Expériences de Seetoeck. et de Brevvster. — La

trempe donne lieu à des phénomènes tout à fait analogues à ceux que produisent la compression et la dilatation, avec cette seule différence qu'ils sont permanents. Dans un corps trempé, en effet, les différentes directions ne jouissent plus des mêmes propriétés : il y n des tensions moléculaires irrégulières, et la double réfraction doit s'y manifester comme cela a lieu toutes les fois qu'il v a quelque trouble apporté à l'arrangement moléculaire dans un corps.

Les phénomènes produits par la trompe ont été observés pour la première fois par Seebeck, en 1812, et publiés dans le Journal de Schweigger en 1 8 1 3 , 181/1 et 1 8 1 .5 •''. Dans ces trois mémoires il n'y a que la description de faits dont Seebeck n'a pu saisir la cause.

Il faisait chauffer au rouge des plaques de verre de diverses formes, et les faisait ensuite refroidir assez rapidement en les agitant dans l'air : lorsqu'il plaçait les plaques ainsi trempées dans la lumière polarisée, il obtenait dans l'analvseur des figures vivement colorées, dont la forme et les couleurs dépendent de l'orientation de l'analyseur, du contour de la plaque et de la manière dont cette plaque est tournée dans son propre plan. Seebeck a obtenu également des figures colorées avec des ])laques de borax fondues et refroidies rapidement, de sel gemme rapidement desséchées et de gomme arabique obtenues par une prompte évaporation. Seebeck se contenta d'abord de donner un nom aux phénomènes qu'il avait observés : il les appela y^^in-f-s eutoptiques, croyant qu'ils étaient dus à une modification épror.vée par la lumière dans l'intérieur du corps soumis à l'épreuve. Toutefois, quelque temps après, il fut

" Joirrnal (le Schwrigger, VII, 3.J9, 3 8 3: \\^ '\-\: \\\ . \.

PHENOMENES EXPERIMENTAUX. 371

conduit à les rapporter à leur véritable cause, qui est la trempe du verre. lAIais en ceci il avait été précédé par Brewster, qui, le premier, signala l'influence de la trempe, dans un mémoire sur les larmes bataviques communiqué en i 8i/i à la Société Royale de Londres ^^'. Plus tard Brewster a généralisé ces faits à la suite d'une série d'expériences publiée en 1816'-', et les a rapportés à une double réfraction produite dans le verre par la trempe. 11 a fait voir qu'un morceau de verre chauffé jusfju'au rouge, puis refroidi lentement, ne possède pas la double réfraction.

Brewster a encore fait une remarque importante, c'est que, lorsqu'un morceau de verre s'échauffe ou se refroidit, il jouit temporairement delà propriété biréfringente, quand la température devient stalionnaire, ce qui provient évidemment de ce que l'équilibre moléculaire ne s'étabh't qu'au bout d'une certaine période pendant laquelle l'arrangement des molécules et la distribution des forces élastiques restent irrégulières.

La cristallisation peut souvent produire des effets analogues à ceux de la trempe, et, si on examine des lames de cristaux cubiques au moyen d'un polariscope très-sensible , comme celui do Bravais (21 Oj, il est très-rare d'en rencontrer qui soient complètement dépourvues de toule double réfraction : c'est ce qu'a constaté Bravais lui-même'^'. Il faut attribuer cette double réfraction à des irrégularités de cristallisation et de structure qu'il est rare de voir disparaître tout à fait.

30 à. Polarisation lamellaire. — C'est encore à une cause de même nature qu'il faut attribuer un ordre de phénomènes découverts par Biot, et désignés par lui sous le nom de polnrisation lamellaire '''^K En examinant des cristaux d'alun qui appartiennent, comme on sait, au système cubique, il reconnut des indices de double réfraction. Il n'y a là rien de surprenant, car on trouve souvent des cristaux d'alun dont la cristallisation n'a pas été régulière

'■' Phil, Trans., 181 5, p. 1.

'*' Phil. Trans., 1816, p. h6.

'■'' Ann. de chiin. et de phys. , ( 3 ) , XLIII , 1 -19.

'"^ Ç. Il . XII , 1 1 2 1 . — Mé,n. do VAcad. des .st. , Wllf , .■)'! 1 .

