COS (W

siuiw cos ^^ aoo ,

/'. 277/' cos W ■ A . 277rC0Sii> sinw cos ^ dct)= — — Sin =: ■.

'2li THEORIE DE LA DlSPERSIOiX.

d'où

J^- , 27rrcosîi) , À • o • *-27r/coS(i> surot) cos s d(o = sm-co sin ^ A 27rr A

À" 27rrcosa; A'^ > aTzrcosîi;

/"^ ■ o 27ITCOSW j X" 27r , À'' . 277

sin-^iw cos 5 «w = 5-ï cos -^ ?' H rr sin -=p r, Q A TT r A 27Î- r A '

f"^ . , . „7rrcos&) , 2 , À^ 27r A' . 277

I sin*<y sin^ — =j dco = 0 H 2-1 cos->- t — 7— r^sin-^r,

En portant cette valeur dans l'expression de V^, on a

V^ = — I r^(p[r)dr 2I r(p (rj si n -,- r rfr + -ô— I r'^\p(r]ar

DA'f^,,. 277 , m' r^^'r] . 277 j

+ 4^J, ^W^os^r./r-g^J^ ^-sin-^r^r, et, comme on a posé

il vient définitivement

, A-^ f°<=.,, . 277 . a' C^fir) 277 ,

+ T-^ / ricos ^- rdr— -— r; ^^^-^ cos ^- rdr

877V 0 r A Stt Jo r^ A J

Pour intégrer par rapport à r il sullit de remarquer que l'on a

,/ (r) cos -^ r - -/(r) sm x '^ = ^- Lâ^/W '^' T '"J '

X' f{r) lit r /'(/■) . 277 , X-' /■(,•) . 277

= -r — ir—i ^-^ Sin -V- /

dr V 877 r A

01) obtient ainsi

Désignons par M la quantité entre parenthèses, par M^et M^ les valeurs que prend cette quantité lorsqu'on y fait r=o et r==oo. Comme /(r) s'annule pour une valeur infiniment grande de r, M^^

est égal à la valeur que prend la quantité ^r^f{r) pourr= oo , valeur que nous représenterons par :t [r^f{r)\^-

Pour déterminer la valeur de M^ il faut développer en série*

cos -Y f et sin -y ^', ee qui donne

~8^'~r VX^~TT^ X' ^ "^ 1.2.3.4.5 ~F"'' —•.. j.

Les termes qui contiennent r à une puissance inférieure à la quatrième se détruisent : la limite de M, lorsque r tend vers zéro, est

donc égale à celle du terme en r*, c'est-à-dire a —^ -^ b''^f{^)]o- En

portant ces valeurs de M^ et de M^ dans l'expression de V^, il vient

v^ = ~ (M. - Mo) = §^ ['m]^~r, [>- ['■■'/(>)].•

Pour que la vitesse de propagation de la lumière dans le vide soit indépendante de la longueur d'ondulation, il faut que le premier terme de cette expression soit nul, et par conséquent que l'on ait

La vitesse devant avoir une valeur finie et constante, il faut, en outre, ([ue le second ternie soit positif, c'est-à-dire que l'on ait, en désignant par k une quantité constante.

Ces deux conditions sont satisfaites si l'on admet que dans le vide l'action mutuelle des deux molécules d'éther est répulsive et varie en raison inverse de la quatrième puissance de la distance, car alors on a

a nu 1 on n

édnit

quantité qui s'annule pour r^ oc , et

valeur (pii demeure [)ositive et constante, lorsqu'on fait tendre r vers zéro.

La solution que nous venons d'indiquer n'est point la seule qui soit compatible avec les conditions (i) et (2): ces conditions sont en effet satisfaites lorsque, toutes les fois que les molécules réagissantes sont à de très-petites distances les unes des autres, leur action varie en raison inverse de la quatrième puissance de la distance, et que, pour des distances plus grandes, cette action conserve toujours une valeur inférieure à celle qu'elle prendrait si elle variait en raison inverse du carré de la distance.

Telles sont les conclusions auxquelles s'est arrêté Cauchy: ces conclusions, il ne faut point l'oublier, ne sont légitimes qu'autant qu'on admet l'bypothèse qui lui a servi de point de départ, c'est-àdire qu'on regarde l'étber du vide comme formant un milieu continu, et en aucun cas elles ne sont applicables à l'éther engagé dans les milieux pondérables.

171. Équations^ d'un moiivenieiit vibratoire !«ie propageant par ondes planes dans un milieu isotrope. — Nous

avons obtenu précédennnenl {lu"}) les équations difïérenlielles d'un mouvement vibratoire se propageant par ondes planes dans un milieu homogène quelcoiupu^ et, pour arriver plus rapidement à ces équations, nous avons supposé les déplacements des molécides vibrantes rectilignes, et nous avons représenté ces déplacrmeiits ou

nous fondant sur la théorie de la diffraction, j)ar la formule

e = ^sin!i7r(R -Vf),

ce qui nous a permis d'exprimer les projections 6, >? , ^ de ces déplacements en fonction de la vitesse de propagation V.

Nous allons maintenant, en nous restreignant au cas des milieux isotropes, exposer une autre méthode c[ui permet de trouver directement les équations différentielles d'un mouvement vibratoire se propageant par ondes planes sans faire d'autre hypothèse sur la nature de ce mouvement que d'admettre la transversalité rigoureuse des vibrations. Les équations auxquelles conduit cette méthode, bien qu'identiques au fond avec les équations (8), se présentent sous une forme différente et qui, dans certains cas, est plus commode pour la discussion, par exemple lorsqu'il s'agit de déterminer quelles sont les modifications qu'il faut faire subir aux équations différentielles du mouvement vibratoire dans un milieu isotrope pour rendre compte des phénomènes de la polarisation rotatoire. De plus, l'intégration de ces équations nous apprendra quels sont les mouvements vibratoires qui peuvent se propager sans altération dans le milieu , et viendra confirmer les conséquences que nous avons déduites des phénomènes de diffraction; enfin cette même intégration nous fournira une relation entre la vitesse de propagation et la longueur d'ondulation, relation qui pourra servir de base à la théorie de la dispersion dans les milieux isotropes.

Nous prendrons pour point de départ les équations (i) qui se rapportent à un milieu homogène quelconque et qui peuvent s'écrire

'^ - 2f, |^(r) ^- AÎ+ [<p(r) + M'-) ^] A.,