C. — Pouvoir rotatoire des dissolutions actives

295. Coiuildératioiui ^éwkérmiem. — Laissant de côté les considérations théoriques que nous venons d'exposer, il y a intérêt

<» Journal de Crelle, LVII, 3 19.

(>) Postérieurement à Tépociue où ces leçons ont été professées, M. Briot, dans son Ei$ai iur la théorie mathématique de la lumière, a donné une théorie complète de la polarisation rotatoire. Il prend pour point de départ les in^Utés que, dans les milieux dissfmétriques, Téther éprouve dans sa distribution, et suppose que dans ces milieux les fiJtf de molécules d^éther sont tordues en hélices elliptiques. Ces inégalités introduisent dao* les équations différentielles des mouvements vibratoires des dérivées d^ordre impair dont la présence indique le pouvoir rotatoire. Nous renvoyons le lecteur à Touvrage de M. Briot* retendue de sa théorie ne nous permettant pas de la reproduire ici..

îsager la question à un autre point de vue et à chercher ce ( aurait à faire pour passer de l'étude des cristaux doués du ir rotatoire à celle des dissolutions actives. On peut regarder le établi par la théorie et par l'expérience que, dans les cristaux

ou à deux axes doués du pouvoir rotatoire, la polarisation gne se change en polarisation elliptique; de plus, à cause de itesse des termes à ajouter aux équations différentielles, les 38 de l'onde ordinaire et de Tonde extraordinaire seront tou* à peu près semblables. Pour se rendre compte des propriétés issolutions actives, il faudra résoudre le problème suivant : est l'effet produit sur un rayon polarisé rectilignement par un re immense de molécules douées de la propriété de transr ce rayon en deux rayons elliptiques de sens contraire, et dinées de toutes les manières possibles dans un milieu inactif? nécessaire de poser ainsi la question, à cause des nombreuses lences qui prouvent que la structure moléculaire se conserve les dissolutions, et que par conséquent la dissolution d'un cristal du pouvoir rotatoire dans un liquide inactif doit être considérée te un mélange de molécules actives et de molécules inactives, us allons d'abord chercher à rendre compte de cette première [ui consiste en ce que la rotation du plan de polarisation lite par une dissolution est proportionnelle à l'épaisseur de onne liquide traversée. Pour cela nous remarquerons que. e dans lequel se succèdent les molécules étant indifférent, mt grouper ensemble toutes celles dans lesquelles le rayon leux fait les mêmes angles avec les axes de cristallisation; la n principale des molécules ainsi définies est encore indéters, et elle pourra prendre toutes les directions compatibles avec mière condition. Nous allons nous proposer de démontrer que

d'un pareil système sera de faire tourner le plan de polari- , d'un angle déterminé, et, pour y arriver, nous allons d'abord ner l'effet d'une lame unique douée du pouvoir rotatoire.

6. Action d'une lame minée unique, douée du pourotatoire, sur la lumière polarisée reetili^nement*

apposons qu'un rayon polarisé rectilignement tombe sur une

iiDBT, VI. — Optique, H. a 9

lame crislalline mince, dou^c du pouvoir rotatoire, et que cette lame soit oblique à l'axe s'il s'agit d'un cristal à un axe, et dirigée d'une façon quelconque s'il s'agit d'un cristal à deux axes. Prenons pour plan de figure un plan (fig. A8)parallèle à la surface de Tonde incidente supposée plane. Soient PP' la trace du plan primitif de polarisation sur ce plan de figure et II' celle de ta seclion principale de la lame.

Le mouvement vibratoire de la lumière incidente peut sedëcomposeren deux mouvements parallèles à ll'.que nous prendrons pour aie des Ç, et à la droite OM perpendiculaire ù II', qui sera l'axe des n. On obtient ainsi deuK rayons polarisés dans des plans perpendiculaires, que l'on peut, comme nous l'avons vu (260). remplacer par deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire. En désignant par i l'angle de la section principaU- de la lame avec If plan primitif de polarisation, par k une quantité comprise entre zéro et l'unité et variable' avec la direction dii rayon par rapport atu axes du cristal, en posant enlin

nous avons trouvé que les mouvements vibratoires sur les deui rayons polarisés elliptiquement sont exprimés (260), pour le rayon polarisé elliptiquement de gaucbe à droite, par les équations

>f = -— T;(cosisinip — isint'cos^),

5= vT3(cosicos(p+Asinisinp),

et pour le rayon pobirisé elliptiquemenl de droite k gaucbe, p

es équations

»?' = -— p(A;^cos tsiii^+ A' sintcos^),

^' = r; ( A' cos t cos (p — sin t sin (ff).