372 DOUBLE REFRACTION ACCIDENTELLE.

et qui présentent dans leur intérieur une série de lames dirigées dans différents sens. Si les surfaces de séparation de ces lames sont visibles, cela indique évidemment que, dans une direction perpendiculaire aux faces des lames, la distance moyenne des molécules est plus grande que dans une direction parallèle à ces surfaces : il y a donc là une cause suffisante pour produire la double réfraction.

Il est d'ailleurs permis de croire que la structure lamellaire et le défaut d'bomogénéité qui en résult(^ peuvent exister sans être visibles et donner au cristal des propriétés biréfringentes.

C'est ainsi que Brewster a pu constater l'existence de la double réfraction dans plusieurs cristaux appartenant au système cubique, tels que le spath fluor, le sel gemme, l'analcime, le sel ammoniac"^.

Les tissus organiques, tels que les cristallins de l'homme et des animaux, les tuyaux de plumes, etc., présentent aussi des propriétés biréfringentes qu'on doit attribuer à leur structure lamellaire. Brewster s'en est assuré en plaçant ces corps dans un liquide contenu dans un vase présentant deux faces parallèles, et en les faisant traverser par un faisceau de lumière polarisée '-'.

Les gelées organiques, les résines, et autres corps amorphes qui sont naturellement uniréfringents, peuvent aussi acquérir des propriétés biréfringentes, s'ils se sont solidifiés dans des conditions irrégulières qui leur donnent une sorte de trempe ou une structure' lamellaire.

(" Phll. TratiH., 181 5, p. 39. — Edinh. Traits., t. X.

'''^ Phil. Tnins., i 81 (i, p. 3i 1 . — Auii. do chitii. cl de phi/s., (3), IV, /i3i. — Vhil. Trai)s., iS3.'{, p. 'A-i'i; icSofi, p. .'!."); 183". p. •>.").'!.

THÉORIK DE LA DOUBLE RÉFRACTION ACCIDEiSTELLE.

305. Principes de la théorie de l'élasticité «les corps solides. — Ellipsoïde des dilatations. — Dilatations principales.— Ncumann *'' a voulu soumettre au calcul les phénomènes (le la double réfraction due à des actions mécaniques exercées sur les corps solides. Mais il est inutile de le suivre ici dans les résultats auxquels il a été conduit, car il est parti d'un principe inexact, au moins dans la plupart des cas. Il a cherché à exprimer analytiquement les contractions et les dilatations qui se produisent dans l'intérieur des corps sous l'influence des forces mécaniques extérieures qui agissent sur eux. Pour mettre en évidence le défaut de rigueur de ses raisonnements, nous commencerons par rappeler ici les principes de l'élasticité des corps solides, tels qu'ils ont été établis par Cauchy. Nous supposerons qu'il s'agisse uniquement de corps solides dans lesquels toutes les directions jouissent de propriétés idenli(pies, c'est-à-dire de ceux que Cauchy a nommés corps isotropes. Quant aux corps udu isotropes, ce sont les cristaux, sauf ceux du système cubique, et les corps qui ont subi des modifications moléculaires accidentelles.

Considérons donc un corps solide isotrope : si, par une cause quelconque, les molécules de ce corps viennent à se déplacer de quantités inégales, il y aura dilatation ou compression. Pour simplilier le langage, nous comprendrons les deux phc'nomènes sous la même dénomination de dilatation , en admettant que cette dilatation peut être positive ou négative. Il y aura à considérer deux espèces de dilatations : la dilatation cid^ique et la dilatation linéaire; nous chercherons d'abord l'expression de cette dernière.

Soient, lorsque le corps est dans son état naturel, x, ij, z les

'" ^*%'l}- -t""-, Ll\ , i<)<). — Abli(iii(ll.inijii'ii lier Akuilcmii: run Uertinjnr iS-'li, pari. III, p. 3. ■ ^

coordonnées d'une molécule, x-[-Ax, y-ràij, : -{- Az les coordonnées d'une molécule voisine. Désignons par f, >?. ^ les projections, sur les trois a\es, du déplacement que subit la première molécule quand le corps passe à son nouvel état: par f+ Af, jj + A»?. ^ -t- A^ les projections du déplacement de la seconde molécule. Si nous représentons par V la distance des deuv molécules dans l'étal naturel . on aura

En dési;]nani par s la dilatation linéaire rapportée à l'unité de longueur, on voit que la distance des deux molécules devient après le changement d'état V(i H-e), et que l'on a

(i) V^ ( 1 -f sf = [\x -T- A^f + (A;/ - A>7)^ + (Aj -^ M)\

Si l'on considère les deux molécules comme infiniment voisines, ainsi que cela arrive pour les molécules qui peuvent agir les unes sur les autres, on peut écrire

I A dv . , dri . , dn .

