Polarisation totale ou partielle «le la lumière
naturelle par la réfleiLion. — Etudions mauitenant les propriétés qu'acquiert la lumière naturelle lorsqu'elle a été réfléchie.
Lorsquon i\i-\-r= oo deeres, la quantité i — —-■ : s annule,
et il ne reste plus que la composante polarisée parallèlement au plan d'incidence; la lumière réfléchie est donc dans ce cas particulier complètement polarisée dans le plan d'incidence.
Dans tous les autres cas, les vibrations sont encore elliptiques après la réilexion, et ces ellipses ont été modifiées d'une manière qui n'est plus la même pour toutes, mais qui agit toujours dans
I A T^ (T . 1 ,1 tang (i — r) v sini/ — r)
le même sens, hn etlet, le rapport de -, — ^—. [ a -■ — -. ; est
1 i lang \i + r) sm(i-i-/')
' • ; , quantité' plus petite que l'unité. La composante de l'amplitude parallèle au |)lan d'incidence a donc été diminuée par la ri'llexion |)lus ([uo la composante perpendiculaire à ce |dan; ces
THÉOaih: DE KUKSNKL. ^17
doux composantes n'étant plus égales, la lumière réfléchie ne peut être de la lumière naturelle: elle ne peut éfre que partiellement polarisée.
Pour vérifier qu'il en est bien ainsi, cherchons l'efFel produit sur cette lumière réfléchie par un analyseur biréfringent. Pour plus de simplicité, supposons la section principale de cet analyseur dans le plan d'incidence. Alors le rayon polarisé dans le plan d'incidence donnera seul le rayon ordinaire, et le rayon polarisé perpendiculairement à ce plan donnera seul le rayon extraordinaire, de sorte qu'en désignant par 0 l'intensité du ravon ordinaire, par E celle du ravon extraordinaire, on a
^ isinM' — '■) u I tanq^-(' — '■)
yJ = — • ., ■ . 1 Jli --= - 7 — ^T7~- ; •
2 sm- (<+/•) 2tang^(? + /)
L'image ordinaire étant plus intense que l'image extraordinaire, ce résultat s'accorde bien avec l'expérience. On peut écrire l'identité
^ 1 sin- (' — '■) i tang- (/ — /■), i 1 sin- (/ — r) tang- (/ — /)']
2sin-(/ + /) 2 tang- (/ + ?') 2LsiiV'(« + r) tang- {/ + /•) 1'
(I on
2 j sin- (? + /■) laiig- {/ -H/) J
En ne prenant que le premier terme de l'expression de 0 et en le combinant avec le rayon extraordinaire, on a de la lumière naturelle, et il reste en plus le second terme de 0 ([ui représente de la lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence. On peut donc regarder la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle connue composée d'une certaine proportion de lumière naturelle et d'une autre proportion de lumière complètement ])olarisée dans le plan d'incidence. Mais ce n'est l.-'i qu'une convention utile pour abréger les raisonnements, car ces deux mouvements, s'ils existaient, se composeraient aussitôt en un seul.
Lorsqu'on fait arriver sur un analyseur biréfringent un rayon de lumière partiellement polarisée, on trouve deux positions de la section principale de l'analyseur pour les(|uelles les intensités des
M 8 RHFI.EXION HT RKFRACTlUN Di: LA LLMIKRE POLARISEE.
deux iinnjjfs sonl é^jales et (Iftix autres pour lesquelles la dift'érencc d'intensité est un tnaxIiiHim. On dit (|ue \e plan de polarisation partielle est parallèle à la section principale de l'analyseur lorsque cette section occupe la position pour la([ueile Limage ordinaire est maximum. Entre CCS (piatre positions, les intensités des deux images varient d'une manière conlmue.
Sur un ra\ou de lumière partiellement polarisée, les conditions nécessaires pour (pie la lumière soit naturelle ne sont ])as réalisées. On peut donc poser, en appelant a et h les axes de la vii)ration elliplifpn: el v l'angle ([ne iait I a\e /> avec la section principale de l'anahseur pour une certaine position de cette section, celle où elle est !>ai'all(''lc an plan d nicidencc,
^ ( a- cos- V -f- /'- sin- w ) == A-. ^ ( ir sin"- V + //- cos- ùj ] = H"-. ^ ( ^/- - //- )sina'cos'i> = (l.
Considérons maintenant une autre position de la section principale Taisant avec la preniière un angle 0: si on désigne par A'- et par B"- les intensités du ravoii ordinaire et du rayon extraordinaire, on aura
A'- = A-cos"-^— B-sin-^^-'Csin^cos^.
