V OU

et |)ar suite et

= ^//V/-^-rPa.

ck-

s' h'Ir'

rl^

S^-I}'li^'

Suivant que l'on prendra l'une ou l'autre de ces deux valeurs de a,

on obtiendra une valeur différente pour y^ rapport qui représente,

comme nous l'avons vu plus haut, la vitesse de pro[)ajTation du mouvement vibratoire suivant la normale à l'onde.

Les équations du mouvement satisfaisant aux équations différentielles (i) deviennent, en v faisant, d'après ce que nous venons de trouver.

<?-o. x = 7 '^t /2-ia,

^=asin [hz —si), >7=±a cos( /.■: - st).

;J,1() l'OLAI'.lSATlo.N lioTA rolliK.

Il faut joindre à cos deux équations la condition

(|ui résulte des conditions (5) en y j)ortant les valeurs de (p, de x ^* de /S.

Le signe — dans l'équation (7) con'espond au signe -f- dans la seconde des équations ((î). et* réciproquement.

Les équations (G) représentent, comme on le voit, deux rayons polarisés circulairement en sens contraire et se propageant avec des vitesses ditïérentes. Toutes les lois expérimentales de la polarisation rotatoire peuvent en être déduites.

Nous allons maintenant chercher comment la valeur de la rotation (!st liée aux constantes.

L'équation (7) peut s'écrire

ou

La différence des vitesses de propagation des deux rayons circu-

laires étant Irès-petite, il faut que l'équation qui donne t ait deux

racines très-peu diflérentes. ce qui exige que la constante c soit trèspetite. On peut donc développer s en série convergente suivant les puissances croissantes de /.-, et réciproquement nous pouvons nous proposer de déterminer A- en fonction de s : c'est le problème du retour des suites. Supposons donc k développé en série suivant les puissances de s, et hornons-nous aux deux premiers termes en posant

le r(''sultat linal justifiera cette restriction. En substituant cette valeur (le /.■ dans l'équation (7J qui doit toujours être satisfaite, ou obtiendra les valeurs de m et de « en égalant à zéro les coefficients de .s- el de •s-'', pourvu ipi'on néglige les termes d'un ordre supérieur à .s''. Lu prenanl le signe .su|»érieur, l'équation (7) devient ainsi

KSSAIS l)K TlIKOHIK. ;;i 1

tous les leriJies qui conlicniienl « à une puissance supérieure ;i la troisième étant supprimés. Cette équation devant être satisfaite ponitoutes les valeurs de s, il faut (|ue les roelFicients de -s-- e( de s' soient nuls, ce qui donne

On tire de là

rn^^l

cm- <• 21)- u»'

En remplaçant /« et // par leurs valeurs dans l'équation (8), il vient

En prenant le sip^ne infi'rieur dans l'c-qualion (-), on obtiendra

., s es'

[)e re qui précède on peut déduire la valeur de la rotation produite par une plaque perpendictdaire à l'axe d\ii\ cristal dou(' (]u pouvoir rotatoire. Suj)posons, pour plus de simplicité, que le |)lan de polarisation du rayon polarisé rectilignement (jui tomhe sur la plaque soit perpendiculaire à l'axe des :r. Ce rayon, en pénétrani dans le cristal, se décompose en deux rayons qui sont polarisés circulairement en sens contraire. Les mouvements vibratoires sur ces deux ravons circulaires sont représentés, [)our le premier, ])ar les é(|uations

^= — asin.s/, )7^acos.s/,

et |)our le second, par les ('(piations

^'=--asin.s7, )/ ^ - oc cos st.

.•512 l> 0 L A R l S AT 1 0 j\ R 0 TA T 0 1 R E.

On voil que lo iiroiiiicr do ces ravons est polaris('' de droite à gauche et le second de gauche à fh-oite. Après que le rayon a traversé une épaisseur : du cristal, les équations du mouvement vibratoire deviennent, pour le premier rayon circulaire.

^=asin(7.r — .s7|, >7 ==- a cos ( /.: -s-/ ) ,

et pour le second .

^'=asin [k'z — sl), )/ = — a cos ( /.': — .s/ j.