AV f'^ A I '^^^ A , f'^ A

ce qui revient à négliger les puissances des quantités infiniment petites ùix, Ay, Az supérieures à la première. Si maintenant on désigne par a, 13, -) les angles que fait avec les axes la droite qui joint les molécules dans leur position primitive, on aura

1 Aj'-=^ V cos a,

(3) A^ = Vcos/S,

( Ar = V cos y.

Si l'on remplace, dans l'équation (2), Aj;, Ay, A: par leurs valeurs tirées des équations (3), puis, dans l'équation (1), Aar, Ay, A:: Aç, Aï7, A^ par leurs valeurs tirées des équations (2) et (0), il

vient, en supprimant le facteur commun V-,

I ( 1 4- e )- = (^t-os a + j^^, cos a + -^j- cos /S + ^ cas 7 j

(a) ', + ( cosp + y-, cos a+ -7-, cospH--pcos7 1

1 + {'''' y ^ Tv '''' « + cTy '''' ^-^Tz. ^^^ y) •

Considérons maintenant les angles a, /S, y comme définissant la direction du rayon vecteur d'une surface ayant pour centre le point dont les coordonnées sont x, y, z, la longueur de ce rayon vecteur

étant égale à • Si nous représentons par X, Y, Z les coordonnées

de l'extrémité du rayon vecteur rapportées au point (x, y, 3) pris pour origine, on aura

(1 ou

^^^cosa,

,^,cos/S,

cos y,

cos a -

cos /S

En |)ortant ces valeurs de cos a, cos (6 et cos y dans ré(|uation (/i), (i+e)- disparait comme facteur commun, et il reste

-(x + ix + ^YH-fzy

dri dy

d'C Y I f^^ V I dX, r.

Y-i-^^X-ff^Y + fzV

dx dy dz )

Le second membre, ne contenant que les carrés des quantités X, Y, z et les produits de deux de ces quantités entre elles , représente un ellipsoïde ayant pour centre le point (^x, ij, z).

37G DOUBLE REFRACTION ACCIDENTELLE.

Donc, si autour d'un point du corps on prend, sur une direction quelconque, une longueur en raison inverse de i +£, e représentant la dilatation de l'unité de longueur dans la dii^ection considérée, le lieu des points ainsi obtenus dans les différentes directions formera la surface d'un ellipsoïde qu'on peut appeler VelUpsoïde de dilatation. Si l'on considère, en particulier, les trois axes de symétrie de cet ellipsoïde, on voit que la connaissance de leurs longueurs respectives permet de calculer la longueur d'un ravon vecteur avant une direction déterminée, d'où il résulte que, lorsqu'on connaît les dilatations qui s'exercent suivant trois directions rectangulaires particulières, on peut calculer la dilatation [)our toute autre direction donnée. Les trois directions qui jouissent de cette propriété se nomment directions principales , et on appelle dilatations principales celles qui se manifestent suivant les directions principales.

306. Théorèmes du parallélipipède et du tétraèdre. — Pressions principales. — Représentation géométrique des pressions. — Nous avons maintenant à nous occuper des forces qui s'exercent dans l'intérieur du corps. On leur donne souvent la dénomination de pressions moléculaires, mais il est préférable de les a[)peler tensions, parce que ces forces peuvent être des tractions aussi bien que des pressions. Considérons un élément de surface passant par un point du corps : si nous supposons que toute la partie du corps qui est située d'un côté de cet élément soit supprimée, il faudra, pour rétablir l'équilibre, appliquer à cet élément une force qui remplace l'action de la partie supprimée; cette force peut être du reste normale ou oblique à l'élément de surface, et, suivant qu'elle tend à l'enfoncer dans la partie restante ou à l'en détacher, elle constitue une pression ou une traction. Ces forces varient avec la position du point considéré et avec la direction de l'élément de surface sur lequel elles agissent. Mais, comme pour les dilatations, on peut démontrer que la connaissance des pressions qui, à un point donné, s'exercent sur des éléments de surface avant des directions quelconfpies. dépend uniquement de la connaissance de trois pressions principales, qui sont perpendiculaires aux éléments sur lesquels elles agissent.

