Siiperp««ltion ém deux toaiMi i|«ele«iii|tte

M. Langberg a traité par le calcul le cas où l'on superpose deux lames identiques inclinées sur l'axe d'une façon quelconque , et dont les sections principales forment entre elles un angle quelconque ^^^ Il n'y a là aucune difficulté théorique; c'est un genre de vérifications tout à fait analogues à celles que Schwerd a exécutées pour les phénomènes de diffraction, et l'expérience a toujours confirmé les prévisions de la théorie. Il est à remarquer que, dans la plupart des cas, le champ visuel se trouve divisé en petits compartiments par deux systèmes de courbes isochromatiques qui se croisaot.

G. — PaiNoiikiiBs des cbistaux ï moi axm.

227. VmrtÊÊmimm géwàérmMmm. — Les formules qoi jrepvëseiitof t

les intensités des deux images dans le cas des cristaux à np axs sMt applicables aux cristaux à deux axes, a conditÎAQ que Top d4wgBe par t l'angle que fait avec le plan primitif de polarisation le pl^ 4^ polarisation du rayon qui se rapproche le plus de suivre les lois 4^ la réfraction ordinaire. C'est à ce rayon , que Ton appoUo mt 0tt<M|* non rayon ordinaire, que correspond l'image dont l'ijltaiisitë ^ itprésentée dans les formules par ù^. On voit que dans les cristaux à Jeux axes la section principale n'est autre chose que le plan de po-»

^i Pogg, Arw,, vol. complAnent.y f.

164 POLARISATIO^ CHflOMATIQUfi.

larisation da rayon ordinaire, et que par conséquent les i principales correspondant aux difTérents rayons ne passent plus toutes par une même droite, comme cela a lieu pour les cristaux à un axe. Les lignes incolores sont encore données par les deux conditions

sinat^o, sina{i — *) — o;

elles sont donc déterminées par les rayons dont le plan de poiaiisatioa est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Nous nous occuperons uniquement du cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité; les résultats que nous obtiendrons pourront s'appliquer aisément, au moyen d'une simple permutation , au cas oij la lame est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité. Nous aurons fréquemment occasion, dans ce qui va suivre, de nous appuyer sur un théorème démontré daw la ditHie de la double réfraction (157), et qui consiste en ce que, si l'on mène deux plans passant par la normale à une onde plane et par les deux axes optiques, les plans bissecteurs des dièdres ainsi formés sont les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire qui correspondent à cette onde.

■ lne«l*rMi dMUi le mm «A les ftxes optlquee braient lu »■«■• *rè«-pe«lt avee la BsnHnle ik Im Imom.

— La normale à la liinic <.-oinndanl avec l'axe de plus petite t^last îcilé est toujours la bissectrice de l'aiiyle que forment entre eux les axes optiqaef. Si^ posons que l'axe de plus petite élasticité se confonde avec la l^e moyenne et que les axes optiques forment entre eux un angle très-petit : chacun de ces axes fera alors un angle très-petit avec la normale à la lame. Pour déterminer la forme des lignes incolores, menons par ' """' un point quelconque 0 (fig. aZ) deui

droites OA et OB panillt^les aux directions des axes optiques et une

LUMIÈBE CONVERGENTE OU DiVKRGENTE.

droite OC parallèle à la ligne moyenne. Par le point C menons un plan perpendiculaire h, OC et considérons une droite DM qui rencontre ce plan en M; les plans de polarisation des rayons qui correspondent à une onde plane perpendiculaire à CM sont parallèles aux plans bissecteurs des angles dièdres AMOB et AMOM'. Si l'on suppose, comme nous l'avons toujours fait jusqu'à présent, que l'angle d'incidence I ait une valeur très-peu considérable, l'ange MOC sera très-petit ; il en est de même d'aillenrs de l'angle AOB : les traces des plans bissecteurs dont nous venons de parier sur le plan perpendiculaire à OC se confondent par suite sensiblement avec les bissectrices des angles plans AMB et AMM'.

