Principes foiidanientaiiiL admis par Fresnel
Les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière polarisée ont été exposées par Fresnel pour la première fois en 182 1 ^'\ puis plus complètement en 1828 '-'. Cette théorie n'est applicable qu'aux milieux isotropes ou uniréfringents. Elle s'appuie sur quatre principes que nous allons faire connaître successivement; les deux premiers sont incontestables, les deux derniers ont un caractère un peu hypothétique.
1° Principe des forces vives. — Fresnel admet le principe des forces vives sous la forme que lui a donnée Young. Il suppose un
'') Ann. de chim. et (le phys., {'2),\\ll, 190, 3if>. — OEuvres complètes , t.[,p.G/io. '^' Mém. de l'Acad. des se, XI, SpS. — Aini. de chim. et de phys., (•>), XLVF, 225. — Œuvres complètes , t. I, p. 767.
éther parfaitement élastique, dont les molécules après les vibrations sont ramenées au repos en cédant aux molécules suivantes tout le mouvement qu'elles ont reçu, d'où il résulte que toute la force vive du rayon incident doit se retrouver dans le rayon réfléchi et dans le rayon réfracté. En réalité ce principe n'est pas absolument vrai, car en l'établissant on néglige la présence de la matière pondérable qui retient une partie de la force vive. Cette absorption de la lumière produit dans la matière pondérable des changements permanents, tels cpie ceux qui se révèlent à nous sous la forme de la chaleur. Nous en ferons abstraction dans la théorie que nous allons exposer, c'est-à-dire que nous imaginerons un éther fictif, parfaitement élasticjue , dégagé de toute matière pondérable. Aussi verronsnous que les résultats de cette théorie s'accordent parfaitement avec l'expérience quand les milieux sont transparents; approximativement seulement quand la transparence n'est pas complète, et qu'enfin, pour les milieux qui absorbent fortement la lumière, l'expérience s'écarte complètement de la théorie.
9° Principe de contiymité. — Le second principe est celui de continuité, aussi évident que le premier. Voici en quoi il consiste : si on fait deux sections infiniment rapprochées de la surface de séparation des deux milieux, l'une dans le premier, l'autre dans le second milieu, les vitesses et les déplacements des molécules prises sur les deux sections et dont les distances sont infiniment petites ne diffèrent elles-mêmes que de quantités infiniment petites. Ces différences ne peuvent pas être nulles; car si, à un instant quelconque, les molécules infiniment voisines avaient même mouvement, le mouvement communiqué à l'une d'elles pendant cet instant ne se transmettrait pas aux autres, et la propagation du mouvement s'arrêterait. Les diflférences de vitesses et de déplacements ne peuvent pas non plus être du même ordre de grandeur que les déplacements et les vitesses, car alors il se développerait des forces élastiques infiniment grandes par rapport à celles qui mettent réellement les molécules en mouvement , et ces forces résistantes ramèneraient dans un temps infiniment court les différences à n'être plus qu'infiniment pelites. Enfin, si los différences sont infiniment ])otitcs, les forces élastiques sont de même ordre que celles qui font mouvoir les mo-
lécules et ramènent ces molécules dans leur position d'équilibre. C'est ce qui a lieu non-seulement pour les molécules infiniment voisines d'un même milieu, mais encore pour les molécules de deuxmilieux différents et contigus, lorsqu'elles sont à des distances infiniment petites. Ce principe est soumis aux mêmes restrictions que le premier.
3° Hypothèse des changements brusques à la surface de séparation. — Le troisième principe ne se trouve qu'implicitement dans Fresnel; il admet que le changement de vitesse et de déplacement s'opère brusquement à la surface de séparation des deux milieux. L'expérience paraît au premier abord vérifier cette hypothèse, car, si près qu'on les prenne de la surface de séparation, le rayon réfléchi et h» rayon réfracté possèdent les mêmes propriétés qu'à une grande distance de cette surface. Mais il faut dire que les distances de la surface de séparation auxquelles on peut expérimenter sur les rayons, même lorsqu'elles sont autant réduites que possible, sont toujours encore très-grandes par rapport à la longueur d'ondulation ; or celle-ci est du même ordre de grandeur que la distance dans les limites de laquelle peuvent s'opérer les changements, s'ils se font graduellement. On ne commettra donc qu'une très-faible erreur en admettant que ces changements ont lieu brusquement à la surface de séparation.
h° Hypothèse sur ht constitution de l'éther. — Fresnel admet comme quatrième principe que la différence des vitesses de propagation de la lumière dans les différents milieux isotropes tient uniquement à la différence des densités de l'éther dans ces milieux , tandis que l'élasticité de cet étlier est la même dans tous les milieux isotropes, (îe principe est une simple hypothèse tant qu'on ne fait pas intervenir des considérations étrangères à l'ordre de questions dont nous nous occupons actuellement.
