i sin (<4-r

sin a 7 — ^-^ : • Le rapport de ces deux amplitudes étant indépen-

tang (j-hr) 1 t l •

dant du temps, on voit qu'il n'y a qu'un seul rayon réfléchi polarisé reclilignement. L'amplitude de ce rayon est la résultante des amplitudes de ses deux composantes; on a donc

'sl'

sin- ((—/■), . , lang- («-/• cos^ a - • ., , ■ : + sin- a

sin'^ (/ + /•) tang-- (/ + /■)

et, par conséquent, l'intensité R" du rayon réfléchi a pour expression

Tj„ g sin- (<-'■] , • o tang2(f-r) R" = cos^a • ., ■ ■ -h sur a , — Vr \ "

Le rayon réfléchi n'est plus polarisé dans le même plan (|ue le

Verdrt, VI. — ()|)liijiii', II. ■•]''

Ziin RÉFLFAION ET RÉl'R\(:T10N DH \.\ LIMIKRE POLARISÉE.

ravoii iiK'ideiil. Si l'on (l<'sij;no par & l";in;;lr (!<• pohirisiitioii du ravon R-fléchi avec le plan (riiicideiice. on a

laiij]|S =

sin a

laiii: / — /■;

laiigi /-!-/•

cos

sin ! / -- /■

d'oii

cos / -^ r

ianp[6= — lainra ■■

o I o cos I — r

C'csl cette dernière forniide ([ue iioii> avon.s à discuter. Le rapport

1 r 111 1 11 ■•. ' cos {i-\- r)

de taiijj 5 a tau^^ a dépend de la valeur de la quantité — • , •

(aUte quantité est toujours moindre que l'unité: cela est évident

tant (|ue Z + r est plus ])etit que 90 degrés; mais, si i -^ r dé-passe

, , ... ,.,.,, . cos 1/4- r ,

90 degrés, cos (» + /•) devient negatd. et 1 expression — ^^^ , • ^ ■,

reste encore plus petite (pie Tiinité. hii ell'et, l'inégalité

cos / H- /•. ,

cos / — /•

é(pii\anl à

— cos ( / H- r ) <<i cos ( i — r)

ou à

— cosMMjsj'+^in/sinr <Ccosj cos rH- si 11? sin r

ou enfin à

— :i cos i cos ;• <:^ 0 .

ce qui est évident.

On voi! par là (pu' la n'Ilexion a pour ellet de rapprocher le plan de polarisation du plan d'incidence. Mais, dans la manière dont se lail ce rapprochement, il v a deux cas à consid(''rer, suivant que l'angle d'incidence est plus petit ou plus grand rpie Fangle de la polarisation conq»lète. Dans le premier cas. on a *-|-/'<d90 degrés. et lan<f,6 est de signe contraire à langa: le plan de polarisation (\n ravon iN-né-chi passe donc de l'autre côté du plan dincitlence. Si. au contraire, on a '-f-''I><)0 degrés, Ii's deux plans de polarisalinn du ra\(in r(''n<'Mhi e| du ra\()ii incidenf soûl du UKune côté du plan (I inruleui-e. I);ins le (fis inleiiui'diau'e eu i aii;;|i' ' est relui de

THEOHIE DE FKESiNEL. Zill

la polarisation complète, c'est-à-dire où l'on a i-\-r=ijO degrés, il vient /3= o, c'est-à-dire que le plan de polarisation du rayon réfléchi se confond avec le plan d'incidence.

Lorsque, le second milieu étant moins réfringent que le premier, l'angle d'incidence est celui de la réflexion totale, et que, par conséquent, on a r==90 degrés, ou lorsque, le second milieu étant plus réfringent que le premier, on a ^ = 90 degrés, il vient

tang /3 = tang a;

dans ces deux cas, le plan de polarisation du rayon n'est donc pas dévié par la réflexion.

Ce qui précède montre la marche du plan de polarisation du rayon réfléchi depuis l'incidence normale jusqu'à l'incidence de la réflexion totale, ou jusqu'à l'incidence rasante. Pour l'incidence normale, on a tang /S = — tang a; le plan de polarisation du rayon réfléchi fait donc avec le plan d'incidence et de l'autre côté de ce plan un angle égal à celui que fait le plan de polarisation du rayon incident avec ce même plan d'incidence. A mesure que l'incidence augmente, le plan de polarisation se rapproche du plan d'incidence; il se confond avec lui lorsque l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et vient se confondre avec le plan de polarisation du rayon Incident lorsque l'angle d'incidence est celui de la réflexion totale, dans le cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, ou lorsque l'incidence est rasante , dans le cas contraire.