B"-^ = Asin^^ + B'^cos2^- oCsin^cos^.
(diacune de ces expressions est essentiellement positive et n'es! jamais ni nulle m infinie : elles ont tloiic cliacuin^ un maximum et un minimum. .\p[)elons j)lan de polarisation partielle la position de la section principale de l'analvseur pour laquelle A- est un maximum. On a, en éfjalant à zéro la dérivée de A-,
(I ou
•i(B-— A-jsin^cos^---)(:cos->^- ().
On a ainsi pour ^y deux \aleiir> (liiréi'en'es de 180 degrés, ce ipn
donne deux plans rectangulaires dont l'un est le plan de polarisalion partielle et l'autre le plan correspondant au minimum de l'image ordinaire. 9 est l'angle dont il faut faire tourner la section principale de l'analyseur pour la faire coïncider avec le plan de polarisation partielle. Si donc C = o, on a aussi ^= o, et la section principale de l'analyseur coïncide avec le plan de polarisation partielle. Revenons maintenant à la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle. Il est facile de voir cjue C est nul. En effet, l'intensité du rayon réfléchi polarisé dans le plan d'incidence, au lieu
d'être ^ {^a- cos^ co -ir b^ sin- oo) comme dans la lumière incidente, est
• , , ■ ; y('i'^cos~CA)-i'b~Hin~CA)). Si l'on chansfe co en w—O, le
multiplicateur de sin 6 cos 9, au lieu d'être, comme dans la lumière
partiellement polarisée , ^ (rr— é'^) sin wcosw, facteur qui a été
1 , • , r, sin(i — r) -^ / ,, j.,^. . f,
désigne par t, sera -■ — r- \ ^, «•'—«" smwcosw. Le terme sera
encore nul puisque la lumière incidente est naturelle, et, par suite, le terme qui dans la lumière réfléchie est représenté par G est nul, d'où il résulte que le plan de polarisation partielle de la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle est le plan d'incidence.
En résumé, lorsque des rayons de lumière naturelle se réfléchissent, la lumière réfléchie est toujours partiellement polarisée dans le plan d'incidence, sauf le cas où l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et, dans ce cas, la lumière réfléchie est entièrement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité de la lumière réfléchie est égale à
1 sin^ (« — '■), 1 tang-- [i — r) 1 sin' [i+r] 2 tang- [i + r]^
et cette lumière réfléchie peut être considérée comme composée d'une certaine proportion de lumière polarisée complètement dans le plan d'incidence, dont l'intensité est égale à
1 / sin^ (« — '') tang- ( / — r )
2 V sin^ ( « + r ) tang- (« + /■) ou à
cos* [i + r
\ sin- [i — r] r 2 sin- (/ + /') L
ros^ i
et d'une certaine proportion de lumière naturelle dont l'intensité est égale à
tang'^ [i + r]
En désignant par m- la proportion de lumière naturelle contenue dans la lumière réfléchie et par ?/'- la proportion de lumière polarisée dans le plan d'incidence, on a
Supposons maintenant que ces premiers rayons réfléchis se réfléchissent une seconde fois sous la même incidence et dans le même plan, on aura, après la seconde réflexion,
^2 / 0 , m-\s'm-[i — r] „2 mMang- ('-'")
2/sin-{j4-r -^ 2 tany;' ( f -4- /■
C'est donc encore de la lumière partiellement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité totale delà lumière réfléchie est, après deux réflexions,
,-, ni^ \ sin- ( / — r ) m- tang- [i — r]
2 ysin-(î + r) 2 tang-(t + r)
La proportion de lumière naturelle a pour intensité
„ tang- [i — r]
lang- ( / ■
et la proportion de lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence
.. sin- (/- r] . 771- fsin- [i — i-] tang- li
sin- ( / -I- 7- ) 2 sin"-' (i + r) tang- ( i +
On voit que par la seconde réflexion la quantité de lumière naturelle diminue, tandis que celle de lumière complètement polarisée augmente; il en sera de même si on fait réfléchir la lumière une troisième, une (piatrième lois. Donc, par une série de réflexions successives, la lumière naturelle tendra à être complètement polarisée dans le plan d'incidence.
