COS I
En reinplaraiil m' par ( elle valt'iir dans les expressions des intensités et des changements de phase on a. pour le cas on la lumière est polarisée dans le plan d'incidence,
, , cos- / cos /
///--i rtm cos y
[j cos' /■ cos /• ^
Il = — ; :
COS- / cos /
nr ;)./// cos y
COS- /• cos /• ^
r '>.ni sni y
à cos /• '^
tanji; ott? = —■
•> A cos^ /
cos- /■
et. poui' h' cas où la Iniuiérf esl polarisf'c per|)endicidaii'enient à ce plan .
^ cos- / , cos /
m- — - — h 1 — 2//* cos y
xj , cos- /• cos /'
cos- / cos /
//('- s — 'r 1 -r :>.//( cos y
COS'/- cos/'
cos / .
p. -Mil siii y
à cos/- ^"
lan.<|->7r— = ;— •
'• A cos- /
cos- r
(les dcnucrcs loiniulcs ont été données en second lieu par Mac (adlagli. cl ce sont celles (pii lui parurent les plus pi'ohahles.
On peut du reste i-etrouver ces formules par un aulre genre d'induction, moins mathématique, mais de même valeur que le |)récé-- (lent, et qui est dii également à Mac Cullagh. Cette induction consiste à chercher comment il serait le j)lus simple de modifier les formules relatives aux corps transparents, de manière à donner une signitication plus étendue aux coeflicients qui } entrent et à les rendre propres à expliquer les phénomènes de la réllexion métallique.
Dans le cas des corps Iransparenis. si la lumière est polarisée
i\EFLi:\iu\ \ih:TALiJQL i:. 37:;
dans le plan d'incidence, on a ponr l'intensil(' K dn ravoii rélléclii
,, (sin ( cos /• " cos / sin //- (sni i cos /-H cos/ sin rf
d'on , en déveluppanl et en divisant par sin- /• cos- r,
On a
et en [)osanl
SMi- / COS- / ,sni I cos i
sin-/- cos'/- ^ sin /• cos r
si 11- / cos- / sin / cos /
siii-/ cos'-' /• ' si 11 /• (•(),, r
sm I
Il Mcnl
cos /
j, ^ n'-^(p'- -iiiip
On trouve de même, [)our le cas on la Inmière est polarisée perpendiculairement an plan (rincidcnce.
L'induction de Mac (lullapli consiste à supposer (|ue pour les métaux les coeflicienls de (D- et de (p ont des valeurs dilVérentcs de n- et de n. Soient M"- et i\ ces coefficients ; Mac (lullagli suppose ((ue leur rapport est encore égal à », c'est-à-dire (jue l'on a
Le cas des corps transparents no sera ])lus alors (pTun cas [)articulirr, celui où M =N. Les intensités R et IV |)rennent la lorme
574 REFLEXION ET UEFIlACTlUiX DE LA LUMIÈKE PULAIUSÉE. L'expression de R peut se mettre sous la forme
en multipliant les Jeux termes de la fraction par le dénominateur. En ajoutant et retranchant au numérateur le terme /iM-^p'^, on arrive à l'expression
Si l'on su[)pose i\l"->N-, R est la somme de deux carrés, et par
suite peut être considéré comme provenant d'une expression de la
forme a-{-b\/—i interprétée à la manière de Fresnel, c'est-à-dire •
que R serait égal à a- -\- b- et que la différence de phase serait
donnée par la relation
S h tang.TT^^-^.
D'ailleurs, puisque M- est plus grand que N-, on peut écrire
N=.Mcosx.
et R devient alors
M-+(^2+2M(^cosx
Pour la différence de phase on a
S -jAKZisiny tang^7r-^ = -^ï3^-
On trouve de même, ])our le cas où la lumière est polarisée perpendiculairement au [)lan d'incidence,
S' 3M0 sin Y
(les formules sont tout à fait identiques à celles (pii ont été trouvées plus haut.