Pour l'aire voir qu'il en est ainsi, menons par le point considéré m (fig. 5/i) trois axes rectangulaires mx, my, mz; prenons sur l'axe nix une longueur a, sur l'axe my une longueur b et sur l'axe mz une

longueur c, et avec ces trois arêtes construisons un parallélipipède recm^^^^^=^^^^^^^ tangle. Pour que l'équilibre existe I^H^^^I^H^^^^B dans le corps solide tout entier, il est IBi^^^B^S^SI^H 'i^c^^^^it'*^ ^^ sulïisanl qu'il v ait équil^^^^^^^^ÊU^M libre entre les forces qui agissent sur

chacun des éléments parallélipipédi- Fig. 5'4. ques dans lesquels on peut le supposer

décomposé. Cette remarque va nous permettre d'établir une relation remarquable entre les composantes des pressions qui existent sur les éléments de surface passant par un point du corps.

Considérons les pressions qui agissent sur les différentes faces du parallélipipède, c'est-à-dire les forces par lesquelles il faudrait remplacer l'action de la partie du corps située du côté extérieur de ces faces, si cette partie du corps venait à être supprimée. Désignons par A, A', A" les composantes parallèles aux axes de la pression qui agit sur la face du parallélipipède perpendiculaire à l'axe des x, et passant par le point m, origine des coordonnées; par B', B, B" les composantes de la pression sur la face perpendiculaire à l'axe des y, et passant par l'origine; et enfin par C", C, C les composantes de la pression sur la face perpendiculaire à l'axe des z et passant par l'origine, A, B' et C" étant d'ailleurs les composantes parallèles à l'axe des X, A', B, C les composantes parallèles à l'axe des y, A", B", C les composantes parallèles à l'axe des z.

En passant d'une face du parallélipipède à la face parallèle, les forces varient de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes, et ces variations seront contre-balancées par les forces extérieures qui agissent sur le parallélipipède ; ces forces extérieures sont des infiniment petits du troisième ordre, puisqu'elles agissent sur un élément solide infiniment petit, qui est lui-même un infiniment petit du troisième ordre. Les pressions sur les faces du parallélipipède étant du second ordre, leurs variations seront du troisième ordre et feront équilibre aux forces extérieures.

Verdet, VI. — Opliquc, II. 30

11 sullira donc de faire entrer dans les six équations qui oxprinienl les conditions d'équilibre les forces agissant sur les faces du parallélipipède. Dans la première série de ces équations d'équilibre, série qui exprime que sur chaque axe la somme des composantes des forces est nulle, nous pourrons négliger les termes du troisième ordre. Mais il n'en est pas de même pour les trois dernières conditions, qui expriment que la somme des moments des forces, par rapport à chacun des trois axes, est nulle, et que, par conséquent, le corps ne peut tourner autour d'aucun de ces axes : ces moments, en effet, sont les produits des forces par leurs bras de leviers; ils sont donc du troisième ordre et on ne peut négliger que les termes du (|uatrième ordre.

Nous allons chercher à exprhner que la somme des moments des forces par rapport à l'axe des x est nulle, et pour cela nous pouvons supposer que la force qui agit sur chacpie face est appliquée au centre de gravité de cette face. Des trois composantes qui agissent sur la face située dans le plan des xz, une seule, B, a, par rapport à l'axe des x,

Bc un moment dont la valeur est — ; ce moment doit être pris avec le

signe—, |)arce que cette force B tendrait à faire tourner le corps

Bc autour de l'axe des x de droite à J^auche: donc — — est le moment

de la composante B par rapport à l'axe des x. Sur la face opposée à celle que nous venons de considérer, les deux composantes B et B"

Br ont pour moments, par rapport à l'axe des x. — et — B"/;, le premier de ces moments étant pris avec le signe -j-, parce que sur cette face la composante B tend à faire tourner le corps de gauche à droite. La somme des moments des forces qui agissent sur les deux faces du j)arallélipi])ède parallèles au plan des xz par rapport à l'axe des x se réduit donc à — Wb. Par raison de symétrie, on voit immédiatement que la somme des moments des forces appliquées aux deux faces du parallélipipède parallèles au plan des xy par rapport a l'axe des x est égale à V/c. Quant aux moments des forces qui agissent sur les faces perpendiculaires à Taxe des x, ils sont de signes contraires et se détruisent réciproquement. La condition pour que la somme des moments des forces appliquées sur les faces du parai-