Si Ton suppose la constante r j)ositive. /.' sera plus petit que k., et on voit (pie le ravon pohirisé circulairement de droite à gauche est alors celui qui se propage le plus lentement, c'est-à-dire (|ue le cristal est dextrogyre. Si la constante c est négative, cela indique que le cristal est au contraire h'vogyrc

Les composantes du niouvfMuent \ihratoire suivant les axes des j? et des y seront. Ii»rs(|u<' le ravon aura traversé un cristal d'épais-

seur

d'où

Ç4- ^' = a I sin ( /.•: — ,s-/ ) -\- sin ( //: — sn | . }? + >?'-- a [cos (Â;r— .s7 j - cos (//: — .s7 |] ,

l. + iï \ I, k

^-f ç -- a a sin ( —^^ : - stj cos

);-]-}, -r=t '>asin : — .s7 sm — ^ —

'nfn

^ — F = — lang

Les vibrations du ravon émergent sont donc rectilignes et dirigées à droite (le Tnve des r, avec lequel elles font un angle égal à

:. Par suite, le |)laii de polarisation a t'té dévié à droite d'un

angle ('gai à ■' ^ — :. et le crislal ot dexti'ogvre. ce (pnl s'agissait de vérifier.

ESSAIS DE THÉORII^. 313

Pour une épaisseur de cristal égale à l'unité, la valeur de la rotation est

OU, d'après les valeurs trouvées plus haut pour /.- et //,

es-

Or. cil (l(''sii|ii;iii( |tar T la (liiif'c de |;i Mliralidii d |i;ir À la loii- ;|ii('iir (roiidiilalKiii dans le cnslal. les rriiinlions [•{] du niouvenienl \il)ra(oirr nionli'eiil iiiiiiicdialciui'iil (inoii a

et [»ar suite

V désignant la vitesse de propagation du rayon dans le cristal. En reinplarant s par sa valeur dans l'expression de la rotation, il vient

2 77-cV-

Si on suppose V constant pour lous les rayons, c'est-à-dire si on néglige la dispersion, on voit que la rotation du plan de |)olarisation est en raison inverse du carré de la longueur d'ondulation. Si cette loi n'est vraie que d'une manière a|)prochée, cela vient précisément de ce que nous avons négligé les termes qui tiennent compte du pouvoir dispersif du ([uartz.

Si l'on n'avait pas voulu retrouver la loi qui lie la rotation avec la longueur d'ondulation, on aurait pu introduire dans les équations ditlerenlielles, au lieu des dérivées troisièmes de v et de | par rapport à z, une dérivée quelconque d'ordre impair telle que

dï) (1^ chl d:'^

Il ■=' J: "" ,7? "' 5?'

on serait arrivé alors aux mêmes résullals généraux [»our la rota-

ViiiiDET, Vi. — Optique, II. -21

3U 1»ULAU1SAT10:N UUTATUiRE.

lion du [)lan de polarisation, mais non pas à la relation entre la rotation et la longueur d'ondulation que donne l'expérience, au moins d'une manière approchée.

D'ailleurs, rien ne prouve que ces dérivées d'ordre impair autre que le troisième ne doivent pas réellement figurer dans les équations différentielles. La seule chose que l'analyse précédente montre, c'est que la dérivée troisième a un coelFicient beaucoup plus grand que les autres , en supposant qu'elles existent dans les équations.

290. Equations différent ielles flti ntouvenient vibratoire dans un cristal à un axe doué du pouvoir rotatoire, lorsque l'ontle incidente est oblique à l'ax^e. —

Nous pouvons maintenant généraliser la méthode précédente et considérer le cas où l'onde incidente est inclinée sur l'axe du cristal, c'est-à-dire où le rayon ne se propage plus suivant la direction de l'axe. Remarquons à cet effet que, dans un cristal à un axe dépourvu du pouvoir rotatoire, pour qu'une onde plane incidente ne donne (lu'une seule onde réfractée, il faut qu'elle soit polarisée parallèlement ou perpendiculairement à la projection de l'axe du cristal sur le plan de l'onde. Quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident, on peut toujours le supj^oser décomposé à son entrée dans le cristal en deux rayons polarisés, l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement à la projection de l'axe sur le plan de l'onde, et on pourra appliquer au mouvement vibratoire de ces rayons, qui sont le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire, les équations différentielles que nous avons établies dans la théorie de la dispersion (171). Si l'on prend pour axe des z la normale à l'onde, pour axe des y la projection de l'axe du cristal sur le plan de l'onde, et pour axe des x la perpendiculaire à l'axe des y tracée dans le plan de l'onde, les équations différentielles du mouvement vibratoire seront, pour le rayon ordinaire,

de dz' ' et pour le rayon extraordinaire.

