EXPLICATION THÉORIQUE DE LA POLARISATION ROTATOIRE

253. Principes de la théorie de Fresnel. — Peu de temps après la découverte des phénomènes de la polarisation rotatoîre, Fresnel en trouva l'interprétation théorique dans Thypothèse des ondulations ^^^ L'explication donnée par Fresnel repose sur ce fait, qu'un rayon polarisé circulairement traverse sans altération une plaque de quartz dans la direction de l'axe. Un rayon polarisé circulairement peut en effet toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons polarisés rectilignement à angle droit, et présentant une différence de marche égale à un quart de longueur d'ondulation : la lame de quartz fait tourner d'une même quantité le plan de polarisation de chacun de ces deux rayons; ils sont, par suite, encore polarisés à angle droit au sortir de la lame; leur différence de marche n'est pas altérée, puisqu'ils traverseotb lame dans la direction de Taxe; ils constituent donc encore, parlenr superposition après avoir traversé la lame, un rayon polarisé lairement ou, comme nous dirons pour abréger, un rayam On voit d'après cela que les rayons circulaires se comportent les rayons les plus simples par rapport à une lame de quarti diculaire à l'axe. Or, il existe deux espèces de rayons circulaires, ki uns polarisés de gauche à droite, que nous appellerons raymiê dre^h laires droits^ et les autres polarisés circulairement de droite à gauche, que nous appellerons rayons circulaires gauches.

Pour rendre compte des principales particularités que présentent les phénomènes de la polarisation rotatoire, il suffit, ainsi que l'a montré Fresnel , d'admettre que ces deux espèces de rayons circulaires traversent la lame de quartz avec des vitesses différentes dans le sens de l'axe, et que la vitesse du rayon circulaire droit est plus grande que celle du rayon circulaire gauche dans une lame dextrogyre, tandis que c'est l'inverse dans une lame lévogyre.

\nn, de chim. et de pkya. > ( *J ) ^ XX V111 ,167.

EXPLICATION THÉOBIQUE. 229

25Â. ExpllMktl*n ctemétrique de l« r«<«tl«B eu pl«» de |»»l«rlaittloii. — En admettant l'hypothèse que nous venons d'énoncer, on peut expliquer soit giJométriquement, soit analytiquement, la rotation du plan de polarisation. L'explication géométrique est fondée sur ce Tait qu'un rayon polarisé reclilignement peut toujours être regardé comme résultant de la superposition de deux rayons circulaires de sens contraires ayant même période. Supposons en effet que deux molécules M et M' (fîg. Sa) se meuvent sur la même circonférence, en sens contraire, avec la même vitesse, et que ces deux molécules se trouvent simultanément sur l'axe des y; les positions M et M' occupées par les deux molécules au même instant seront toujours symétriques jiar rapport à i'axe des y. Si l'on décompose chacun de ces doux mouvements parallèlement aux deux axes, les composantes parallèles A l'axe des x se détruisent et les composantes parallèles à l'axe des y s'ajoutent. On voit donc que deux rayon.<i polarisés circulairement en sens contraire , de même période

et de même amplitude, équivalent ù un rayon polarisé rectiHgnement ayant même période que les deux rayons circulaires et une amplitude double, et que la direction des vibrations sur ce rayon rêctiligne n'est autre que la droite par rapport h laquelle les positions des molécules vibrantes au même instant sont symétriques sur les rayons circulaires. Supposons maintenant que ces deux rayons circulaires r|ui peuvent remplacer un rayon polarisé reclilignement traversent linp lame de quarti dextropyre dans le sens de son axe: d'après

230 POLARISATION ROTATOIUE.

l'hypothèse admise, le rayon circulaire gauche, se transmettant avec une vitesse moins grande, sera en retard sur le rayon circulaire droit. La molécule M\ qui tourne de droite à gauche, sera donc dans une phase moins avancée de son mouvement que la molécule M qui tourne de gauche à droite. Quand la molécule M sera sur l'axe des y (fig. 33), la molécule M' se trouvera en M à droite de l'axe des y : la superposition des deux rayons circulaires donnera encore un rayon polarisé rectilignement; mais les vibrations sur ce rayon seront dirigées suivant la bissectrice ON de l'angle MOM', d'où il résulte que le plan de polarisation aura tourné vers la droite d'un angle égal à la moitié de l'angle MOM'. Cet angle est évidemment proportionnel au retard du rayon gauche par rapport au rayon droit, et par suite à l'épaisseur de la lame. On verrait de môme que, si le rayon circulaire gauche se propage plus vite que le rayon circulaire droit, le plan de polarisation doit tourner vers la gauche d'un angle proportionnel h l'épaisseur de la lame.