Iéli|)i|)ècle par rapport ii l'axe des x soit nulle est donc

Au lieu des composantes réelles des forces, nous allons introduire dans cette équalion les rapports de ces composantes aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent, c'est-à-dire les composantes des pressions rapportées à l'unité de surface. Nous désignerons le rapport d'une composante à la surface sur laquelle elle s'exerce par la même lettre (jue cette composante, mais en l'affectant de l'indice i. Nous avons ainsi

et, en substituant ces valeurs dans l'équation des moments, elle devient

On trouverait de même , en prenant les moments par rapport à l'axe des y et à l'axe des z,

On voit que, si l'on considère trois éléments rectangulaires passant par un même point, ces éléments ayant des surfaces égales, les neuf composantes parallèles aux axes des pressions qui agissent sur ces trois éléments se réduisent à six composantes distinctes. Désignons ces composantes distinctes par les six lettres A , B , C , 1) , E , F, et nous arriverons aux résultats qui sont contenus dans le tableau suivant :

COMl'OSAM'l'; l'Ali ALLÈMÎ ;'i l'axe des x. à l'axe des y. à l'axe des z.

Face perpendiculaire à faxe des ,r. . . Face perpendiculaire à Taxe des // . . . Face perpendiculaire à Taxe des : . . .

Les pressions qui s'exercent sur trois éléments reclangulaires pas-

saut par un même point ne sont donc pas indépendantes les unes des autres.

Le théorème que nous venons de démontrer est dû à Cauchy. En considérant un tétraèdre au lieu d'un parallélipipède, il est arrivé à une seconde proposition qui porte le nom de théorème du tétraèdre et qui permet d'obtenir la représentation géométrique des pressions. Menons encore parle point considéré m (fig. 55) trois axes rectangulaires : prenons sur l'axe des x une longueur a , sur l'axe des y une longueur b et sur l'axe des z une longueur c. Les trois points ainsi obtenus forment avec le point m les sommets d'un tétraèdre. En employant le même raisonnement que pour le parallélipipède,

on fera voir que, pour que le corps soit en équilibre, il faut que les conditions générales de l'équilibre soient satisfaites pour les forces qui agissent sur les faces du tétraèdre. Désignons par w la surface de la base du tétraèdre , c'est-à-dire de la face opposée au sommet m; supposons qu'on fasse passer par le point m un élément de surface parallèle à cette base et ayant même superficie cj, et appelons Pw la pression qui s'exerce sur cet élément. P sera la pression rapportée à l'unité de surface, et la pression sur la base co, qui s'exerce en sens contraire, sera sensiblement égale, si on la rapporte à l'unité de surface , à — P.

Soient (j)\ co", œ" les surfaces des trois faces du tétraèdre respectivement perpendiculaires à l'axe des x, à l'axe des y et à l'axe des z, et appelons X, (x, j; les angles que fait avec les axes la direction de la pression —P. La première condition d'équilibre, celle qui exprime que la somme des projections des forces sur l'axe des x est nulle, sera, en tenant compte des résultats obtenus pour le cas du parallélipipède,

- Vco cos A4- Aw'4-^V+ Ew"'= 0.

Si nous désignons par a, j3, y les angles que fait avec les axes la

normale à la base du tétra(klre, nous aurons

w'=CiJCOsa, 5t)"=ci)Cos/S, (>}"=uQ,osy,

et par conséquent l'équation précédente devient (i) Pcos X = Acosa+ FcosjS+E COS7.

On trouvera de même, en projetant les forces sur l'axe des y et sur l'axe des z, les deux équations

(2) PcoS|a = Fcosa + B cos/S + Dcosy,

(3) P cos ii^E cosa + Dcos/S4- Ccosy.

Les trois autres équations d'équilibre, celles qui expriment que la somme des moments des forces par rapport aux trois axes est nulle, sont satisfaites identiquement; il n'y a donc pas à s'en occuper.

En élevant au carré les trois équations (1), (2), (3), et en les ajoutant, il vient

( P-=(Acosa+Fcos/3+Ecos7)2 + (Fcosa+Bcos/S + Dcos>)2 ^ '^j -f (Ecosa + Dcos/S + Ccos7)2.

