu'on peut déduire du

W Cmnhr» Tram.f IX, i. — Atm, d« ehim. et dephyn.^ (3), LV, Agi. — /««f., XX, 59. -^ Phil, Mag.,(h), XIII, 159; (A), XVIII, /iaO.

principe de Fresiiel^'^ Donc^ en s'appuyant, dans la théorie de la . réflexion et de la réfraction, sur des principes tous certains et sur cette hypothèse que les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, on arrive à des conclusions conformes h Texpérience, Si, au contraire, on admet que les vibrations sont parallèles au plan de polarisation, on arrive à des résultats diamétralement opposés à ceux que donne l'expérience.

Mais, en i85o, époque à laquelle M. Stokes Gt ses observa^ tions, le principe sur lequel s'appuie Fresnel n'avait pas encore été vérifié par M. Fizeau, de sorte que sa théorie contenait encore quelque chose d'hypothétique.

Supposons qu'on produise les phénomènes de diflfraction non plus avec de la lumière naturelle, mais avec de la lumière polari^ sée rectilignement. Prenons sur la surface de l'onde un élément très^ petit : cet élément peut être considéré comme envoyant des rayons dans toutes les directions. Sur les rayons normaux à la 6uiface de 1 onde les vibrations sont parallèles aux vibrations primitiveflf^ nMiiftv sur les rayons obliques, les vibrations ne peuvent rester paicaiMél aux vibrations primitives, car elles doivent être perpendiculâif0p:M rayon, et ce rayon est oblique par rapport aux vibrations prinitjiifc Le plan de polarisation des rayons diffractés doit donc avoir tÏHMlA d'un certain angle par rapport au plan dé polarisation de la kmulèf^ incidente. On peut calculer cet angle en supposant succesaiiremflBt les vibrations parallèles ou perpendiculaires au plan de polarisation, et voir quels sont les résultats qui s'accordent le mieux avec l'expérience.

356. Tliéeréme de m. Utobea sur Im direetioi» des ▼liN«tlona de Im lumière diffraetée* — M. Stokes a traité mathématiquement cette question en considérant l'éther comme un milieu solide, en tant du moins que la résuUante des pressions sur un élément n'est pas toujours normale sur cet élément, comme r^la a

(') Pour ces eipériences de M. Fizeau, et en général pour tout ce qui est relatif*" mouvement communiqué à Péther par le mouvement des corps pondérables et a rinflueiKf du mouvement de la terre sur. les phénomènes optiques, voir dans le présent oovf«f|«< t. IV (Conférpncet dp phyiiqiip)^ les Leçons sur la vitesse de la lumière.

lieu dans les fluides; de pius, il a supposé que les vibralioDs transversales, c'est-à-dire perpendiculaires à la direction du rayon, se transmettent seules, et que les vibrations longitudinales , c'est-àdire parallèles à la direction du rayon, ne sont pas transmises. Il a trouvé ainsi que l'angle de la direction des vibrations sur le rayon diffracté avec la direction des vibrations sur le rayon incident est toujours te plus petit possible, ou, en d'autres termes, que si , par un point du rayon dilTracté , on mène une parallèle à la direction des vibrations sur le rayon incident, ia direction des vi> brations sur le rayon réfracté est dans le plan passant par la droite ainsi menée et par le rayon diffracté : de plus, cette direction est perpendiculaire au rayon diffracté; elle est donc complètement déterminée.

Soient (fig. 67) ON la direction du rayon incident, OH la direction des vibrations sur ce ruyon , OP la direction du rayon diffracté, OQ la direction des vibralims sur ce rayon, j3 et a les an^es que OQ et OM font avec la perpendiceUiirc OZ au plan de difTractioo , $ l'angle du rayon diffracté avec le rayon incident. D'après ce que nous venons de voir, OQ est compris dans le plan PGM.

Considérons l'angle Irièdre fonné par ''«■ ^7- es trois droites OM , OQ , OZ ; ce trièdre

est rectangle suivant OQ, car OQ et OZ sont perpendiculaires à OP; donc OP est perpendiculaire au plan QOZ, el, par suite, le plan POM, ou, ce qui revient au même, le plan QOM est perpendiculaire au plan QOZ. On a donc, d'après une formule connue,

lang 0 = lang a cos 8.