On peut en déduire facilement re\[)r('ssion de la différence de
UEFJ.EMON METALLIQUE. 575
phase des deux composanles du rayon rétléclii polarisées jiarallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence. On a en effet
■2M(pmix aJVKpsinx
S -S' M' -CD' M^^^ Icintî -JTr —
f>-'* À /|M^(p-sin-x
d'où
S~S' •■jM(psinx(M-+i)(tp--i) lang -JTT -y- — çM2(p2yç^^.2^ ^^ +4M^(p^sin-x'
Ces formules avaient d'abord été déduites par Mac CuHagh d'une théorie qu'il n'a pas fait connaître. On peut cependant reconstruire ce travail d'après quelques indications que fauteur a conservées. Mac Cullagh admettait qu'à la surface des métaux k lumière réfractée est absorbée à une très-petite profondeur, et pour exprimer ce fait mathématiquement il donnait pour expression au mouvement
vibratoire du rayon réfracté le produit de sin aw^par une exponentielle à exposant négatif très-grand, proportionnel à la distance à la surface. Il admettait aussi le principe des forces vives; quant au principe de la continuité, il le restreignait, sans expliquer pourquoi, aux composantes du mouvement vibratoire ])arallèles à la surface de séparation, ce qui était contraire à sa théorie des corps transparents. Mais ce qui l'a surtout e.mpéché de publier sa théorie de la réflexion métallique, ce sont les dilhcultés qu'il a rencontrées pour expliquer les proj)riétés du diamant; il aurait fallu lui attribuer un pouvoir absorbant considérable pour rendre compte de l'analogie qu'il présente avec les métaux.
388. Théorie de C'aucliy. — l^x.tension du principe de continuité. — Cauchy ■" a, de son côté, donné des formules qui pour la plupart s'accordent avec celles de Mac Cullagh. Il n'a pas publié sa théorie, mais il en a fait connaître les principes, et cela suffit pour retrouver ses résultats dans tous les cas où ces principes s'aj)])liquent directement.
(" C. /?., II, 6-27; Vlil, 553, 058; IX, 727; \\\l, M. — Jnum. dr Lin:ivil[e, Vil,
.33H. /„.s7., VII, 125, 1/12, 225.
57(i l'.KKI.l'MON KT l'.KFU VCTIO.N L)K I.A LUMIKIIK l'OL AlUSKi:.
Le |)riii(i|)e sur lequel repose la théorie de (lau('h\ esl celui de la continuité du niouveniput, auqu(d il a donné plus d'extension que Fresncl. Frcsni'l et Mac Cidlagh définissaient la rontinrrité en admettant (juc deux moh'cnles j)lacé('s de pai't d d'autre de la surface de s('|)aration à une distance inlininient petite ont dos vitesses de vibration qui ne difFèrcnt (juc fie quantités infiniment |)etites. Cauchv a d('\('lop|)é ce printq):' de la manière suivante : considérons, tout le loup' (Yunc normale à la surface de s<'^j)aration SS' (lig. y G ), et à un
instant donné, les molécules les plus voisines de cette normale, et menons des ordonnées perpendiculaires à cette normale et proportionnelles aux composantes des vitesses suivant la normale; la courbe ainsi déterminée sera une courbe sinusoïde. Deux molécules qui sont à une distance infiniment petite l'une de l'autre ne peuvent avoir des vitesses dont les composantes parallèles à la normale diffèrent de quantités de même ordre (pie ces Mtesses. car il en résulterait des forces infinies par rap|)ort à celles qui font mouvou' les molécules, et ces forces df'truiraient cet excès de Mtesse; mais ces vitesses composantes ne ])euvent p;is non plus être rigoureusement égales, car alors le mouvement vibratoire ne pourrait plus se propager. Les composantes des vitesses de deux molécules infiniment voisines diffèrent donc, mais de (piantités infiniment petites |»ar rap|)ort à ces vitesses. Il doit en être de même pour deux molécules m et m infiniment voisines situées de |)ail et d autre de la surface de séparation dans les deux milieux, c'est-à-dire ((ue la courbe ne doit j)résenter aucune discontinuité au |)oint où elle traversi; la surface.
Cauchv va plus loin : pour lui il v a différence infiniment petite non -seulement (Mitre les c(jmposantes des vitesses d(^ deux molécules infiniment voisines, mais encore entre les (l(''riv(''es (l(> ces composantes, ou, ce rpii revient au im-me, entre les composantes des forces parall(''les à une direction doiiii('-e. (!ar. s il en ('(ait autrement, ces forces \arieraieiil de (piaiilih's finies en pa>saiil dHiie niob'-cule à une aiilre uioIi'mjiiIc inliiiinienl voisine, ce ipn es! impossible.
lll:KLI":\l(n MKTAI.I-lQUi:.