Les deux rayons elliptiques, en traversant la lame, y acquièrent ine certaine différence de phase, et, pour obtenir les expressions des nouvements vibratoires au sortir de la lame, il faut, pour le rayon >olarisé de gauche à droite, remplacer ^ par ^ — ^, et, pour le rayon )olarisé de droite à gauche, remplacer (p par ^ — y, ^ et y étant léfinis comme il a été dit plus haut (261). Il vient ainsi

ri = -n [cos î sin (^ — S) — k sin i cos (^ — S)\ .

Ç--= ^ [cos i COS {(p — S) + k sni i sin (^ — ^)J ,

ri' = p [k^ cos t sin {(p — y) + k sin t cos (^ — y)] ,

Ç' = T^ [Â: COS t cos (^ — y) — sin isin (^ — y)].

Pour déterminer l'état du mouvement vibratoire à la sortie du cristal, prenons pour axe des x la trace du plan primitif de polarisation et pour axe des y une droite peipendiculaire; nous aurons

y=-{ri + ri')cosi — {^+^')sini, x=(>? + >y')sint+(Ç+Ç')cos/.

En remplaçant dans ces équations ^, ^\ ri, ri' par leurs valeurs, il vient

— sin t cos i[k cos {(p—'S) — k cos (^ — y)] +sintcosi[/:cos(^ — ^) — Acos(^ — y)] + sin2t'[ifc2sin((p~^) + sin((p-y)],

fou

(i+it3)y=«cos2i[8in((p-^) + i''sin((p-y)]

+ 6in^r[A2sin((p-^) + sin(<p-y)].

Si.

332 POLAIUSATIO.N ROTATOIRE.

De même on trouve

(i + lc^)x=sïnicos i[sin[^ — S)-{- 1^ sin{(p — y)\

— sin^ i [Â: cos {(p — S) — k cos (^ -— y)]

— cos^i[/:cos(Ç — ^) — /:cos(^ — y)]

— sin i cos t [ U^ sin (9 ~ ^) + sîn (^ — 7)] , d'où Ton lire

(1 + l^)x=kcos{(p — y) — kcos{(p — S)

+sintcosi[(i — A?)8in(^ — ^) — (1 — /r*)sin(^ — y)],

et enfin

(i+ifc^)a;=-Qitsin~^sin((p-^)

— (1 --/r^)sin9t sin— ^cos^^ ^j .

Reprenons maintenant la valeur de (i+A*^)y et écrivons-la de la manière suivante :

cos*/

('-t-*^)y='^l(i+A-'^)[sin(<P-^) + sin((p-y)J

+ (1 -Â:»)[sin(<p-^)-8in(Ç-y)]j -t-^'j(i+^)[sin(<P-r) + sin((p-^)]

+ (1 -A-2)[sin((p-y)-sin((p-^)]l-

En simplifiant cette expression et en lui adjoignant celle ^ [^i + tc^)x, on a définitivement pour les deux composantes du mou* vement vibratoire au sortir de la lame

(t + *^)y-(i+fc»)cos^sin(ç-^)

— (1 —A?) cos 91 sin -^cos [^ ~y

-—(1 — /:2)sin Qtsin — ^cosf^ ^J-

rayons forment un système facile à définir. En effet, chacune eurs de j? et de y est la somme de deux termes dont les deux ifs ont la même phase , ainsi que les deux seconds , et la phase ax premiers termes diffère de celle des deux seconds termes

L'ensemble du mouvement peut donc être considéré comme

«lui de deux rayons polarisés rectilignement et dont les phases

Qt de -- •

rayon représenté par les deux derniers termes a pour am-

)oiarisé dans l'azimut st.