Considérons a, /S, 7 comme les angles que fait avec les axes le rayon vecteur d'une surface ayant pour centre l'origine, et donnons

à ce rayon vecteur une longueur proportionnelle àp^ c'est-à-dire à

l'inverse de la pression qui agit sur l'élément perpendiculaire à ce rayon vecteur, et il résultera de l'équation précédente, comme nous l'avons vu à propos des dilatations (305), que la surface, lieu des extrémités des rayons vecteurs, sera colle d'un ellipsoïde qui est en général à trois axes inégaux.

Cet ellipsoïde est entièrement déterminé lorsqu'on connaît les longueurs de ses trois axes de symétrie, longueurs inversement proportionnelles aux pressions qui s'exercent sur les trois élémenls de surface qu'on peut mener par l'origine perpendiculairement à ces axes. Il en résulte que, quelle que soit la distribution des dilatations et dos compressions, les pressions (jui s'ox'^rofMit autour d'un point

382 DOIBLE REFRACTION ACCIDENTELLE.

flu corps sur les dilTérents (déments de surface qu'on peut faire passer par ce point sont dis(rii)uées symétriquement par rapport à trois axes rectangulaires passant par le point considéré; de plus, on voit que l'on peut calculer la pression qui s'exerce sur un élément de surface passant par le point considéré et avant une direction cjuelconque, pourvu qu'on connaisse les trois pressions exercées sur les trois éléments menés par ce point perpendiculairement aux axes de l'ellipsoïde: ces trois pressions, rapportées bien entendu à l'unité de surface, reçoivent la dénomination de pressions principales. Il est facile de montrer que ces pressions principales sont normales aux éléments de surface sur lesquels elles s'exercent, ou, ce qui revient au même, parallèles aux axes de l'ellipsoïde.

(cherchons en effet quelles sont les directions pour lesquelles les angles a, (j., v sont égaux aux angles a, (3, y, c'est-à-dire pour lesquelles la pression est normale à l'élément sur lequel elle s'exerce. 11 suffit, pour cela, de remplacer, dans les équations (i), (2). (3). A. (j., V par a. /S, 7, ce qui donne les trois équations

P cos a = A cos a + F cos jS + E cos 7, Pcos/S= Fcosa + Bcos/S + Dcosy, P cos y = E cos a 4- D cos ,5 -j- C cos y.

Or, ces équations sont précisément celles qui déterminent la direction des axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation [h).

Si nous rapprochons ces résultats de ceux que nous avons obtenus pour les dilatations, nous serons conduits à admettre que les axes de l'ellipsoïde des pressions coïncident en un point donné du corps avec les axes de l'ellipsoïde des dilatations, et que, par suite, les pressions principales sont parallèles aux dilatations principales. Si les dilatations sont petites, on peut admettre que les pressions principales et les dilatations principales sont liées par des relations linéaires, e( on voit enfin (jue la pression en chaque point sur un élément de surface donné peut se calculer si l'on connaît les trois ])ressions j)rincipales, (|ui sont elles-mêmes des fonctions linéaires des dilatations |)rinçipales. Nous su|)j)osons qu'il s'ajjisse d'un corps homogène e( isotrope: |)our un tel corjjs, les directions des axes de

Tf^lipsoïde qui représente à la fois les dilatations et les pressions sont parallèles en tous les points du corps, et de plus les coefticienls par lesquels s'exprime la dépendance mutuelle des pressions principales et des dilatations principales sont indépendants de In direction de ces axes.

Ceci posé, en désignant par j^^, p', p" les pressions principales, par £, e'. s' les dilatations principales, par /:, 1/, k" des coefticients conslants pour lout le coi'ps, on peut écrire

j) = h£-\-l,'s' -\-li"e".

On peut simplifier cette formule, car, s étant la dilatation principale parallèle à la pression principale j) , il est évident que le coeflicient de s doit être différent de ceux de s et de s", et cpie les coefticients de s et de s" doivent être égaux, puisque rien ne dislingue l'une de l'autre les directions perpendiculaires à la pression ji. L'équation précédente devient donc

On trouverait de même

Introduisons dans ces équations la dilatation cubique au point considéré : en désignant cette dilatation cubic[ue par v, on a

et les équations précédentes deviennent

(lauchy, dans ses calculs, désigne par h la quantité que nous avons appelée A — A, et par A- celle que nous avons appelée h. Si nous flous conformons à ses notations, qui sont généralement employées,

les équations précédentes deviennent

(i) p ^=Jis -\-kv,

(a) p'=hs'-\-kv,

(3) f=y'+hv.