357. D«in*iu«rMtl«n éléMentatrc du théM^HM de M. Stohes pftF SI. ll*ltuii«nii. — ■ M. Holtzmann'" a trouvé cette même formule d'une manière plus simple. Supposons d'abord que les vibrations soient perpendiculaires au plan de diffraclion; d'après ce que nous avons dit plus haut, les vibrations sur le rayon diffracté

01 Pagg. Aim.,\a\,ril>6. — Anndrchm.tléfphs:.(3).V/, 5o). VwDBi, VI. — Opti(|nc. II. 33

seront parallèles aux vibrations sur le rayon incident. Supposons maintenant les vibrations du rayon incident parallèles au plan de diffraction. Soient (fig. 68) OM l'amplitude de cette vibration. OP le rayon incident, OQ le rayon diffracté, 6 l'angle de ces deux rayons. On peut décomposer la vibration OM en deui autres vibrations, l'une perpendiculaire au rayon difTracté et l'autre parallèle à ce rayon; la première se transmettra seule dans le rayon dilfractë. et elle est égale à OM cosô.

Prenons mainteDaut le cas général. Supposons que, dans le rayon incident, les vibrations fassent avec ta perpendiculaire au plan de diffraction un angle égal à a. On peut alors décomposer la vibration incideolf en deux autres vibrations, l'une perpendiculaire au plan de diffraction et égali? ît OM cosa, qui donne dans le rayon dif- Tracté une vibration perpendieulaira •u plan de diffraction, égile h OMcom:

l'autre, OM sina, dans le plan de diftK- (ion, qui dçnae dsiu le rayon diCnelé ' " ~' une vibration dus le plan de diffirediaD

égale k OMsinacos^. Si l'on appelle /3 l'angle <|ue bit la dîreeli(in des vibrations sur le rayon diffracté avec une perpendicnlù* m plan de diffraction, on aura

- OMsiiiacosd , ,

^^H^= oMco5« ^'^Pg'tosO,

formule identique à celle qui a été trouvée par M. Stokes.

Cette formule montre que 0 est moindre que s, c'est-à-dire <\at par la diffraction les vibrations se rapprochent de la peipendiculain au plan de diffraction. Donc si , comme le suppose Kresnel, le plan de polarisation est perpendiculaire aux vibrations, par la diffraction le plan de polarisation doit s'éloigner de la perpendiculaire au pian de diffraction , c'est-à-dire se rapprocher du plan- de diffraction.

Si, au contraire, le plan de polarisation est parallèle aux vikntions, il doit, par la diffraction, se rapprocher de la perpendini' taire au plan de diffraction, r'esl-à-dire s'éloigner du pian de diffraclion.

Pour que la rotation du plan de polarisation soit sensible, il faut que 0 ait une valeur considérable; il faut donc observer les rayons diflractës sous de grands angles, et, pour cela , produire la diffraction au moyen d'ouvertures très-petites et très-nombreuses. M. Stokes se servait d'un rëseau construit en traçant avec un diamant, sur une lame de verre, des traits si rapprochés qu'il y en'avait 5o par millimètre.

358. Difllcultés des expériences. — Il faut remarquer que la diffraction n'est pas la seule cause qui tende à changer le plan de polarisation des rayons incidents. Il faut tenir compte aussi du changement de milieu et de la réfraction qui tend à rapprocher le plan de polarisation de la perpendiculaire au plan de réfraction, ou, ce qui revient au même, au plan de diffraction. La réfraction tend donc à éloigner le plan de polarisation du plan de diffraction , comme le ferait la diffraction dans l'hypothèse contraire à celle de Fresnel. Si on trouve que le plan de polarisation s'éloigne du plan de diffraction, on n'aura rien à en conclure; mais s'il arrive que le plan de polarisation se rapproche du plan de diii'raction, on sera autorisé à en tirer une conclusion favorable à l'hypothèse de Fresnel.

Supposons d'abord le réseau à la seconde surface, c'est-à-dire supposons que le rayon traverse la lame de verre avant d'arriver au réseau. Si le rayon est normal à la lame de verre , il la traverse sans que son plan de polarisation change, et, à la seconde surface, il subit une diffraction et une réfraction. On peut faire deux hypothèses :

Ou bien la réfraction a lieu avant la diffraction, et alors, comme le rayon est normal, la déviation du plan de polarisation n'est due qu'à la diffraction, et on a par conséquent

tang^= tangacosfl,

jS et a étant les angles des vibrations avec une perpendiculaire au plan de diffraction, ou, dans l'hypothèse do Fresnel, les angles des plans de polarisation du rayon diffracté et du rayon incident avec le plan de diffraction.

Si, au contraire, la diffraction a lieu avant la réfraction, on a un rayon qui se réfracte sous l'incidence 6. Le plan de polarisation de

508 RÉFLEXION ET RÉFRACTION bfi LA LUMIÈRE POLARISÉE.

ce rayon fait avec le plan de diffraction un angle qui est donné par

la relation

(i) tangjS' = tangacosd.