Il en résulte, comme nous l'avons vu plus haut, que les vitesses de propagation dans les différents milieux sont en raison inverse des racines carrées des densités de l'éther dans ces milieux, et cette relation nous permettra d'établir l'équation des forces vives en déterminant les masses qui entrent dans celte équation.
Les phénomènes do la polarisation rectiligne montrent simplement
que les vibrations sont symétriques par rapport à ce qu'on est convenu d'appeler le plan de polarisation ; mais ils n'indiquent nullement si les vibrations d'un rayon polarisé rectilignement ont lieu parallèlement ou perpendiculairement à ce plan de polarisation. Fresnel, pour trouver des lois de la réflexion et de la réfraction conformes à l'expérience, a été obligé de supposer les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Ainsi l'hypothèse de la constance de l'élasticité de l'éther entraîne celle de la perpenclicularité des vibrations au plan de polarisation , et ces deux hypothèses n'en font en réalité qu'une.
Nous commencerons par étudier la réflexion et la réfraction de la lumière polarisée rectilignement, et nous traiterons en premier lieu les deux cas les plus simples, celui où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence et celui où elle est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.
312. Réflexion de la lumière polarisée dans le plan d'incidence. — Lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, les vibrations des rayons incidents sont perpendiculaires à ce plan ; tout est alors symétrique par rapport à ce plan , et par conséquent les vibrations des rayons réfléchis et réfractés doivent lui être perpencUculaires. Donc, lorsque les rayons incidents sont polarisés dans le plan d'incidence, les rayons réfléchis et les rayons réfractés sont polarisés dans le même plan.
11 reste à déterminer l'intensité de la lumière réfléchie. Le principe de la continuité du mouvement va nous fournir une première équation. Prenons pour unité l'amplitude du rayon incident; le mouvement vibratoire sur le rayon incident sera représenté par
sin 97r 77; au temps l, T étant la durée d'une vibration; il s'agit, bien
entendu, d'un mouvement simple, c'est-à-dire d'un rayon d'une couleur déterminée. Prenons dans le second milieu une molécule infiniment voisine de la surface de séparation : le mouvement de cette molécule, d'après le principe de continuité, aura même phase et même période que celui d'une molécule prise dans le premier milieu . mais l'amnlitude sera différente. Si nous représentons cette
THEORIE DE FRESNEL. ûOl
amplitude par u et si nous remarquons que, d'après le troisième principe posé par Fresnel , l'amplitude u doit conserver une valeur constante dans le second milieu, nous verrons que sur le rayon réfracté le mouvement vibratoire est représenté par wsinQTrrp;- De
même, en désignant par v l'amplitude du mouvement réfléchi dans le premier milieu , le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi est
représenté par vsin 271-^ • La résultante du mouvement incident et
du mouvement réfléchi est (i -\-vj sin 27r;7;i puisque ces mouvements
sont rectilignes et parallèles; et, d'après le principe de continuité,
cette résultante doit être égale au mouvement vibratoire du rayon
réfracté : on a donc
(^1 -{-vj sm 27r r-p = Msm qtt pp^
d'où
1 + r = îi.
Le principe des forces vives va nous fournir une seconde équation qui, avec la première, servira à déterminer les amplitudes v et u. A cet efTet, cherchons à quelle portion de l'élher se transmet dans le mouvement réfléchi et dans le mouvement réfracté la force vive d'une portion déterminée del'éther animée du mouvement incident. Fresnel considère à cet eff'et un prisme rectangulaire d'éther ayant pour dimensions dans la direction du rayon incident une longueur MN (fig. 56) égale à X, dans le plan d'incidence une largeur quel- Fig. 50. conque MK que nous désignerons par d, et
dans le sens perpendiculaire à ce plan une hauteur quelconque que nous nommerons k. Le volume du prisme est donc Idh. Si nous représentons par sin qtt rp le mouvement vibratoire du point M au
temps t, le mouvement vibratoire d'une section faite dans le prisme perpendiculairement au rayon incident et à une distance x du point M sera représenté à la même époque par sin stt L-p — "^j » et la force
Zi02 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIERE POLARISÉE.
vive de la tranche infiniment petite d'épaisseur dx correspondant à cette section aura pour expression , si l'on prend pour unité la densité de l'éther dans le milieu incident,
hddx sin^ ^^"^ [t ~ y) '
Pour avoir la force vive de tout le prisme il suffit d'intégrer, par rapport à œ, depuis zéro jusqu'à A, ce cjui donne
hd
£sin2 27r({,-f)j.x
Cherchons maintenant la force vive du mouvement réfléchi. Pendant que le mouvement de la molécule N vient en N', celui de la molécule M se transmet en un point M' tel que l'on ait
MN = M'iN'^A.