dl' ~ dz'

A et B sont les carrés des vitesses de propagation du rayon ordinaire et du ravon extraordinaire, et par conséquent on a, d'après ce que nous avons vu dans la théorie de la double réfraction (1/12),

6 étant l'angle de la normale à l'onde avec l'axe du cristal, a et b ayant la même signification que dans la théorie de la double réfraction.

L'hypothèse de Mac Cullagli pour rendre compte de la polarisation rotatoire consiste à compléter les deux équations différentielles comme dans le cas précédent, en ajoutant au second membre de chacune d'elles un terme formé de la dérivée troisième par rapport à ^ de la variable qui entre dans l'autre équation, ces deux termes étant d'ailleurs affectés de coefficients égaux en valeur absolue, mais de signe contraire dans les deux équations. On obtient ainsi les deux équations différentielles suivantes :

d'tj n d'ti d'^

Les intégrales de ces équations seront donc encore de la forme

|=asin(/t-z — s/ + (p),

)7 = /Ssin (/.•::— 5<+x)-

En substituant ces valeurs dans les équations (i) nous obtenons, comme dans le cas précédent, quatre équations de condition de la forme

m cos (p = n cos (p +p sin \p,

(2) < wî'sin(p==H'cos(p+ycos^,

On peut disposer arbitrairement de la phase d'un des mouvements et poser (^=0, d'où résultera, comme nous l'avons vu dans le cas précédent ,

cos 4/ = o.

II y a donc entre les deux iiiouvements coniposanls une différence de phase d'un quart de circonférence, et on peut écrire

v = ±(3cos(kz — st).

Au lieu de conserver le double signe, nous allons introduire dans ces équations le rapport- que nous désignerons par h. cette lettre pouvant a\oirles deu\ signes. Elles deviennent ainsi

i ^=0L siii I /.; .s7 ).

La pifinii'ii' l'I la (iiiatrièiii»' des (iiialri' (''r|iialinii,v Ai' (ondilmn prennent alors la l'orine

d'où l'on tire

De ces dernières équations il est facile de déduire séparément les valeurs de // et de l\ Le rapport r donnera la vitesse de propagation et la valeur de h indiquera la forme du mouvement elliptique représenté par les équations (3).

En égalant les valeurs de h tirées des deux équations (4), on obtient une nouvelle équation ne contenant plus que k et qui est

ck' "Bk'-s' ou

(5) (s^-Ak'){s''~\U^) = cV/'.

On a ensuite, pour déterminer h, en retranchant la seconde des t'ipiations (A) de la première,

o = {A-\{)k'-^ck'(^h~l

doit

/( ck

It- ;— // — 1 = 0.

Il faudrait bien se garder de traiter les équations (5) ot (G) par la méthode générale, car on serait conduit à des solutions tout à fait étrangères à la question. En effet, la constante c étant très-petite, l'équation (5) diffère très-peu de celle qu'on obtiendrait en remplaçant le second membre par zéro. Il suit de là que, bien que cette équation soit du troisième degré en k-, nous ne devons y considérer

que les deux racines voisines de -r et de j^ • Chacune de ces valeurs portée dans l'équation (6) déterminera le rapport h. Mais à chaque valeur de k doit correspondre une seule valeur de h, tandis que l'équation en donne deux; il importe donc de savoir choisir entre les deux racines de l'équation (6). Remarquons qu'à cause de la forme du dernier terme du premier membre de l'équation (6), si

l'une des racines donne le rapport -^ l'autre racine sera égale à — ^ •

Revenons maintenant aux éipiations (A) : nous aurons une valeur approchée de A en négligeant d'abord dans une de ces équations le terme en c et en tirant de là une valeur approchée de k qui servira à déterminer h au moyen de l'autre équation. Si l'on fait dans la première équation

la seconde donne (7)

it2 = ^,

\\\ ck

Or, pour le quartz, qui est un cristal attractif, on a B<:;A et par suite 1 — t!>o. Pour que le second membre de l'équation (7) soit

positif, il faut que h soit négatif si c est positif, c'est-à-dire si le cristal est dextrogyre (289).