Qous supposons que Ton ait ^>y, c'est-à-dire que le rayon \é elliptiquement de gauche à droite aille moins vite dans la ristalline que le rayon polarisé de droite à gauche, les deux santés du rayon que nous venons de considérer sont négatives ihase est représentée par

tensité est

/.tns .

sin^

deux premiers termes représentent aussi un rayon polarisé pnement, dont la phase est

;ensité

^. [(, +A-)«cos*^+ /.A^sin^^] .

ir trouver son azimut de polarisation, il suQit de remarquer rapport du terme en x avec le ternie en y représente la tande l'angle que forme ce plan de polarisation avec le plan if. En désignant cet angle par p, on a

En résumé, i'eflet produit sur un rayon polarisé par une lame douée du pouvoir rotatoire peut s'énoncer de la façon suivante : le rayon, à la sortie de cette lame, est remplacé par deux autres polarisés rectilignement, l'un polarisé dans l'azimut fit, ayant pour

phase ^ et pour intensité f — jzj sin^ — ^» l'autre

polarisé dans un plan qui fait avec le plan primitif de polarisations

un angle ayant pour tangente — -jz tang — ^» ayant pour phas^

<p et pour intensité

Si nous supposons que l'épaisseur de la lame soit très-petite, les angles p et — - seront aussi très-petits, et par suite sensibleine/?/ proportionnels à leurs tangentes. On pourra donc écrire

En outre, — - étant très -petit, on voit que l'intensité du rayon

polarisé dans l'azimut p sera sensiblement égale à l'unité et que celle du rayon polarisé dans l'azimut ai sera très-près d'être nuOe. Donc une lame mince ne produit, sur un rayon rectilignement polarisé, d'autre effet que de faire tourner le plan de polarisation, elk

pouvoir rotatoire de cette lame est représenté par -TTi, quantité dont la plus grande valeur correspond à /r= 1 .

297. Action d'un ^rand nombre de kmics eristolliB^ minées également épaisses et diversement orientées*^

Nous allons maintenant examiner le cas où un rayon polarisé rectilignement traverse un grand nombre de lames douées du pouvoir rotatoire, toutes de même épaisseur et ayant leurs axes de cristallisation également inclinés sur le rayon incident, mais dont les sections principales peuvent avoir des directions quelconques. Supposons qu'il y ait n de ces laipes de même épaisseur et reprësentoiv*

ar t\ fangie de la section principale de la première lame avec le lan primitif de polarisation , par 1*2 l'angle de la section principale e la seconde lame avec la section principale de la première, par t'3 angle de la section principale de la troisième lame avec la section rincipale de la seconde, et ainsi de suite jusqu'à i^, tous ces angles tant comptés vers la droite.

En traversant la première lame, le rayon se divise, comme nous enons de le voir (296), en deux rayons polarisés rectilignement, un polarisé dans l'azimut stet le second polarisé dans l'azimut p; i Ton désigne par h^ l'intensité du premier de ces rayons et par a^ intensité du second, on a

. i-lâ . S-y

b = — -jT sm — - 1 +«* 2

En traversant la seconde lame, chacun de ces deux rayons se comlortera comme le rayon unique incident, ce qui donnera quatre ayons. De même il y aura huit rayons au sortir de la troisième lame, t en général a'* rayons à la sortie de la f"^ lame, ce qui donne I* rayj^ns quand toutes les lames formant le système que nous onsidérons auront été traversées.

Parmi ces 9" rayons considérons celui qui, en traversant toutes es n lames, a toujours subi la modification qui correspond à la ettrea. Le plan de polarisation de ce rayon aura tourné de np^ son implitude sera devenue ^" et sa phase

Il y a ensuite des rayons qui ont subi la modification a dans

— 1 lames, et la modification ft, c'est-à-dire le passage à l'azimut

11, dans une lame seulement : leur amplitude sera a*"' ft, et, comme

a modification 6 a pu s'eflcctuer dans chacune des n lames, il y

lura n rayons de cette nature.

De même la modification 6 a pu se produire â fois et la modifiation a a pu se produire w — 9 fois : le nombre des rayons de cette

nature sera égal au nombre des combinaisons de n objets pris deux à deux, c'est-à-dire à •

En général, un rayon qui aura subi n — q fois la rotation du plan de polarisation égale à p, et ^ fois la rotation égale à si, aura pour amplitude «"""'6^ et le nombre des rayons de cette nature sera

En résumé, il y a donc