TT — A
où C et D sont deux constantes, dette formule se ramène facilement à celle de Cauchy : en effet, si on développe siuTry en ne conservant que les deux premiers termes, ce qui est permis, parce que y est toujours une fraction très-petite, il vient
d'où l'on déduit pour n, en s'arrétant aux termes en À-. une expression de même forme que celle de l'équation ( i 3).
169. liOis de la dispersion dans les niilieu^K biréfringents. — Les simplifications qui s'introduisent dans les équations du mouvement vibratoire lorsque le milieu est isotrope, et en vertu desquelles les équations (5) se réduisent aux équations (8), sont dues uniquement à ce f|ue, dans un milieu de ce genre, la normale à l'onde plane peut toujours être regardée comme un axe de symétrie du mdieu, quelle que soit la du'ection de cette onde plane. Il résulte immédiatement de là t[ue les équations (8) sont applicables, dans le cas d'un milieu cristallisé à un axe, lorsque l'onde plane est parallèle ou perpendiculaire à l'axe unique du radieu, et, dans le cas d'un milieu cristallisé à deux axes, lorsque l'onde plane est perpendiculaire à l'un des trois axes de symétrie du milieu. La formule (lo) se déduisant des équations (8), cette formule peut servir à représenter dans les cristaux à un axe les vitesses des rayons parallèles ou perpendiculaires à l'axe, dans les cristaux à deux axes les vitesses des rayons parallèles à l'un des trois axes de symétrie. L'indice ordinaire et l'indice extraordinaire des cristaux à un axe, les trois indices principaux des cristaux à deux axes s'exprimeront donc à l'aide de formules analogues à la formule (i 2). Seulement les coeffjcienls cnnslauls A'. B', (î'.... auront des valeurs dill/'rentes dans
les crislaux à un axe pour l'iiulice ordinaire et pour l'indice extraordinaire, dans les cristaux à deuv axes pour les trois indices principaux. C'est ce que Béer a vérifié au moyen de la méthode cpie nous avons indiquée plus haut, en faisant usage, dans le cas des cristaux à un axe, des indices du quartz et du spath déterminés par Rudberg, et, dans le cas des cristaux à deux axes, des indices de l'aragonite et et de la topaze mesurés par le même physicien "^
170. Conséfiiieaiees déduites par Caiicliy «le l'absence de dispersion dans le vide. — Dans un corps quelconque les molécules pondérables doivent èlre regardées comme beaucoup plus écartées les unes des autres ([ue ne le sont en moyenne les molécules de l'éther engagé dans ce corps. Si donc on admet avec Cauchy que le système formé par les molécules pondérables et les molécules d'éther puisse être remplacé par un étber fictif, cet éther devra présenter une discontinuité beaucoup plus grande que l'éther du vide, ou, en d'autres termes, les molécules doivent être incomparablement plus rapprochées dans l'éther du vide que dans cet éther fictif. C'est probablement en se basant sur cette considération, bien qu'il n'en fasse pas explicitement mention , que Cauchy a été conduit à admettre, pour explirpier la différence qui existe sous le rapport de la dispersion entre l'éther du vide et celui des milieux pondérables, <pie l'éther du vide peut, sans erreur sensible, être regardé comme formant un miheu continu, et à chercher quelle doit être, dans cette hypothèse, la forme de la fonction qui lie les forces moléculaires à la distance pour que la vitesse de propagation dans le vide soit indépendante de la longueur d'ondulation.
Si, en effet, on suppose l'éther continu, les sommes composées d'un nombre de termes fini, (juoiquo très-grand, c[ue nous avons considérées jusqu'à présent, se transformeront en intégrales, et i'ex[)ression de la vitesse de propagation prendra une forme simple que nous allons déterminer en suivant la marche indiquée [)ar Cauchy,
Fia[)pelons d'abord que, dans un milieu isotrope, on a pour la vitesse de propagation d'une onde ])lane normale à l'axe des .c, et
(') InlnulHclioii à la haule Optique (trad. itc M. Forthomme), p. a5o et 828.
sur laquelle les vibrations s'effectuent parallèlement à Taxe des y,
Pour faciliter l'intégration, nous nous servirons de coordonnées polaires : nous prendrons pour origine la molécule m, dont jusqu'à présent nous avons désigné les coordonnées par x, y, z; nous représenterons par r la distance de cette molécule m à la molécule yi dont les coordonnées sont x-\-^x, y-\-Ay, z-^Az, par co l'angle que fait la ligne m[x avec l'axe des x, par 9 l'angle du plan fxmx avec le plan des xy. Nous aurons alors
Ax=^rcosct), A//= r sincy cos^.
Pour exprimer en fonction des coordonnées polaires l'élément de masse n, nous considérerons l'élément de volume limité par deux surfaces sphériques de rayons r et r-\-clr ayant pour centre l'origine , par deux plans passant par l'axe des x et faisant avec le plan des xy des angles égaux h. 6 et h 9^(16, et enfin par deux surfaces coniques ayant pour axe commun l'axe des x et dont les génératrices font avec cet axe des angles respectivement égaux à w et à co-\-da). Cet élément de volume est égal à
r-sinct)(l9drdct),
et l'élément de masse correspondant f/ est représenté par
Dr- sm<jo(19drd6o,
D étant la densité du milieu éthéré.
Si l'on porte ces valeurs dans l'expression de V-, et- si l'on suppose le milieu continu, ce (pii permet de remplacer la sommation par une intégration, on a
V2 = ^ f^'J^'' £^^.'2 [9(/•)+^|/(^)sin•■^a; cos'9] sin^^ sui-^ ^^^ dddcod
L'intégration doit s'étendre à lout le milieu, et ses limites sont, par conséquent : |)Oiir 9. zéro et ^tt: |>()iir v. /rvo et tt: poui' r. zéro et
-j- oo.
L'intégration par rapport à 9 s'effectue immédiatement et donne
1^9 DX' r r-rr rco . . ,jtcosw , ,
V^ = — rM r-ip(r)8m(y sm^ — ^^ — r/<yrfr
+ 1 I r-\|/(r) sin^w sin^ — ^^^ — f?w<lr •
Si l'on intègre ensuite par rapport à do, on a
r"^ . . „ TT/'COSd; , C^ f 27rrcos(i)A • , al smwsui- — ^ — doj=\ ( i -- cos ^ j sinwrtw
/ , A . 277rCOS(i) X"""
= — cos cy H sin ^
= 2 — sin ^r r :
la première partie de l'expression de V'^ devient donc
Intégrons par rapport à eu la seconde partie de cette expression : comme on a
C^ • , • ., 77/'C0SCy , I C^ f 277rC0SCt)\ . o ,
I sin-'w sjn- — s dco = - i — cos r Ism-^codco,
Jo >^ 2jo V A J
1 sin^wf/w = I sinw (i — cos'^wjf/a; = f — cosoj + t; cos^wj =ôen intégrant par parties, il vient successivement
277/C0S(W , A . „ . 2777C0Sfit)
snro) cos
f/flt) = sin^w sin .
r . . 277/' cos Ct) , A 277rCOSa)
I sui w COS O) sin ■ ^ — — dw ^= --z-.. cos w cos
AT. . 277rC0SW ,
— sin&j cos O) sin ^ doo ,
TTlJ A
COS
SI