Donc, pour la valeur de /r voisine de -r il faudra prendre pour h

la racine négative de l'équation (6) si le cristal est dextrogyre, et la racine positive de cette même équation si le cristal est lévogyre. La

valeur de A- voisine de k correspond au contraire à une valeur de h

positive pour les cristaux dextrogyres et négative pour les cristaux lévogyres. Il ne peut donc jamais y avoir d'incertitude.

Revenons maintenant à l'équation (G) et supposons que la valeur

de k soit voisine de — =; il faudra prendre la racine négative, qui est

(8) ^'—^-\/^^jr-^'-

Si nous portons cette valeur de h dans l'une des équations (/i), par exemple dans la première, on aura entre s et la valeur de k voi-

sine de -^= une relation qui sera

d'où l'on tire

(9) /^ = ^A.^ + |y(A-Bf + ï?P.

A ces deux équations (8) et (9) on peut joindre les suivantes, que l'on trouve par des raisonnements analogues et qui donnent // et k'.

( . . ) »— ^ ir- ~ T \/( ^ - ")' + '"' *"•

Ces formules g(;nérales doivent être discutées dans différents cas particuliers. Examinons d'abord le cas le plus simple, celui où la normale à l'onde est très-écartée de l'axe du cristal. Dans ces conditions la différence A — B a une valeur très-grande par rapport au second terme du radical, et ce radical peut alors se développer suivant la méthode ordinaire. Il en résulte que // est très-grand et que

h diffère peu de zéro. Cette petite valeur de h montre qu'à une distance sensible de l'axe les vibrations du rayon ordinaire ont lieu sur une ellipse très-allongée dont le grand axe est perpendiculaire à la section principale du cristal. Quant aux vibrations du rayon extraordinaire, la grande valeur de //fait voir qu'elles ont lieu également sur une ellipse très-allongée, dont le grand axe est dans la section principale.

Développons maintenant la valeu r de -s^ donnée par l'équation ( f) ) . en prenant la valeur approchée du radical; il viendra

0 A + B ,,, , A- / 4 T. . lie- A-' s- =^-

a ou

On trouvera de même, en partant de l'équation (i i),

Il suit de là qu'on peut développer k et k' en fonction des puissances ascendantes de s par la méthode du retour des suites. En se bornant aux deux premiers termes, les expressions de k et de k' seront de la forme

k=-^-{-ms~,

les facteurs m et m' étant de signes contraires, et l'un composé avec A comme l'autre avec B. En retranchant l'une de l'autre ces deux équations on a

m et m' étant d'ailleurs proportionnels à la constante c, il en résulte que la différence k — k' est composée de deux termes dont le premier est indépendant du pouvoir rotatoire et dont la valeur augmente

à mesure qu'on s'écarte de l'axe, et dont l'autre, très-petit par rapport au précédent, est une fonction du pouvoir rotatoire. Il suit encore de ce cpie nous venons de voir qu'à mesure qu'on s'éloigne de l'axe les effets de la double réfraction masquent de plus en plus ceux du pouvoir rotatoire, de sorte que, dans le cas où l'inclinaison de la normale à l'onde sur l'axe du cristal est un peu considérable. il est inutile de développer davantage les calculs, car il ne serait pas possible de comparer les conséquences de la théorie avec les résultats de l'expérience. Le cas le plus intéressant est celui où la normale à l'onde fait avec l'axe un angle très-peu considérable. Dans ce cas (A — B)^ et hc^k'^ ont des valeurs comparables, et on ne peut plus avoir recours aux approximations précédentes. A et B différant trèspeu , il en sera de même de h et de k', et la différence de ces deux dernières quantités sera de l'ordre de la constante c.