La connaissance des coelîicients h et h, ainsi définis, permet de résoudre les questions relatives à la compression ou à la dilatation d'un corps soumis à l'action de forces extérieures. Prenons pour exemple un cylindre comprimé ou dilaté dans le sens de sa longueur par une force égale à P agissant sur ses bases. Une des pressions principales sera évidemment parallèle au sens dans lequel s'exerce la compression ou la dilatation et égale à la force P, qui est supposée rapportée à l'unité de surface; les deux autres pressions principales, qui sont perpendiculaires à l'axe du cylindre, sont nécessairement nulles. On a donc (/i) ^ = hs + kv.

De plus, par raison de symétrie, e' et s" sont égaux : on peut donc poser

OU

En remplaçant, dans l'équation (a), f' par zéro et s par sa valeur, il vient

(5) o = A- — -\-kv.

Si h et h sont connus, les équations (/i) et (5) permettent de déterminer complètement £ et v. On en déduit en elïet

il) P=/i£4-, ,=-1 7-^-

V est de même signe que s si // et k sont de même signe, c'est-à-

dire qu'à une compression correspond une diminution de volume et à une traction une augmentation de volume. Quant à la dilatation

transversale — —■> elle peut être positive ou négative. La théorie

laisse donc indéterminée la question de savoir si à un allongement du cylindre correspond une dilatation ou une contraction du diamètre transversal du cylindre. Pour résoudre cette question il faut déterminer par l'expérience y et e, ce qui fera connaître, au moyen des équations précédentes, les coefficients h ei k.

Cagniard-Latour a fait des expériences dont il crut pouvoir conclure que, dans le cas d'un cylindre comprimé sur ses bases, on a toujours

d'où, d'après l'équation (6),

et

h=Qk.

Wertheim, au contraire, en expérimentant également sur des cylindres comprimés ou dilatés, trouva la relation

d'où l'on déduit, au moyen de l'équation (6),

Les expériences de Cagniard-Latour n'ont aucune valeur démonstrative à cause du peu de précision que comporte la méthode suivant laquelle elles ont été faites. Quant à celles de Wertheim, elles ont porté sur un petit nombre de corps jouissant de propriétés spéciales, et leurs résultats ne peuvent pas être généralisés. D'ailleurs, il est complètement impossible qu'il y ait entre les deux coefficients h et k une relation indépendante de la nature du corps. En effet, supposons que h soit très-petit; les équations (i), (a), (3) montrent que

;586 DOUBLE REFRACTION ACCIDENTELLE.

les trois pressions principales sont alors très-près d'être égales entre elles; par suite, l'ellipsoïde se rapprochera beaucoup d'être une sphère, et les pressions seront prescjue normales à tous les éléments, quelles cnie soient leurs directions. On voit que dans ce cas les pro- ])riétés du corps seront analogues à celles des liquides : ce sera un liquide visqueux. Dans les corps réellement solides, au contraire, les coefficients li et k ont des valeurs comparables entre elles, et, puisque la nature offre toutes les transitions entre les liquides parfaits et les solides proprement dits, il est impossible qu'il ne puisse pas y avoir entre les coefficients li et /■ un très-grand nombre de relations différentes suivant la nature du corps. C'est donc en vain que Wertheini a cherché une relation constante entre ces deux coefficients. Quant au résultat de Cagniard-Latour, il est positivement erroné ; c'est ce qu'ont montré des expériences plus précises exécutées après lui sur les mêmes corps.

307. Travaux de IVeuniann. — A l'époque où Neumann a exécuté son travail analytique sur la théorie de la double réfraction accidentelle (i8/n), la théorie de l'élasticité était très-peu connue, bien que Poisson et Cauchy eussent déjà publié, en 1828 et en 1829, des mémoires où se trouvaient exposés les principes de cette théorie. Leurs mémoires n'étaient pas répandus à l'étranger, et Green est le seul qui semble en avoir eu connaissance. Avant cette époque, Poisson et Lamé avaient considéré la question de l'élasticité sous un autre point de vue, en admettant qu'il s'exerce entre les molécules des forces attractives ou répulsives proportionnelles à leurs variations de distance. Cette théorie conduit à des formules qui ne contiennent qu'une seule constante et qui, par suite, sont certainement inexactes.