THEORIE DE FRES.NEL. Zi21
318. Réfraction de la lumière polarisée dans le plan d'incidence. — L'étude de ia réfraction de la lumière polarisée est tout à fait analogue à celle de la réflexion. Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Le rayon réfracté sera alors également polarisé dans le plan d'incidence. Pour déterminer son amplitude u, nous pouvons nous servir des deux équations que, dans le cas delà réflexion, nous avons déduites du principe de continuité et du principe des forces vives et qui sont
1 + V = M , (i — r-)sinrcos/^= K-sinîCOsr.
En éliminant v entre ces deux équations, il vient successivement
(i — v) sinr cosï = usini cosr, (2 — u ) sin rcosi^u sin i cos r,
et enfin
2 sin r cos i
sin(j + r)
Sous l'incidence normale, c'est-à-dire pour i = o, l'amplitude u
se présente sous la forme -: mais en remplaçant les sinus par les
arcs, comme nous l'avons fait j)lus haut, on voit que la vraie valeur de u pour l'incidence normale est
Si le second milieu est plus réfringent que le premier, pour l'incidence rasante, ^ = 90 degrés et u devient nul; par conséquent il n'y a plus de rayon réfracté. Si le second milieu est moins réfringent que le premier, lors([ue l'angle d'incidence a la valeur limite qui correspond à la réflexion totale, on a r= 90 degrés, et par suite
Pour une incidence supérieure à cette limite, il n'y a plus de rayon réfracté.
Pour avoir l'intensité du rayon réfracté, il ne suffit plus d'élever u au carré; m- ne mesurerait l'intensité du rayon réfracté qu'autant que i'étlier aurait la mérae densité dans les deux milieux, ce qui n'a pas lieu. Si nous nous reportons aux prismes d'étlier qui nous ont servi à établir les formules dans le cas de la réflexion , si nous prenons pour unité la masse du prisme qui se trouve dans le premier milieu, et si nous désignons par m ia masse du prisme situé dans le second milieu auquel se sera transmis le mouvement au bout d'un temps donné, l'intensité du rayon réfracté sera évidemment mii^. Or l'équation
( 1 — î'- ) si n r cos i = u~ sin « cos r,
qui contient les carrés des vitesses multipliés par les masses, montre que les niasses des deux prismes dont nous venons de parler sont entre elles comme sinrcosi est à sinîcosr, c'est-à-dire que l'on a
sin i cos r
sm rcosi
Il vient par conséquent pour l'intensité R^ du rayon réfracté
n ., sin i cos /' 4 sin- r cos- i
ti, = tnu~ = -■ . ■ ,, . r '
^ smrcosi sm- (i + r)
d'où
sin 2i sin 2r
Ri
sin- ' +'■
On aurait pu du reste arriver à cette expression en mettant l'équation des forces vives sous la forme
1 — v^ = inu-,
et en remplaçant f' par sa valeur-^ — r- .•> ce (lui donne
i ^ I sin(j-i-r) 1
sin^{i — r) sin"^ (/ + /■) — sin-(« — r)
mu^ =^ 1
sin-(î + 7') sin-(/-f-/-)
[sin (j + 7') + sin {i— r)] [sin (< + /•) — sin {i — r)] sin-(i + 7')
4 sin 7 cos/' cos/ sin /■ sin 2/ sin 27-
sin^(7 + r) sin^(/ + r)
expression identique à la précédente.
THEORIE DE FRESNEE. /i23
\oiis pouvons ainsi (lis<'n(('r plus facilcnienl la \alf'ur de l\^\ car, connaissant los vanalions de /•, nous en déduirons niiniédiatcmcnl celles de i--/r, ou de iiiit'\ c'est-à-dire de l'intensité Rj. Ainsi, pour / 0 , on a
donc
Telle est la valeur de Iinlensilé du ra\oM réfracté situs l'incidence normale.
Lorscpie le second niilieu est plus réfringent que le premier, pour l'incidence rasante, l'intensité devient nulle et il n'y a plus de rayon réfracté. H en est de iM('me, si le second milieu est moins lé- Iringent que le premier, lorsque l'angle d'incidence atteint la valeur limite de la réflexion totale, car alors on a r= ()0 degrés. Il semble au |)remie!' abord contradictoire que le ra\on réfracl*' soit nul dans ce dernier ca>. puis(pir nous avons trouvé» pour sou amidilude une valeur égale à •> ; mais si Fintensité est nulle, cela tient à ce que la inass(» m du prisme d'('(ber du second milieu est nulle dans ce cas.