Pour déterminer la direction des ondes qui donnent lieu aux lignes incolores, il faut donc cbercher le lieu des points M tels que la bissectrice de i'angle AMB soit parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan AMB du plan primitif ou de la section principale de l'analyseur.

Prenons le plan AMB pour pian défigure, le point C pour origine et la trace du plan primitif sur le plan AMB pour axe des x (fig. 9&}. Soient D et E les points où les droites MA et MB rencontrent l'axe des x : si la bissectrice de Tangle AMB ou de son supplément est parallèle k l'axe des X, on voit immédiatement que les angles MD« et HEx sont supplémentaires. D'ailleurs, en désignant par « et y les coordonnées du point M, par a et (3 celles du point A, on a

tang.\lDa: = '-3^

t8ngMDa!-=— langMEx,

Ifi6 POLARISATION CHROMATIQUE,

il vient

(Toù

éqaation d*une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des coordonnées et passant par les points A et B.

On verrait de même que les points M , pour lesquels la bissectrice de l'angle AMB est parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan de la figure de la section principale de l'analyseur, se trouvent sur une hyperbole passant par les points A et B et ayant pour asymptotes cette trace et une droite perpendiculaire.

On voit en résumé que si , par un point quelconque 0» on mène deux parallèles aux axes optiques OA^et.OB et une parallèle OC à la ligne moyenne; si, de plus, on mène par ce point de» ûôtmtAeê k toutes les ondes qui donnent des rayons incolore, les point» oà ces normales rencontrent un plan perpendiculaire k OC SQiit aitii^s atr deux hyperboles passant par les points oà les axes oftàqum r«flÉoitrent ce plan et ayant pour m jmjrtotea , Tune la trace ntf eé filiii Ai plan primitif et une perpeil4iical«ire k eette trsee, fctftM li iHUe de la section principale de Pandysenr et fitie pél|Nmlfetdikv à cette trace.

Pour déterminer les lignea incolores rëellea, meeeM^ pif le t9ÊÈte optique 0' de la lentille qui fait converger en an ffléine point Its rayons qui traversent paralltiement la laâie , une droite Cl€' ptHrilèle à la ligne moyenne , et soit G' le point où cette droite rencoilte le plan du tableau. Par le même point (ï menons deux droites QA' et OB' parallèles aux directions apparentes des axes optiques, c*est-âdire parallèles aux directions que doit avoir un rayon dans l'air pour se réfracter dans le cristal suivant les directions des axes optiques, et soient A' et B' les points oii ces deux droites rencontrent le plan du tableau. Les rayons qui concourent à la prodoction du phénomène faisant tous des angles très-petits avec la normale, l'indice de réfraction de ces rayons peut être regardé comme sensiblement constant; il existe donc aussi un rapport à peu près constant entre les angles que forment avec la normale à la lame les nor-

maies aux ondes réfractées dans le cristal qui donnent les rayons incolores et les angles que forment avec cette niéme normale les normales aux ondes émergentes Correspondantes, normales qui ne sont autres que les rayons incolores eux-mêmes. Les figures incolores réelles sont donc semblables aux figures auxiliaires que novtÈ avons construites à Taide des normales aux ondes réfractées.

Ainsi les lignes incolores consistent en quatre branches d'hyper* bole qui se croisent deux à deux aux points A' et B' extrémités appa* rentes des axes optiques : deux de ces branches ont pour asymptotes deux droites menées par le point C parallèlement et perpendiculairement au plan primitif; les deux autres ont pour asymptotes deux droites menées par le même point G' parallèlement et perpendiculairement à la section principale de l'analyseur. Si le plan primitif est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques, deux de ces branches d'hyperbole se réduisent à une croix formée par deux droites, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan primitif; si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan des deux axes, il en est de même, mais les branches de la croix sont alors l'une parallèle, l'autre perpendiculaire h la section principale de l'analyseur. Si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif sans qu'aucun de ces deux plans soit parallèle ou perpendiculaire au plan des axes, les quatre branches d'hyperbole se réduisent à deux. Enfin si, en même temps que la section principale de l'analyseur fit parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, elle est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques , le système des lignes incolores se réduit à une croix unique, blanche dansl'uHe des images et noire dans l'autre.