Or Neumann a pris pour point de départ de ses calculs les formules établies par Lamé, Navier et Clapeyron. De là une première cause d'erreur qu'il est impossible de corriger aujourd'hui. Il serait donc complètement inutile de déterminer par l'expérience les constantes qui entrent dans les formules de Neumann.

Nous pouvons, à l'aide des considérations qui précèdent, donner une idée simple de la théorie de Neumann. Nous avons vu, dans la

THEORIE. ;î87

tliéorie de la double réfraction [\''2^), que, dans un milieu homogène quelconque, il existe toujours un ellipsoïde tel, qu'en faisant une section par le centre on obtient une ellipse dont les axes ont des longneurs inversement proportionnelles aux vitesses des ondes planes qui ont leurs vibrations parallèles à ces axes. L'hypothèse de Neumann consiste à supposer que, dans un corps homogène et primitivement isotrope, mais déformé par la compression ou la dilatation, les trois forces élastiques principales sont des fonctions linéaires des trois dilatations principales. On peut par conséquent écrire, en désignant par A, B, G les forces élastiques principales et par G le rapport de la vitesse de ])ropagation du mouvement dans le milieu considéré à sa vitesse de propagation dans le vide, les équations suivantes :

A, B et G, étant les forces élastiques principales, ont des valeurs proportionnelles aux carrés des vitesses suivant les axes de l'ellipsoïde, et par suite inversement proportionnelles aux carrés des longueurs des axes de cet ellipsoïde.

G'est de ces trois équations que Neumann prétend déduire les ])hénomènes qui se passent dans un corps uniformément comprimé ou dilaté. Mais ici se présente une grande difficulté : c'est qu'on ne peut pas faire d'expériences sur un parallélipipède dont toutes les faces sont soumises à l'action de forces normales. On ne peut opérer qu'avec des corps comprimés dans une seule direction, ou tout au plus dans deux directions rectangulaires. Il est donc imjnissible de détermmer expérimentalement les constantes p et <j.

Quoi qu'il en soit, il n'est pas sans intérêt d'indiquer ici les deux méthodes expérimentales employées par Neumann. Dans la première il observa les lignes isochromatiques d'une lame de verre courbée. La ligne noire correspond au fdet des molécules qui n'ont été ni éloignées ni rapprochées, et on peut calculer les différences de marche qui correspondent aux autres lignes isochromatiques. Neumann, en assimilant ces fdets de molécules à un fil allongé ou

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comprimé, et en admettant la loi posée par Cagniard-Latour (306), a pu établir une relation entre la différence de marche et les coefficients p et q. D'après lui , on a pour le verre

la valeur de G étant o,6bh.

Dans une seconde série d'expériences, Xeumann plaça la lame de verre courbée au devant de deux ouvertures très-rapprochées et éclairées de manière à pouvoir produire des phénomènes d'interférence. Il s'arrangeait de façon qu'un des faisceaux interférents traversât la lame dans une région où il y a dilatation, et l'autre dans une région où il y a compression. Les apparences sont assez confuses; mais, en les étudiant avec un analyseur, Neumann a pu prendre des mesures et arriver ainsi aux relations suivantes :

qui déterminent des valeurs négatives pour p et pour q.

xMalgré l'incertitude qui règne dans toute la théorie de Neumann, on peut regarder les signes des coefficients p et q comme parfaitement établis. En effet, si on introduit dans les calculs de Neumann la relation donnée par Wertheim et qui est très-approchée de la vérité, du moins pour le verre, on trouve le même signe négatif pour les coefficients p et q.

Il résulte de là une conséquence remarquable, c'est que, si l'on comprime un morceau de verre d'une manière uniforme, la vitesse de propagation doit augmenter dans l'intérieur de la substance, et par suite l'indice de réfraction doit diminuer. Une dilatation, au contraire, produit une diminution de la vitesse de propagation, et par conséquent un accroissement de l'indice de réfraction. Ce résultat ne peut pas être vérifié directement par l'expérience, mais on en déduit une conjecture très-plausible sur ce qui se passe quand les corps éprouvent une faible variation de température. Si cette variation est très-petite, on peut admettre qu'elle n'a d'autre effet que

de dilater le corps et par suite d'augmenter son indice de réfraction. Cet accroissement de l'indice par un léger échauflVnient a été vérifié expérimentalement par Neumann '-^K