Le volume auquel est transmis le mouvement du prisme d'éther considéré dans le mouvement incident est donc encore X hd; l'amplitude seule a changé dans le rapport de i à v, de sorte c|ue la force vive du mouvement réfléchi est égale à
hdi
2j^sin^.7r(^.-f)^^.
Passons maintenant à la lumière réfractée. Lorscpe le point N aura transmis son mouvement en N", le point M aura transmis le sien en M", et, comme dans ces deux trajets la partie NM" est commune, M"N" doit avoir été parcouru dans le même temps que MIN; or MN = X, donc M"N" = X', X' étant la longueur d'ondulation dans
le second milieu. La dimension K"M" a pour valeur d-~^-> i et r
1 ces i
désignant les angles d'incidence et de réfraction; la diuîension h n'a pas changé. Quant à la densité de l'éther dans le second milieu ,
d'après le quatrième principe, elle est égale à kit/, enfin l'amplitude
du mouvement réfracté est représentée par ii. On a ainsi pour valeur
fie la force vive du mouvement réfracté
tt:; lia : M- sin- 271 ,T — -^0 (IX'
A- cos ? jo VI A y
L'équation des forces vives peut donc s'écrire
lui 1 sin- 271 f fp — V j dx = hdv' i sin^ 277 (tt. — v) dx
d'où
/ o\ r^ • c, ft a-\ 1 X-ii'cosr f^' • „ ft x\ ,
(i-.-)J^sm-27r(^-^j r/.r = -^--.j^ sin^ ^tt (^,--,j ./.r.
Si l'on pose ^=2/' '^'^ ^
[ sin^- 2 T ({. ~ f ) = l£ sin^ 27r ({, - y) ./y
et
en sorte rpie l'éq nation des forces vives se réduit ù
„ X CCS 7^ o
X' cos i
p > 1 X ^ sin /
dou, en remplaçant v pai' -"—.■
( 1 — 11-) sin r cos / = n^ sin î cos r.
Cette équation, avec la première, détermine r pAu; on en tire successivement
(1 — v) (i + î') sin r cos i^=u- sin ?* cos r, ( 1 — r) sin r cos < == u sin / cos r,
on tenant compte de la relation i-\~v=u, et enfin
(1 — r) sin r cos ? = ( 1 -|- v) sin / cos r.
hOU RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIERE POLARISEE.
d'où
sin rcos ; — sin j cosr sin'/ — r)
sinrcos ( + sin icosr sin ; + rj
Telle est l'amplitude du rayon réfléchi. Quanta son intensité, si
on la désigne par R, celle du rayon incident étant prise pour unité,
on a
sin- {i—iA
On voit que le signe de la vitesse ed vibration v du rayon réfléchi est semblable ou contraire au signe de la vitesse de vibration du rayon incident, suivant que le second milieu est moins ou plus réfringent que le premier.
Supposons d'abord le second milieu plus réfringent que le premier, c'est-à-dire 2>>r, et cherchons comment varie v. Pour î = o, c'est-à-dire pour l'incidence normale, la valeur de v se présente
sous la forme -• On lève cette indétermination, soit en prenant le
rapport des dérivées et en passant à la limite, soit en remarquant que, lorsque i tend vers zéro, les sinus des angles i — r et i-i-r tendent vers les arcs i—r et i-{-r, de sorte que l'on a, dans le cas de l'incidence normale,
r= — lim -■ — == — Imi
Mais, comme
n étant l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier, il vient
A mesure que l'angle d'incidence i croît, le numérateur augmente et le dénominateur croît pour décroître ensuite, en sorte que, pour voir comment varie v, il faut chercher le signe do la dérivée,
qui est
cos [i — '•) ( 1 — r- ) sin (/ + r) — cos [i + r) ( i + -r-. j sin (/ — ?•) sin- [i -+■ r)
OU, en remplaçant -r- par ^ ce qui résulte de la relation
. ' . i •> rfi J II cos /• 1
sin i = n sin r,
. f cost \ . .. . ,. , /' cos/ N . ,. ,
— cosu — r 1 sin < + /■ +cos [i + ri i h sni [i —r)
^ ' \ n cos rj ^ ' ^ ' \ Il cos rj
sin- [i + r) ou, plus simplement,
, COSi .