Remarquons enfin que les lignes incolores jouissent dans les cristaux à deux axes des mêmes propriétés que dans les crislaïut à un aie. Si une ligne incolore résultn de ÎMûnÎÊtiùn d'un tent ék facteurs sinai ou sinâ(t — «), tottte eotirbe isocbromatiqUe^ M iÉ%* ▼eraant cette ligne incolore , pasae dTafie teinte à la teinte cotiiplémentaire dans la lumière blanche, et du minimum au maximum dans la lumière simple. Si au contraire les lignes incolores résultent de rannulation simultanée des facteurs sinai et 8in9(i — «), c'est-à-

dir« si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, les lignes isochromatiques conservent dans toute leur étendue la même teinte si Ton opère avec la lumière blanche, et dans la lumière simple chacune d'elles correspond exclu**sivement à un maximum ou à un minimum.

229. Uffiies Incolores dans le mmm o«i leo axeo 0| forment avee la normale à la lame des ansleo wmUÊÊmm éé so deffréo. — Supposons que chacun des axes optiques {otme avec la normale à la lame, c'est-à-dire avec Taxe de plus petite élaistîcilë, un angle voisin de 90 degrés, de sorte que Taxe de plus petite éksT ticité ne coïncide plus avec la ligne moyenne. Dans ce cas, il it'y.a plus de lignes incolores nettement déGnies pour les rayons dont les directions diffèrent peu de celle de la normale; en effet, l'ange AOB étant voisin de 180 degrés et l'angle MOG étant très-petit, les plans bissecteurs des dièdres AMOB et AMOM', c'est-à-dire les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, se rapprochent beaucoup d'être l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes, et ont par conséquent des directions sensiblement constantes pour tous les rayons qui forment de petits angles avec la normale. Si donc l'un de ces rayons était polarisé parallèlement où perpendiculairement au pian primitif ou à la section principale de l'anaivseur, il en serait de même de tous les autres, et toute trace de coloration disparaîtrait dans les images, du moins dans le voisinage de la normale : c'est ce qui a lieu lorsque le plan des axes optiques est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Les lignes incolores reparaissent, dans le cas qui nous occupe, au voisinage des axes optiques. Soit en effet (fig. â5) OM une droite

normale à une onde réfractée

et faisant avec l'axe optique OB

un angle très-petit. Les plans

de polarisaition des deux rayons

Fig. «5. qui correspondent à cette onde

sont les plans bissecteurs du dièdre AMOB et de son supplément.

L'îïngle MAB étant très-petit . par rapport à l'angle MBA, ces plans

330. courbes isoeliromatlques dans le mmm o«i Um âmes •pfiiiues forment airee la normale m la lame deo angles tréo-petlto. — Nous allons maintenant nous occuper de déterminer la forme des courbes isocbromati(|ue6 en supposant toujours la lame perpendiculaire à Taxe de plus peftllr éhM^M : û^m coAtiiiilifêfas d'abord le cas où les axes optiques fèmfelit Att^ It mitautlbi h la lame des angles très-petits; Taxe èè fïm petite ^Wteît^ ilÉwille alors avec la ligne moyenne. SoiMt A f AUffe (|M JbfMI fitH ies axes optiques avec la normale à k tffttMf et i fiëttriê êpjfÊÈêÊA de cet axe avec la normale , c est-à-dlNr PÉng^ d1liéilliit# ék H^n qui se réfracte suivant Taxe optique : où âârâ

sinA = 6sinB,

Si, comme nous l'avons supposé, l'angle A^ est petit, la valeur de à^ — h^ est petite par rapport h celle de a^ — e^, et la lame se comporte comme un cristal attractif La différence de marche 0 — E est le produit de l'épaisseur e du cristal par la différence des deux valeurs de cotR sinl. Or, d'après les formules établies pour le cas de l'incidence oblique (204), on a