Or on sait que, lorsqu'un rayon se réfracte sous l'incidence 0, si l'on appelle & l'angle de réfraction correspondant à l'angle d'incidence fl, /3' l'angle du pian de polarisation du rayon incident avec le plan de réfraction, j8 l'angle du plan de polarisation du rayon réfracté avec ce même plan, on a (320)

tangjS'

d'où, d'après l'équation (1)9/3 conservant la même signification, , V tangacosd

Considérons maintenant le cas où le réseau est à la première surface. On peut, comme dans le cas précédent, faire deux hypothèses:

Si l'on suppose que la réfraction a lieu avant la diffraction , le rayon qui tombe normalement sur le réseau y pénétrera sans que son plan de polarisation change de direction, puis il se diffractera, et, si on désigne par ^ l'angle du plan de polarisation avec le plan de diffraction , on aura

tang /S'= tanga cos 6.

A la seconde surface, le rayon se réfractera sous l'incidence normale et, si l'on désigne par j3 l'angle du plan de polarisation du rayon émergent avec le plan de diffraction , on aura

/«x ^ tangacosô

formule identique ù la formule (s) du cas précédent.

Enfin, si nous supposons que la diffraction ait lieu avant la réfraction, nous aurons, en appelant ^" l'angle du plan de polarisation du rayon diffracté avec le plan de diffraction, jS' l'angle do plan de polarisation du rayon après la première réfraction à la première surface avec le plan de diffraction, j3 l'angle du plan de

polarisation du rayon émergent avec le plan de dii&action,

tang|8* tang/S'=tang«cosfi, *«"6^'°cos(g-eV

tang/S'

d'où

tangacosd

cosMÔ-ô')*

(4) tang/S =

Les formules (i), (â), (3), (â) supposent le plan de vibration perpendiculaire au plan de polarisation, car elles ont été établies en partant de la théorie de Fresnel.

359. Expérienees de HI. litiil&cs. — Les expériences de M. Stokes ont été faites, comme nous l'avons dit, avec un réseau très-fin. Le rayon incident était polarisé par un prisme de Nicol, et le rayon émergent analysé par un second Nicol. Les angles de diffraction étaient très-considérables, et ils variaient entre 5 o et 65 degrés. On observait les spectres de première classe dans lesquels les couleurs ne sont pas nettement séparées.

M. Stokes trouva que la lumière diffractée n'était pas complètement polarisée , c'est-à-dire qu'il n'y avait pas de position de l'analyseur dans laquelle une image disparût complètement. Mais chaque image passe par un minimum, et alors elle est colorée. La coloration change dans le voisinage de ce minimum; cela conduit à penser que, par l'effet de la diffraction, les plans de polarisation des rayons des différentes couleurs tournent d'angles inégaux. Les expériences de M. Stokes n'ont pas donné des résultats très-réguliers, mais, prises dans leur ensemble , elles paraissent favorables à l'hypothèse de Fresnel.

Voici comment M. Stokes a effectué cette vérification. Il a remarqué d'abord que les formules (i), (s), (3), (/î) sont de la forme tang jS <= m tang a , m étant une fonction de 6. Il a pris pour abscisses les valeurs de d, et pour ordonnées les valeurs de tangjS données par les exp'ériences » et il a pu ainsi représenter les observations par des points. Il a ensuite construit trois courbes correspon-

dant aux trois valeurs de m données par les formules (i), (s), (3), (4), qui, en admettant l'hypothèse de Fresnel, sont

vosO cosfl

vm{0-0} cos*(fl-ô)

11 a vu ainsi que ia première courbe donnée par la formule m = cos0 ne passe au voisinage d'aucun des points donnés par les expériences.

La seconde courbe , donnée par la formule m = ^; — g- , passe près

des points donnés par des expériences où le réseau était à la seconde surface. Enfm la troisième courbe, donnée par la formule

m = — i(û'û' pî^sse près des points donnés par des expériences

où les réseaux étaient à la première surface.

Si, au contraire, on adopte l'hypothèse opposée à celle de Fresnel, c'est-à-rdirc si on admet que les vibrations soient parallèles au plan de polarisation, on a, pour les quatre cas que nous avons considérés, les formules

tang/3=— \, tanfï/S-— ^ ^ -%

^ langacos*(ô'-ô) tang /3 = ^ 1

a et j8 étant toujours les angles des plans de polarisation du rayon incident et du rayon ditfracté avec le plan de diffraction. Si on trace les courbes qui correspondent à ces formules, on trouve qu'elles passent loin des points donnés par Texpérience.