Nous pouvons maintenant établir un principe important, vérifié d'ailleurs par des expériences dont nous avons déjà parlé à propos des effets d'une lame de quartz sur la lumière convergente. Dans Kéquation (6), le coefficient du terme en h varie très-peu par rapport à lui-même, quand on y remplace k par //; la racine positive de l'éipiation (6) et la racine négative de l'équation qu'on obtient par la substitution de k' à k ont donc entre elles à peu près les mêmes relations que les deux racines de l'équation (6), c'est-à-dire que leur produit est, sinon égal à — i . du moins très-voisin de — i , Si ce produit était égal à — i, cela signifierait ([ue les axes de l'ellipse relative à A; seraient inversement |)roportionn('ls aux axes do l'ellipse relative à k', ou, en d'autres termes, que les deux ellipses seraient géométriquement semblables et qu'elles seraient parcourues en sens inverse, sur les deux rayons, par les molécules d'éther. Il n'y a donc p;is lieu de s'étoiiiKM' fjue les calculs d'Airy, f()nd('S sur la simililude absolue des deux ellipses, l'aient conduit à des résultats peu difféi-ents de ceux de l'expérience. Quant à la différence de sens des mouvements sur les deux ellipses, elle subsiste toujours à cause de la différence de signe des deux valeurs de h. Le rayon ordinaire est polarisé de gauche à droite, et le rayon extraordinaire de droite à gauche.

Pour trouver la valeur (hi rapport h. nous pouvons, dans une

ESSAIS DK THEORIE. 32)

première approximation, négliger la variation Je /.• et poser alors

/étant la longueur d'ondulation du rayon ordinaire dans le cristal, comme nous l'avons vu dans la théorie de la dispersion (171). L'équation (6) devient, en remplaçant A, B et k par leurs valeurs respectives,

,, llb- — a-) sin- 9 ,

Ir — — // — 1 = 0 ,

et en prenant, comme il convient, la racine négative de cette équation, on obtient

11 faudra pour chaque valeur de B calculer la valeur numérique de h, et on aura ainsi tous les éléments nécessaires pour vérifier expérimentalement la valeur de ce rapport des axes de l'ellipse.

Cherchons maintenant des valeurs plus approchées pour les quantités k et k' . De l'équation (c)) on tire

^+ÂTB\/C^-Ï^)"^+^^'^^'

\q radical étant très-petit, on peut extraire la racine carrée des deux membres de l'équation et prendre par approximation celle du second membre, ce qui donne

^+MÂTBjV/iA-^)^+^-^^

On trouverait une relation analogue entre k' et s, et l'on a définitivement

^^"'''' + I(ÂTB)V(^^-^^r+^c^/e^

V'ATBj

V''(A- ^f + '\c'li'

Le dénominateur du second facteur du second membre, dans chacune de ces équations, différant très-peu de l'unité, on peut faire d'une façon approchée la division de l'unité par ce dénominateur, et il vient ainsi

\/Â-hB

vÂTb

Dans la cjuantité qui est sous le radical on peut commettre sur l'un des termes une erreur très-petite par rapport à ces termes mêmes;

on peut remplacer A-^ et k'~ par la quantité t qui en est, comme

nous l'avons vu, une valeur approchée. En remplaçant, dans les deux

équations précédentes, k^ et A'"^ par t' on en tire aisément la valeur

de k — k\ c'est-à-dire de la différence de phase des deux ravons elliptiques pour une épaisseur du cristal égale à l'unité. Il vient ainsi

Pour tirer de là une expression vérifiahle par l'expérience, il faut

introduire les données du problème. Remplaçons A par è-, A — B

par (6^— a^) sin-5, ainsi que cela résulte des valeurs de A et de B;

prenons pour A -f- B la valeur approchée ilP- et pour s la valeur

trouvée plus haut -nrn nous aurons

(^•' - l^'f = ^ [{h-^ - a^r sin* 6 + i|^] , d'où, en remarquant que l'on a

formule vérifiablo par l'expérience.

Il faut remarquer que, dans ces valeurs iq)prochées de A et de />•'— A-, l'approximation sera toujours suffisante pour toutes les va-

P.SSAIS DE THEORIE. 323

leurs de 6 avec lesquelles les expériences peuvent se réaliser, c'està-dire pour toutes les valeurs très-petites de cet angle.