♦2R . ^j a'-^b'-sin*l[b*(a''\-c')c(M'e-^a*(h*'hc*)s\n*e]d^H coi 11 sm 1 ^~' • f « ~ — — ,

en posant H2= {a2 i2 sinîj [i2 (^2 __ c2)cos2fl + a2(i« - c') sin^e] }«

Si l'on suppose que sin 1 soit très-petit et du même ordre que sin A, c'est-à-dire si l'on ne considère que les rayons voisins de la normale, on voit que H^ est de l'ordre de sin^I; le radical H et le terme en sin^ I sont donc très-petits par rapport h a^ + i*, et l'on peut extraire par approximation la racine carrée de l'expression qui représente cot^ R sin^ I, ce qui donne

cotRsmI==-— s/«2^i2~- ±-— ^,3^^

en posant

En prenant la différence des deux valeurs de cotRsinI, on a

H cot R' sin I — cot R" sin 1= -; — r^ .^:

Tëquation des courbes isochromatiques est donc

ou

D'ailleurs, la valeur de H^ peut s'écrire

H2 = {fl2 - 62 + sinM [62 (a» -c^) - c^{a' - i2)sin2d]|2 - 462 (a^^b^) (fl^^-c2)cos2dsin2l,

et, en remplaçant a^ — b^ par («2 c2) sin2A,

H2 == (fl2 ^2)2 }[sin2A + sin21 (6^ -c2 sin2 A sin2fl)]2

-4*2cos2esin2lsin2Aj.

En négligeant les termes d'un ordre supérieur à celui de sin^ I ,

on a

H2 = (a2-c2)2(sJn4A + i4sin4i^3é2gin2Aj.in2i

— 462cos2ôsin2lsin2A),

ou, en multipliant le terme ai^ sin2A sin2l par cos2ô+ sin^Ô, H2 == (fl2 __ c2)2 [sin*A + 6* sin* I + 96^ (sJn2 e cos2 6) sin^ A sin^ I].

L'angle 6 est celui que forme le plan d'incidence avec le plan des axes optiques : en prenant pour axe des x la trace du plan des axes sur le plan du tableau, et en désignant par D la dislance du plan du tableau au centre optique de la lentille qui fait converger en un même point les rayons qui traversent parallèlement la lame cristal-

lisée, on a

sin I cosd=gt sin I sinfl^p*

sinI==V^S.

Si Ton représente par a la distance du point où l'axe optique de cette lentille rencontre le plan du tableau à la trace apparente de l'un des axes optiques sur ce plan, on a

ou, comme l'angle B est toujours petit,

sinB = g;

il vient donc

sin A =^ 6 sin B = Ty

En substituant les valeurs de sini, de sinl cos0, de sini sin 0 et de sin A dans l'expression trouvée plus haut pour H^, elle devient

Téquatioji de3 courbes isochromatiques peut donc, être mise sous la forme

ou sous celle-ci :

ae»

Les courbes isochromatiques sont par suite des kmniscates ayant pour foyers les traces apparentes des axes optiques et pour axes de symétrie la trace du plan des axes optiques sur le plan du tableau et utte perpendiculaire à cette trace. La figure 97 montre la forme qu'affectent les courbes isochromatiques dans le cas que nous venons

LUMIÈRE CONVERGENTE OU DIVERGENTE. 173 d'examini^r; ces courbes sont traversées par des courbes incolores qui sont en généra], comme nous l'avons vu plus haut, de forme hyperbolique. Dans la figure on a supposé la section principale de l'analyseur parallèle ou perpendiculaire au plan primitif; le système des lignes incolores se réduit alors à deux branches d'hyperbole passant par les traces apparentes des axes optiques , et chaque lemnitcate conserve une teinte sensiblement nniforme.

W. Herschel a reconnu le premier que les cristaux à deux axes peuvent donner des anneaux en forme de lemniscates'"; mais la théorie complète de ces phénomènes est due h M. de Senarmont.