Les expériences de M. Stokes paraissent donc favorables à l'hypothèse de la perpendicularité des vibrations au plan de polarisation. Elles semblent, de plus, démontrer que la diffraction a lieu avant la réfraction. Néanmoins les résultats de M. Stokes sont peu réguliers, et il est probable que, dans ses expériences, les phénomènes étaient compliqués par des circonstances accessoires, comme par exemple la réflexion de la lumière sur les traits qui forment le réseau.

360. Expériences de 91. Holtsmann. — Les expériences de M. Holtzmann ont été faites en rerouvrant une lame de verre de

noir de fumée et en enlevant cet enduît par bandes très-mînces. H u obtenu des résultats plus réguliers que M. Stokes, mais il a été conduit à une conclusion diamétralement opposée. Il a eu recours à des mesures de rotation du plan de polarisation et à des mesures d'intensité.

Supposons la lumière incidente polarisée à 45 degrés du plan de diffraction, et recevons la lumière émergente sur un analyseur dont la section principale est parallèle au plan de diffraction. Si l'hypothèse de Fresnel est exacte, le plan de polarisation doit, par la diffraction, se rapprocher du plan de diffraction, et, par suite, l'image ordinaire doit dépasser en intensité l'image extraordinain\ Dans l'hypothèse contraire à celle de Fresnel, le plan de polarisation s'éloigne du plan de diffraction, et, par conséquent, c'est l'image extraordinaire qui est la plus intense. L'expérience montre que c'est l'image extraordinaire qui a la plus grande intensité. Elle paraît donc favorable à l'hypothèse oii l'on suppose les vibrations parallèles au plan de polarisation.

M. Holtzmann a effectué aussi des mesures de la rotation du plan de polarisation. Il n'a pas, comme M. Stokes, obtenu d'images colorées et, par suite, il a pu déterminer avec beaucoup de précision la position du plan de polarisation du rayon diffracté. Si l'on suppose le réseau à la seconde surface, en admettant l'hypothèse contraire à celle de Fresnel , en supposant de plus que la diffraction a lieu avant la réfraction, on a

i'duga cos {6—6) la»«^^=^ ^6

a et /3 étant les angles des plans de polarisation du rayon incident et du rayon diffracté avec le plan de diffraction. C'est par cette formule qu'ont été calculés les nombres inscrits dans la cinquième colonne du tableau suivant, tandis que les nombres contenus dans la dernière colonne ont été calculés, en admettant rh)pothèse de Fresnel, parla formule

langacosô

VALIUB8

obserrëes

par

M. Hollxmann.

/lo'Sa'

laiigjS =

f AUUBS CALCULAIS

par la formule tangacos(^

cos 9

/i5° 3' Aa* &' A3°a9' Ao° a'

TALIVH

caieulëet par la formule

de M. Eisenlohr.

/io*3a' ài'57'

BBIBBBH

▼ALiiraa ealcolée»

4*«pi«s l*hypothi'-fie defntod.

à6« a' A5-fia' 47" i6' â8'53' 5o* a6'

On voit que ces expériences paraissent contraires à Tliypolbèse de Fresnel ; mais il faut examiner si le principe de ces expériences est absolument incontestable, et nous allons faire voir qu'il n'en est pas ainsi. En effet» pour trouver les formules qui nous ont servi à comparer les résultats de Texpérience avec ceux qui sonl donnés par l'une ou l'autre des hypothèses sur la direction des vibrations, nous avons admis que les vibrations longitudinales de l'éthcr sont de nul effet. Or, en admettant cette nullité d'action des vibrations longitudinales, il est impossible d'expliquer les phénomènes que présente la réflexion à la surface des métaux et aussi à la surface des corps transparents dans le voisinage de l'angle de polarisation complète. Cauchy admit que les vibrations longitudinales se transmettent en effet, mais s'affaiblissent très-rapidement.

361. Reebercbes de m. Eisenloltr* — M. Fr. Eisenlohr a appliqué l'hypothèse de Cauchy aux phénomènes dont nous nous occupons ^^^ Il est arrivé à la formule suivante, en représentant para et jS les angles des plans de polarisation du rayon incident et du rayon diffracté avec la normale au plan de diffraction ^ par fc* une constante proportionnelle au rapport des coefficients d'absorption des vibrations longitudinales dans les deux milieux, c'est-à-dire dans le verre et dans l'air, divisé par la longueur d'ondulation, et en admel-

''J Pogg. Atm., CIV, 337. — Ann. de rhi»n. et ffe phy9.^ (3), LV, 5o/i.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FRESNEL 5t3 tant rhypothèse de Fresnel,