On ;i donc deux (''(inalions pour (»\|irim(M' la continniti' du niouveniont vihratoif*' sunani la normale, ci. youv oxprinicr (|ue le |»rinci|)(' csl couiph'h'iucnt vrai. \\ faudra (Micore poser des ('(|uahons senil)lai)les |)oiir (\i'[\\ autres axes perpendiculaires au premier, c'esl-à-dire parallèles à la surface de si'paralion et perpendiculaires entre eux.
o89. Application de la tlicorie de Catichy aii:iL corps transparents. — Aons allons d abord aj)pli(pier le principe de
Ciauchy aux corps transparenis. Nous étudierons en premier lieu le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Comme nous supposons les vibrations perpendiculaires au rayon et au pian de polarisation, il iTv aura à considérer rpi'un seul s\stème d'é(piations se rapportant à l'axe mené dans le ])lan de la surface de sé|)aration ])erj)endiciilairemenl au plan de p(darisation, c'est-à-dire au plan d'incidence.
Consid(''rons ( lij;. yy) driw points /// el in\ situés sur une même normale et à une même distance : de la sui'face. Supposons (pi'au temps / la vitesse de \ibratioii de la mob'cule (pu se trouve au point I. où la normale rencontre la surface de séparation, vitesse
due au mouvement du ravon incident, ait pour expression sin •:27rq-, •
La vitesse de vibration de la moléctde cpii se trouve en m, duc au mouvement incident, sera la même cpie celle du point p obtenu en abaissant du point /;/ une perpendiculaire sur le ravon incident (|ui passe par le point I. Or, on a
: cos I :
donc la vitesse de vibration du point M au temps / dans le mouvement incident sera
, / , : cos / sin -îTT 1 ,,. -h -> —
57b liEFLEXlUN ET HEFRACTlU.N DE LA LLMIÈRE POLARISÉE.
La vitesse de vibration du point m dans le mouvement réfléchi aura, à la même époque t, pour expression
/ / r ces / \
vsm,^[^. —)■
Quant à la vitesse de vdjratioii du j)oint ni', elle est égale à celle du point p' situé sur le rayon réfracté passant par le point I et pied de la perpendiculaire abaissée du point m' sur ce ravon. On a
\p' = - : cos r:
par conséquent, la vitesse du point ni dans le mouvement réfracté
est égale, à l'époque t, à
/ l - cos r\ U Sin '2 7T I 7p -i — j •
Si z tend vers zéro, la somme des deux [)remières vitesses approche de plus en plus d'être égale à la troisième vitesse, et à la limite, c'est-à-dire pour :^ o, il y a égalité, ce qui donne l'équation
C'est celle que Fresnel déduit du principe de continuité.
Pour avoir la seconde équation, il faut écrire que la sonnne des dérivées par rapport à z des deux premières vitesses est égale à la dérivée de la vitesse du rayon réfracté (piand z= o, ce qui donne
277 cos / l 27rCOs/ / •.iTTCOS/' t
■ K cos 'Jl 71 fp — V -, cos y TT ,t; = u y, COS 'î ~ r.. ■
d'où
et, en remplaçant -, i)ar -^ — i
( 1 — vj sin r cos i = u sin / cos r.
C'est l'équation que, dans la théorie de Fresnel, on déduit du princi|)e des forces vives.
Ces fonuules ont reçu la sanction de rexj)ériencc et conlirnHMit les
llÉFLEXiU.N METALLIQLE. 579
idées théoriques de Caucliy sur la continuité du niouveuient vibratoire. D'ailleurs, celte théorie est empreinte d'une rigueur à laquelle on ne peut guère échapper, et, comme les formules auxquelles elle conduit supposent les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation, on a ainsi une nouvelle preuve en faveur de cette hy[)othèse. C'est là un point sur lequel Cauchy a beaucoup insisté.
Le deuxième cas, celui où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, présente de grandes difficultés, dont on a bien indiqué la solution, mais d'une manière peu rigoureuse. Il faut dans ce cas décomposer les vibrations suivant deux axes, ce qui donne quatre équations incompatibles. Si l'on admet le principe dans toute sa riguein", il ne reste qu'à conclure qu'on n'a j)as tenu compte de quelque particularité. On regarde les vibrations conime perpendiculaires au rayon incident, au rayon réfléchi et au rayon réfracté, si près de la surlace que soient les points de ces rayons (|ue l'on considère. Il v aurait donc à la surface un changement brusque dans la direction des vibrations, ce qui est contraire à ce qui se passe ordinaii'ement dans les phénomènes physiques. Aussi Cauchy, au lieu d'un changement brusque, admit un changement gratluel, mais ra])ide, de sorte (|ue le changement devient com])let à une très-petite distance de la surface de séparation. Il exprima cette condition j)ar l'introduction dans les calculs de deux nouvelles constantes indéterminées dont la valeur est fournie par deux des équations. Du reste, cette théorie n'a pas été développée par Cauchy, et nous n'y insisterons pas davantage.