319. Kéfraetion (le la lumière polariiiiée iierpentliciilairenient au plan (rineidenve. — Lorscpie le ravon incident csl polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, il est évident, par raison de s\niétrie, que le ravon n'Iract»' sera également polaris('' per[)endiculairemenl à ce plan. Pour déterminer ramplitiidc de ce rayon réfracté, reprenons les deux équations qui nous ont servi pour le cas analogue de la réflexion : ces deux équations sont
( 1 + v' ) cos( --= u'cosr, ( 1 - r- )sin/'Cos^ =-= (f'-sin*cosr.
On en déduit, en divisant la seconde (Vjualion |)ar la |)remière,
(i c')sinr=--«'sin/,
et. en remplaçant r' par sa valeur tirée de la (iremière ('ipialion.
,cosr\ . , . .
— u — — sui r -= u sin > ,
h^h RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
d'où
2 sin /• cosi /i sin /■ cos/
sin I cos; + sin r cosr sin 2? + sin 2r
et en lin
asinrcosi
sin f' + r) COSI/ — r)
Dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, nous avons trouvé pour l'amplitude du rayon réfracté
2 sin /■ COS 7
sin f /-(-/■ 1
On voil f|ue le rapport - est très-simple et a pour valeur j- — ; •
1 il H i 1 cos(< — r)
Ici encore l'intensité du ravon réfracté est égale à mu'- : elle a donc pour expression
Q , sin / cos r 4 sin- r cos- / ri, = -^
sin/" cos ; sm- [i + r) cos- (i — r
jy, sm2jsin2/'
s'm- { i -h r) cos- [i — r)
On peut encore obtenir cette expression au moyen de l'équation
1 — r"- =-■ mil',
(pii donne
,. tanff-'/ — r
mu-= 1 — ; — ,-/ ■ — ' fang- [1 -^i\
d'où, par des transformations faciles,
,., sin 2? sin 2r
mu - = -^— r, • ■ rp \ *
sin- '/ + /■) cos-{; — /■)
La discussion de la valeur de Rj' se réduit donc à celle de la
. . tang^ [i-r]
nuantite - — ^^^-rr-- : •
' tang- [I -f- /•;
Pour l'incidence normale, c'est-à-dire lorsque «==o, on a, en
Il I i • ' tang- / - /■ remi) acant les tanj^entes |)ar les arcs pour la quantité -, ■:r~- :'
la valeui' .' et par suite, pour »/*/- ou n,. la valeur , (iue
THEORIE DE FHES^EL 'i2o
nous avons déjà trouvée dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence.
Lorsque l'angle d'incidence i croît depuis zéro jusqu'à la valeur
1 11 • I ' 1 .■, r taii"- (i — r)
pour lanuelie on a / + r= no cienres, la quantité ; — ^^-r—- — -r va en 11 j n i tang- (?-!-/■)
décroissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en croissant.
Lorsc|ue l'angle i varie depuis cette valeur juscju'à 90 degrés, si le
second milieu est plus réfringent que le premier, ou jusqu'à la valeur
pour lacfuelle r= 00 degrés si c est l inverse, la quantité : — ^.
Il j o '1 taiig- (; + /•)
va en croissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en diminuant, et elle s'annule pour «=90 degrés ou pourr=qo de.o-rés, suivant la nature des deux milieux. On voit donc que, lorscpie la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, le rayon réfracté a son intensité maximum quand l'incidence est celle de la polarisation complète. Cette intensité est égale à l'unité et le rayon réfléchi est complètement éteint.
320. Réfraction de la lumière polarisée clans un plan quelconque. — Le cas de la lumière polarisée dans un plan (pielcon([ue se ramène aux deux ]n;écédents. On décompose le rayon incident en deux rayons polarisés l'un dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan, et dont les amplitudes sont, en prenant pour unité l'amplitude du rayon incident et désignant par a l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence, cos a et sin a. Les composantes de l'amjjlitude du rayon réfracté sont donc respectivement m cos a et m' sin a : comme le rapport de ces composantes est indépendant du temps, le rayon réfracté est polarisé rectilignement et l'angle de son plan de polarisation avec le plan d'incidence, angle que nous a])pellerons y, est donné par l'équation
n' , laima
tang7 = ^ langa
cos [i — r
tangy est de même signe que tanga, car i~r est toujours compris entre — 90 et -h 90 degrés, et par suite cos (i- r) est toujours positif; donc le plan de polarisation du rayon réfracté est toujours du même côté du plan d'incidence que le plan de polarisatioii du raxon iiici-
Vi:i!hKT. \ 1. — 0|,li(|ih'. II. -iS