— sin 2r-\ sin 21
n cos r
sin^(i-+-r)
et, en remplaçant/* par sa valeur,
— sin arsin / cos7" + cos/sinrsin 2?" sinfcosrsin-(i-i-/)
ou
2 sin i cos- 1 — cos- 7'
sin i • , , •
cos 7' sin- 7 + 7'
sin /•
et enfin
2 sin 7 (cos- 7 — cos- 7') 71 cos 7' sin- (t -h 7-)
Cette expression est toujours négative; v décroît donc quand i augmente, et, comme v est négatif, sa valeur absolue augmente avec l'incidence. Donc, quand la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, l'intensité du rayon réfléchi augmente avec l'incidence. Sous l'incidence rasante, ^ = 90 degrés et l'on a y = 1 ; dans ce cas, le rayon réfléchi a même intensité que le rayon incident.
Tous les résultats précédents s'appliquent au cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, seulement le signe de v est positif. De plus, n étant alors plus petit que l'unité, il arrive un moment où sin i devient égal à n. Si l'on dépasse cette limite, on a sin r > 1 , et l'angle r devient imaginaire. L'expression de v, qui contient cet angle, est donc aussi imaginaire et a besoin d'être in-
/i06 REFLEXIO.N ET REFRAGTlOiN DE LA LUMIERE POLARISEE.
terprétée, comme nous le ferons plus loin. Ainsi le cas de la réflexion totale se trouve écarté de la discussion précédente.
313. Réflexion de la lumière polarisée perpendiculairenient au plan d'incidence. — Lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, ses vibrations sont dans ce plan d'incidence, et, comme il n'y a pas de raison pour qu'elles en sortent, il doit en être de même des vibrations des rayons réfléchis et réfractés. Donc, quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, les rayons réfléchis et réfractés sont aussi polarisés perpendiculairement à ce plan.
Pour déterminer l'intensité de la lumière réfléchie, il faut suivre la même marche que dans le cas précédent. Le principe des forces vives, en désignant par u' et v' les amplitudes du rayon réfracté et du rayon réfléchi, conduit encore à l'équation
( 1 — v~) sinrcos i = u"^ sinicos r.
Mais les vibrations des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, bien qu'étant contenues toutes trois dans le plan d'incidence, ne sont plus parallèles comme dans le cas précédent. Il faut donc deux équations pour appliquer le principe de continuité. On peut, par exemple, prendre dans le plan d'incidence deux axes, l'un parallèle à la surface de séparation, l'autre perpendiculaire, décomposer les vibrations suivant ces axes et écrire les équations qui résultent pour chaque axe du principe de continuité. On a ainsi deux équations incompatibles, et l'une d'elles doit être écartée. Fresnel a supposé qu'il suffisait d'appliquer le principe de continuité aux composantes des mouvements vibratoires parallèles à la surface de séparation. Cette hypothèse s'appuie sur la transversalité des vibrations lumineuses, d'où il résulte qu'il peut se produire, dans le sens longitudinal, une discontinuité quelconque, sans que les ondes cessent de se transmettre. C'est l'inverse de ce qui se produit pour le son. Pour la transmission d'un son d'un milieu dans un autre, de l'air dans l'eau par exemple, il importe peu que les molécules d'air glissent ou non sur la surface de l'eau; il suffit, pour que le son passe dans l'eau,
qu'il se [)rodiiise sur la surface de l'eau une pression normale régulière et continue; le principe de continuité n'est nécessaire que pour la composante verticale de la vitesse. Dans l'éther, c'est l'inverse, et il doit suffire, pour la transmission de la lumière, que les vibrations aient lieu d'une manière continue parallèlement à la surface de séparation.
En appliquant le principe de continuité aux composantes parallèles à la surface de séparation des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, on a immédiatement l'équation
( 1 — y') cos i = v! cos r.
v' devra être pris positivement ou négativement, suivant que sa composante parallèle à la surface de séparation tombera du côté opposé à la composante de la vitesse du rayon incident, ou du même côté, ce qui aura lieu suivant que la vitesse du rayon réfléchi et celle du rayon incident coïncideront ou seront dans le prolongement l'une de l'autre lors([u'on fera tourner le rayon réfléchi de manière à l'amener sur le prolongement du rayon incident.