255. EiLplIcatloii analjtlque de la rotatlas ihi plaM de polarlMitioii. — Supposons que le rayon polarisé rectilignement qui pénètre dans la lame de quartz ait son plan de polarisation perpendiculaire h l'axe des x; le mouvement vibratoire sur ce rayon sera parallèle à l'axe des x et pourra être représenté par

ce mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition de deux déplacements égaux Ç et £', si Ton pose

ç = -sm 97r;p»

i =-Sin QTTFp'

Sans rien changer au mouvement, on peut ajouter deux déplac ments tj et v, égaux et de sens contraires, s'effectuant parallèleme à Taxe des y, ces déplacements ayant mâme amplitude que les d placements $et Ç' et présentant avec Cet ^' une différence de march

EXPLICATION THÉORIOUE. 231

^gale n un quart de longueur d'ondulation; on aura alors

V =- cosa^r^»

>; =-■ COH 27rMp'

Si l'on groupe deux à deux ces quatre déplacements, le déplacement ^ combiné avec le déplacement rj donnera un rayon circulaire droit, et le déplacement Ç' combiné avec le déplacement i;'un rayon circulaire gauche. Supposons maintenant que <^et 7 soient les épaisseurs des lames d'air que traverse un rayon lumineux pendant des temps égaux à ceux que le rayon circulaire droit et le rayon circulaire gauche emploient respectivement pour se transmettre à travers la lame de quartz, parallèlement à l'axe : au sortir de la lame les quatre composantes pourront être représentées, en choisissant convenablement l'origine du temps et en appelant X la longueur d'ondulation dans le vide, par les expressions suivantes :

i: a . ft S\ a f 1 S\

ç = -sm 97r ( »-, — T 1 » >; =-cos aTT I r-p — T 1»

ê' = -sin 27r Lj ~t)' ''' = cosQTT (t^ — ?) *

Le déplacement réel de la molécule vibrante sur le rayon émergent est la résultante de ces quatre déplacements; en appelant x et y' les coordonnées de cette molécule, on a

y' =.rj-\-fj =^nS\n 'ATT { rp >~ 1 SIU TT —y— ^

d'où l'on tire

^. = tang7r-y^.

On voit que le rayon émergent est polarisé rectilîgnement et que le plan de polarisation a tourné d'un angle égal à tt — >-^ vers la gauche ou vers la droite, suivant que <^ est |)lus grand ou plus petit

que y, c'est-à-dire suivant que le rayon circulaire droit est en retard ou en avance sur le rayon circulaire gauche. L'angle dont tourne le plan de polarisation est proportionnel à S — y^ et par suite à l'épaisseur de la lame.

Quant à la relation qui existe entre la rotation du plan de polarisation et la longueur d'ondulation, la théorie de Fresnel ne permet pas de la prévoir a priori. On peut remarquer seulement que, la rotation étant égale à

la loi établie expérimentalement par Biot exige que les quantités 5 et y varient en raison inverse de X, et par suite que les vitesses de propagation des deux rayons circulaires qui se propagent dans la ame de quartz parallèlement à l'axe soient proportionnelles h X.

256. Double réfnietioii eirculaire du quarts Miâwant •on aiLe. — Fresnel a confirmé par l'expérience le principe sur lequel s'appuie l'interprétation théorique qu'il donne de la polarisation rotatoire, et a démontré que la décomposition d'un rayon |)olarisé rectilignement en deux rayons circulaires de sens inrane n'est pas une simple hypothèse, en séparant, en matérialisant» pow ainsi dire, ces deux rayons. Pour réaliser cette séparation , Fraftttl s'appuie sur ce principe que, si dans un milieu deux rayons MpçÎH pagent suivant la même direction avec des vitesses inégales» eài rayons, en passant de ce milieu dans l'air, se réfractent suivant des directions différentes toutes les fois que la face de sortie est inclinée sur le rayon émergent. Si l'on taille un prisme de quartz ayant pour base un triangle rectangle, de façon que Tune des faces soit perpendiculaire à l'axe, et qu'on fasse tomber nonnalement sur cette face un rayon polarisé , ce rayon devra , en se réfractant h l'émergence sur la face hypoténuse , se décomposer en deux rayons circulaires suivant des directions différentes. Mais Fresnel, en calculant la différence des indices des deux rayons circulaires, reconnut que, pour rendre la séparation des deux rayons sensible, il faut donner à l'angle du prisme une valeur telle, qu'il y aurait réflexion totale sur la face hypoténuse. Pour faire disparaître cette difficulté, il