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- Nous allons d'abord a|)pliquer le principe de Caucby aux corps transparents. Nous étudierons en premier lieu le cas oïl la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Comme nous supposons les vibrations peqjendiculalres au rayon et au plan de polarisation, il n'y aura à considérer qu'un seul système d'équations se rapportant à l'axe mené ^'^- '•'•■ dans le plan de la surface de séparation

perpendiculaireiuenl au ptnn de polarisation, c'est-à-dire au plan d'incidence.

Considérons (iig. ^y) deux points m' et m', situés sur une même normale et à une m^me distance : de la surface. Supposons (ju'au temps ( la vitesse de vibration de la molécule qui se trouve au point I, où la normale rencontre la surface de séparation, vitesse due au mouvement du rayon incident, ait pour expression sin 3ir.T. ■ La vitesse de vibration de la molécule qui se trouve en tn, due au mouvement incident, sera la même que celle du point p obtenu en abaissant du point m une |>erj)endiculaire sur le rayon incident qui passe par le point 1. Or, on a

donc la vitesse de vibration du |>oint M au temps 1 dans le mouvement incident sera

La vitesse de vibration du [loint m dans ie mouvement réfleclH aura, à la même époque ^ pour expression

V smaîT

' / z ces /' \

Quant à la vitesse de vibration du point m\ elle est égaie à celle du point p' situé sur le rayon réfracté passant par le point I et pied de la perpendiculaire abaissée du point m' sur ce rayon. On a

1^'=^ - : cos r\

par conséquent, la vitesse du ])oint m duDUt ^^ luilivew^t f^iPWl*^* est égale, à l'époque /, à

/< :cos4î\

Si z tend vers zéro, la somme des deux pfPlgitpw ¥iMl6i mpitfh^^ de plus en plus d'être égale à la troisièiff YllUil, ^ 4 li WHite* c'est-à-dire pour -:= o, il y a égalité, ce qui donne Téqûation

C'est celle que Fresnel déduit du principe de contiimité.

Pour avoir la seconde équation, il faut écrire que la somme des dérivées par rapport à z des deux premières vitesses est égale à la dérivée de la vitesse du rayon réfracté (|uand <:= o, ce qui donne

27rCOS/ t 27rC()bl / IITTCOS/* t

d'où

cos 97r ^ — «^ j^ cos UTT rp = « y COS ÙTT q,^

COS I / \ tt COS /*

-ri'- n-

et, en remplaçant y par

smr ( 1 — v) sin r cos i = u sin i cos r.

C'est l'équation que, dans la théorie de Fresnel, on déduit du principe des forces vives.

Ces formules ont reçu la sanction de l'expérience et confirment les

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idées théoriques de Cauchy sur la continuité du mouvement vibratoire. D'ailleurs, cette théorie est empreinte d'une rigueur à laquelle, on ne peut guère échapper, et, comme les formules auxquelles elle conduit supposent les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation, on a ainsi une nouvelle preuve en faveur de cette hypothèse, (j'est là un point sur lequel Cauchy a beaucoup insisté.

Le deuxième cas, celui où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, présente de grandes difficultés, dont on a bien indiqué la solution, mais d'une manière peu rigoureuse. Il faut dans ce cas décomposer les vibrations suivant deux axes, ce qui donne quatre équations incompatibles. Si l'on admet le principe dans toute sa rigueur, il ne reste qu'à conclure qu'on n'a pas tenu compte de quelque particularité. On regarde les vibrations conmie perpendiculaires au rayon incident, au rayon réfléchi et au rayon réfracté, si près de la surface que soient les points de ces rayons (|ue l'on considère. 11 y aurait donc à la surface un changement bnisque dans la direction des vibrations, ce qui est contraire à ce qui se passe ordinairement dans les phénomènes physiques. Aussi Cauchy, au lieu d'un changement brusque, admit un changement graduel, mais rapide, de sorte que le changement devient complet à une très-petite distance de la surface de séparation. Il exprima cette condition par l'introduction dans les calculs de deux nouvelles constantes indéterminé(*s dont la valeur est fournie par deux des équations. Du reste, cette théorie n'a pas été développée par Cauchy, ri nous n'y insisterons pas davantage.