Ii»me pcrpeiidieuliiire m Tame de plus petite él
tielté. — Supposons la lame perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, c'est-à-dire à l'axe des z, et soient alors 6 l'angle du plan
(l'incident
d'oii cos/ =
POLAIUSATION CHROMATIQUE.
, plan (jui contienl Iitujours \a normale à l'onde réfractée, avec le plan des jz, c'est-à-dire avec le |)lan qui contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, et R l'angle que forme la normale à l'onde réfractée avec l'axe des ;. La figure 1 3 , oîi OQ représente la trace du pian d'incidence sur le plan des xy, montre Pi ,j que Ton a
is ROj:= -sinRcosS, cosm=cosROy = sinRsinÔ, cosn = cosR,
s6 sinfl ^ cotll
X/i-t-cofMl L'équation
peut ^tre mise sous la forme
En remplaçant dans l'équation [It) u, l, vient
, n par ces valeurs, il
sin'l.i+col'lti"
oi'ii)L
•[&'+(^')cos'fl+(aVt')sin'l9+!«'+&',col'R1 i + cot'H J
in'l(i+cot^
ô + rtV'sin'ô+a'6'col'R
+ i + cofR ^"'
d'oij, en ordonnant par rapport à cotR, aH^sin'lcot»R+sinMcol^R[sinM(anï-|-èV2cos'S
-|-sin*I(6'c''cosSfi-t-flVsin2fl)
-sinM[(/.ï-fri)rosSe + (fl^ + c^jsin*Ô]+ . -
)~{^-+lf
LUMIÈRE PARALLÈLi:. 1-23
En remarquant que l'on a a2é« + ly'c^cos^e + nV sin^Ô = a" b^ (sin^tf + cos^Ô)
on a définitivement
[«»6»cot*Rsin*I
j +col2RsinîI IsinM [a»(A2+cî)sin2^6''(a2+c2)cos2fl]--(«2+6»)[ (•'*' i +sinM(62c2cos2d+«2cîsinîô)
- sinM [(62+c2)cos*Ô + («^ + c'^) sin^Ôj^- 1 = o.
Celte équation, résolue par rapport à cot*Rsin*I, a deux racines qui , nous allons le démontrer, sont réelles et positives.
La quantité placée sous le radical dans l'expression des racines de l'équation (5) est en effet égale à
j sin2 1 [«î (62 + c^) sin^ O + h^ («« + c») cos« 6] - (a^ + i») j "
- lia^ b^\i- sin2 1 [(*2 + c») cos* 6 + (n^ + c^) sin''' 6]
+ sin* I (A* c* cos» e + «2 c* sin2 6) \ ,
ou, en ordonnant par rapport à sini, à
sin» I S I «2 {b^ + c') sin"» + b^ («'' + c^) cos-^fi]*
- 4«H*(AV cos*e + «2 c^sin^Ô) \
- asin* 1 1 («2 + 6') [i* («^ + c^) cos^ » + «^ (fr^ .f c^) sin^Ô]
- aa^i'» [(*« + c») cos^e + (a^ + c') sin^O] \
Le coefTicicnt de sin* I dans cette expression est égal à
i«(«2 cî)îcos4<?+rt»(JÎ-f2)2sin»d+9flH*(«2-c2)(62-f2)sin2ÔCOS«e,
c'est-à-dire à
[fiî («2- é) cos^ô -I- a" (/>« - c^) sin*^]'' ;
le cocflîoient de sin^I peut être mis sous la forme
(«* - IP) [i2(rt2 ^2) poj,2« - . «2 (A* c») sin^fl] ,
ou sous celle-ci :
enfin le terme tout connu est égal à
La quantité placée sous le radical peut donc être mise sous la forme
|fl2 __ 6» sinM [6»(a2 - c^) cos^O+a^ {b^ - c") sin»fl]}«
+ tia^{a^ - b^) {b^ - c^) sin^ô sinH ,
expression essentiellement positive : ce qui prouve que les deux racines de l'équation (5) sont toujours réelles.
Le terme tout connu du premier membre de l'équation (5) est positif, car on a
1 - sin^I [(62 + c^) cos^ô + {à^ + c^) sin^O] + sinM (6 V cos*^ ô + « V sin2 ô) ^{i-c'sinn)[i-sinn{b^cos^e + aHm^e)] =-(i - c^sinM) 1 1 - sinM [a^~ {a^- b^) cos^Ôjj ,
«t la quantité à^ — («* — b^) cos^O est plus petite que a^, et par conséquent plus petite que l'unité. Il résulte de là que les deux racines de l'équation (5) sont de même signe.
Enfin le coefficient de cot^Rsin^I est négatif, car il peut être mis sous la forme
{ «2 ^ J2 __ sin2 1 [a^b^ + c^) sin^ ô + b^ (a" + c^) cos' 6] \ ;
or on a
b^ («2 4. ç2) cOS^ 6 <C a' (fl2 + i2 j cos^ $ ,
et par suite
a^ + b^-.smH[à'{b^+ c2) sin2fl + 62(a2 +c^)cos^e]
{a^ + b^){i-aHinn):>o.
Les racines de l'équation (5) sont donc toutes deux positives. En
extrayant la racine carrée de chacune des racines et en prenant le radical avec le signe +9 on aura pour cotKsinI deux valeurs qui, mises h la place de cotR'sinI et de cotR'^sinl dans l'équation (1 ), serviront à calculer la différence de marche 0 — E en fonction des angles I et 0.
La différence de marche est nulle lorsque les deux racines de l'équation (5) sont égales, c'est-à-dire lorsque la quantité placée sous le radical est elle-même égale à zéro. Or, pour qu'il en soit ainsi , il faut que Ton ait
|. 4a2 (^2 fri) (i2 ^2) sinî Q sin^ I - o .
Cette condition ne peut être remplie qu'autant que Ton a
sinfl -=o;
le premier membre de l'équation précédente se réduit alors à il est par suite nécessaire que l'on ait en même temps
d'où l'on déduit
• 21 «'-fe' sm-* i = TTT-i — r,
sm''n = ~. — I a'—c
Il existe donc deux directions situées dans le plan perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité et telles que, lorsqu'une onde réfractée est perpendiculaire à l'une de ces directions, la seconde onde réfractée se confond avec la première. Ces directions ne sont autres que celles que nous avons appris à connaître dans la théorie de la douhie réfraction sous le nom d'axes de réfraction conique intérieure, et nous retrouvons ici, par une autre voie, ce théorème déjà démontré précédemment (155), que, lorsqu'il y a réfraction conique, le? rayons qui constituent à l'intérieur du cristal le faisceau conique, rayons qui correspondent à une même onde réfractée, ne présentent
à l'émergence aucune différence de marche, pourvu que la face d'émergence soit parallèle à la face d'incidence.
L'angle R a toujours une valeur réelle, mais il n'en est pas de
même de l'angle I : lorsque la quantité ,», »__ ,> est supérieure h
l'unité, il faut en conclure qu'il n'existe aucune valeur de l'angle d'incidence pour laquelle l'onde réfractée peut devenir perpendiculaire à l'un des axes de réfraction conique intérieure.
Nous allons maintenant examiner quelques cas particuliers dans lesquels l'expression de la différence de marche se simplifie notablement. Supposons d'abord que l'angle 6 soit nul, c'est-à-dire que le plan d'incidence se confonde avec le plan des xz, plan que nous regarderons comme la section principale du cristal. On a alors, en désignant par R' et R" les deux racines de l'équation (5),
cotR'sinI = \/!Jl^ll^',
itR"sinI=V^Jjl£!£iîl!i.