^ous avons donc, pour déterminer î)' et u', les deux équations,
( 1 — v''^) sin r cos i =^ u''~ sin i cos r, (i — y') cos i = u' cos r.
En remplaçant u' dans la première équation par sa valeur, tirée de la seconde , il vient
(i +i'') cos r sinr = (i — v') cos i sin ^,
, sin i cos i ■- sm r cos r sin 21 — sin 2/'
sin i cos i + sin r cos r sin 21 + sin 2r
^,^tang{i-r)
tane: {1 + r
L'intensité R' du rayon réfléchi a donc pour expression, quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence >
j^,tangMi-^), iang' [i + r)
/i08 REFLEXION ET REFRACTION DE LA LUMIERE POLARISEE.
Supposons le second milieu plus réfringent que le premier et considérons d'abord le cas de l'incidence normale, c'est-à-dire faisons ^ = G. On aura encore lim y' = lira-: = Dans ce cas
particulier v' a la même valeur que la vitesse v qui correspond à la lumière polarisée dans le plan d'incidence. Cela se conçoit facilement, car, lorsque l'incidence est normale, le plan d'incidence n'a plus de direction déterminée, et tout plan normal à la surface peut être regardé comme plan d'incidence. Si les signes des valeurs de v et de V sont différents, cela tient purement à une convention différente, et il est facile de vérifier que, dans un cas comme dans l'autre, la vitesse du rayon réfléchi est de signe contraire à celle du rayon incident.
A mesure que l'angle d'incidence i augmente, la vitesse v' diminue, comme on peut le prouver en prenant la dérivée de y', qui est toujours négative. C'est du moins ce qui a lieu, jusqu'à ce que l'on ait i-{-r=^o degrés; la direction du rayon incident est alors donnée par la formule tang i=-7i, et le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté. Mais, si l'on fait ^-}-r=90 degrés, la vitesse v' du rayon réfléchi devient nulle, et ce rayon est complètement éteint. Si l'angle d'incidence augmente au delà de la valeur qui correspond à /+ r= 90 degrés, la vitesse v' change de signe et augmente en valeur absolue. Enfin, sous l'incidence rasante, on a î = 90 degrés, et la vitesse v' est égale et de signe contraire à la vitesse du rayon incident. L'angle d'incidence, donné par la formule tang î = n, et pour lequel le rayon réfléchi s'éteint complètement, est ce c|u'on appelle l'angle de polarisation cotnplète.
Si le second milieu est moins réfringent que le premier, la vitesse v' change de signe. Dans ce cas, l'angle r atteint la valeur 90 degrés avant l'incidence rasante, lorsque l'on a s'm i=^n. Si l'angle i dépasse cette valeur, r devient imaginaire; c'est l'angle de la réflexion totale. Nous laisserons de côté, pour le moment, tout ce qui est relatif à la réflexion totale.
Dans le cas où le second milieu est plus réfringent que le premier, nous avons trouvé que l'angle de polarisation complète était donné par la relation tang ?"-=;/. Supposons ni.'iintenant que la lu-
THEOHIK ])\i FRESNEK. W.)
inière repasse du second milieu dans le [)renner : ou aura de même jDOur l'angle de polarisation complète tangî'=»«', et, comme
?«' = -> on a tangy' = T — ^^ d'où i-\-i'=^()0 degrés; mais comme
i-\~r=()0 degrés, on a i'=r. Si donc on fait tomber sur la surface de séparation de deux milieux un rayon sous l'angle de polarisation complète, le rayon réfracté dans le second milieu fera aussi avec cette surface l'angle de polarisation complète relatif au second milieu.
31^. Réflexion «le la liimière polarisée dans un plan quelconque. — Le cas où la lumière incidente est polarisée dans un plan rpielconque se déduit immédiatement des deux cas cjuo nous venons d'étudier. Les vibrations du rayon incident peuvent, en effet, se décomposer en deux composantes, l'une située dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculaire à ce plan, ou, en d'autres termes, le rayon peut se décomposer en deux autres rayons polarisés, l'un perpendiculairement au plan d'incidence, l'autre dans ce plan d'incidence. Si l'on désigne par a l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence, et qu'on prenne pour unité l'amplitude du rayon incident, celle du rayon polarisé dans le plan d'incidence a pour valeur cos a, et celle du rayon polarisé perpendiculairement à ce plan est représentée par sin a. Après la réllexion, les amplitudes de ces deux rayons sont représentées respectivement,
,, , , . sin(«-r)
d après ce que nous venons de voir, par — cos a -■ — -- — - et par