Après une première réflexion, on a, en désignant par «j l'angle du plan de polarisation du rayon réfléchi avec le plan d'incidence ,

cos(i-f-r) tang ai = — tang a

ces [i — r]

Si l'on fait réfléchir une seconde fois la lumière, en conservant le même plan d'incidence et la même valeur de l'angle d'incidence i, on aura

cos ii + r) , cos^ (« + '')

tanP[ a., == — tang a, —--r ^^ = i^^^R "^ ^^,0 , ■ ; '

o - o icos(i — rl o cos- [i — r)

et, en général, après n réflexions successives, s'opérant toujours

îlii lŒFLKMON 1:T REFIIACTIU.N DE LA LLMIKIIE l'OLAUlSEE.

dans les mêmes condifioiis. on ci

, cos"i't + /-)

Il laiil prendre le signe + si n est pair, le signe — si » est impair.

. ... /cos(/ + r)V' , , , , . • 1 T •

La nnantite ^^ tend vers zéro ciuana Jt auinnenle indelmi-

ment. Le plan de polarisation du rayon rélléchi tend donc, lorsque le nombre des réflexions augmente, à se confondre avec le plan d'incidence.

315. Réfle^ikion de la lumière polarisée cireulairement ou elliptiquement. — l n ravon polarisé cireulairement ou elliptiquement peut toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux ravons polari.^é> rcctilignenient . l'un dans le plan d'incidence, l'aude dan> le plan perpendiculaire, et avant des phases différentes. Si on applique à chacun de ces rayons polarisés rectilignement les formules que nous avons trouvées pour les deux cas dont il s'agit, nous aurons les comjiosantes du rayon réfléchi suivant le plan d'incidence et suivant un plan perpendiculaire, et on en déduira facilement la nature et l'intensité du ravon réfléchi. La discussion des formules auxquelles on arrive ainsi sans aucune difliculté ne présente guère dintérèt, et nous nous bornerons à examiner un seul cas , c'est celui où un rayon polarisé cireulairement se réfléchit sous l'incidence normale. Dans ce cas, le rayon réfléchi est encore polarisé cireulairement, mais le sens de la polarisation est renversé : le ravon réfléchi est polarisé de gauche à droite si le rayon incident est polarisé de droite à gauche, et réciproquement. En efl'et, la vibration circulaire du ravon incident peut être considérée comme la résultante de deux vibrations rectilignes s'eftectuant , l'une dans le plan dincidence, l'autre dans le plan perpendiculaire. Après la réflexion, les vitesses de chacun de ces mouvements ont avec les vitesses du mouvenieni incidenl ini rapport qui ne dépend pas du temps. Les vibrations du ravon réfléchi seront donc encore circulaires: seulement, comme, parmi les deux vitesses des mouvements rectilignes, l'une aura changé de signe dans la réflexion, le sens dans le(pi('l le cercle est parcouru sur le rayon

THEORIE T)E FRESNEL. ^i1,3

réfléclii résultant sora rpaloinent clianjjé. Cette conséquence de la théorie, déduite par Earnsliaw, a été vérifiée expérimentalement par Povvelld).

316. Réflexion de la lumière naturelle. — IVous avons vu précédemment (^189) (juelle est la constitution de la lumière naturelle. Nous allons ici donner aux conditions que doit rem])lir un système de vibrations elliptiques ponr constituer de la lumière naturelle uni* forme qui nous sera |)lus coiiHUodc pour étudier la réflexion et la réfraction de la lumière naturelle. Ce qui caractérise cette lumière, c'est qu'elle donne, dans un analyseur biréfringent, deux images de même intensité, quelle que soit la position de cet analyseur. Soient n et h les axes d'une vibration elli|)ti(pie à un instant donné, et w l'angle de l'axe b avec la section principale de l'analyseur. Les équations du mouvement vibratoire rapportées à ces axes seront

|=r/sin97rr-pi ïi = h cos -271 tt. ■

Pour avoir le mouvement vibratoire sur les deux rayons dans lesquels se décompose le rayon incident en pénétrant dans le prisme , il faut décomposer le mouvement qui se fait suivant chacun des axes de l'ellipse en deux autres, l'un ])arallèle et l'autre perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, ce qui donne, pour le rayon ordinaire,

a cos (i) sin â tt ft, — b sin oj cos •) tt ?p 1 et pour le rayon extraordinaire,

a sin o) sui '> TT ,p + /> cos w cos v. tt rp ■

D'après les règles connues des interférencps les inten'^ilés de cos doux rayons seront, pour le ravon ordinaire,

d'^ C0S'-W-|- A" SMI^O», t') IM. %■;.. (:5j, Wll. y,.,.j(i.j.

lil'-i REFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE, et pour le rayon extraordinaire,

rt- sin- GO + Ir ros- w.

Telles sont les valeurs de ces intensités pendant une première période où les quantités a, h et co restent constantes, c'est-à-dire oii les vibrations elliptiques ne changent pas. Pendant une seconde période, a, h, co changent de valeur et deviennent a\ h', co', et ainsi de suite.

Nous avons vu que chacune de ces périodes, quoique trèscourte, peut comprendre un grand nombre de durées de vibrations. Dans un temps très-court par rapport à nous, il y a un grand nombre de ces périodes, et la sensation produite pendant ce temps, que nous supposerons toujours le même sans le préciser davantage, sera la moyenne des intensités qui correspondent à chaque période.

Pour que les images données par l'analvseur soient de même intensité, il faut donc qu'on ait pour le temps considéré

(i) ^ (r/-cos'^Ct)+/rsin-w) ='y [n^s'm-(U)->rh^cos~Ci)j.

Cette équation doit être satisfaite, non-seulement pour une valeur particulière de w, mais encore pour toute position de l'analyseur, c'est-à-dire pour toute valeur de oo.

En désignant par 6 un angle quelconque, on doit donc avoir

= y[aHm^œ-6)-\-h\of^''(ru>-6)].

En développant le premier membre il vient

^ [fi- (cosoj cos^+ sinwsin^)- -!-/>- (sincijcos^ — coswsin6')^]

+ 2sin6cos6V (a^ — h-^sinro coso).

On (ruine de même, pour le second membre,

— -2 siii^cos^^ i^a- — //-)sina) coso). En tenant compte de i'éipiation ( j ) il reste

2, {"''~^ //-)sina^ cosii)=^- -^ (^tr - /rjsincy cos^), (t on

^ (^r - /;-)snia' c()sci>= 0.

Donc, pour (pinn système de vibrations elliptiques donne de la lumière naturelle, les deux conditions suivantes doivent être satisfaites :

7^ ( a~ cos- CitJ -"h A- SI ) 1' ^' ) = ^ ( d' sin'"' oo + />" cos- co j , ^ (""- - //-jsino) cos&; = o.

Ceci posé, revenons à la réllexion de la lumière naturelle et cbercbons d'abord à calculer l'intensité de la lumière réfléchie. Représentons par I l'intensité de la lumière incidente, par a et b les axes de la vibraticm ellij)licjue et par co l'angle du petit axe avec le plan d'incidence. Le ravon elliptique incident peut se décomposer en (\i'u\ rayons polarisés rectilif;nemenf , l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans un plan perpendiculaire. Le calcul que nous venons de faire donne pour les intensités de ces rayons pendant un temps très-court, pris pour unité,

7 («-cos'-a)+ //-sin'-w) <'t ^ ( a' sin- co -f Ir cos'- co ).

Si la lumière est naturelle, d'après ce (pu a (^(('' dit plus liant, ces deux quantités doivent être égales, et par consé(|uent rinlensit('' de

chacun des rayons polarisés rectilignement est égale à - • i^es intensités des rayons réfléchis correspondants seront, d'après les ior-

'iK; IJKPf.KXION ET r.EI'l'. ACTION DE LV El \[[EP.E POEAUISEE.

mules trouvées précédemment,

1 sin- (/ — /■) o, sin- (/ 4-/'j

1 taiif;- ii — r] 1 tang- ('-+-/')

On a donc pour l'intensité du rayon résultant, c'est-à-dire du ravon n'fléclii,

1 sin- i — r] , i lang^ (?' — n

2 sin- ( / -H /■ i 2 tang- ( ( + r,

On arriverait au m«^me résultat en remplaçant le ravon de lumière naturelle par deux rayons égaux en intensité et polarisés à angle droit, l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans un j)lan perpendiculaire. Ce peut être là un moven de se rappeler la formule, mais en réalité ces rayons polarisés à angle droit n'existent pas, car il faudrait les supposer indépendants l'un de l'autre, incapables de se combiner pour ne donner qu'un seul mouvement , et de tels rayons n'existent pas.