HA BA ,, . HA FA

duira lacilement r,-T- — tt-- "ais ;,-r- - ■ -.-{-.> donc

D'autre part :

: AC --- i!A X AE, le l'ecUidgle dotint;.

GA X Ai) r^-. ![A X Ai, le rectanglu donné.

La proposition est ainsi entijjrement établie; si donc, etc.

Dans ce cas. j'ai pris le point A en dehors du cercle donné de posi-

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12 ŒUVRES DE EERMAT. [lit]

tion; mais on peut le prendre au dedans, comme dans le second cas de la proposition 2.

Les quatre propositions précédentes supposent un seul point donné, les suivantes deux.

5. Proposition. — Si par deux points donnés un mène deux lignex parallèles dans un rapport donné, et gue l'extrémité de l'une se trouve sur un heu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre.

Soient A, TI (fig. 9) les deux points, CBDK une droite donnée de po-

sition, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. Soit HE parallèle à cette dernière, et ~ le rapport donné; le point E sera donne. Menez par ce point FEG perpendiculaire à HE et parallèle à la droite donnée de position. Je dis que toutes les parallèles, menées par les points A, H et terminées aux droites CD, KG données de position, seront dans le rapport donné jjp-

En effet, les angles BAD, EHG seront égaux, comme les droits en B, E; donc les triangles BAD, EHG seront semblables. Le reste est facile.

Si donc des deux points A, H, on mène les parallèles AD, HG dans le rapport donné, et que AD se termine à une droite donnée de position, HG se terminera aussi à une droite donnée de position, par conséquent à un lieu plan.

Dans la figure ci-contre {Jig. 10), soient donnés les points A, Z et, de position, le cercle BC de centre E. Joignez AE coupant le cercle

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[ilii] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 13

longez ZN jusqu'en I, -^ étant aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de 1 comme centre, avec IN commt^ rayon, sera (Uinné de position et satisfera à la question.

En effet, si l'on mène les parallèles AC, ZD, rencontrant les cercles aux points C, D, jr^ sera dans le rapport donné; car l'égalité des angles BAC, NZD ressort du premier cas de cette proposition ; le reste résulte du second cas de la proposition 3.

6. PnoPOsiTiox. — Si par deux points donnes on mena deux parallèles dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une soil sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre.

Soient donnés les deux points A, H {/ïg- ii), et de position la droite CE, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. Menez à

cette dernière la parallèle IIG, et soit AB x HG égal au rectangle donné. La droite HG sera donnée et le demi-cercle HGF décrit sur elle satisfera à la question.

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li ŒUVRES DE FERMAT. [ih. K>]

En effet, qu'on mène les parallèles quelconques AD, HF, et qu'on joigne GF, un reprenant les démonstrations précédentes, on conclura la similitude des triangles BAD, GHF et l'égalité de AD x HF au rectangle donné BA x HG. Si donc par deux points, etc.

Dans le second cas, soient donnés les points A, B (yfg-. 12), et de position le cercle IFGH. Soient menées AIH par son centre et la paral-

lèle BC; soient AI x BC et AH x BO égaux au rectangle donné; le demi-cercle décrit sur la droite OC satisfait à la question.

En effet, si l'on mène les parallèles AFG. BED, les angles HAG, CBD seront égaux et l'on démontrera l'égalité au rectangle donné de AGxBK et de AF x BD, comme dans le second cas de la proposition 4,

7. Pïsoi'OSiTiON. — Si par deua: points donnés on mène sous un angle donné deux droites dans un rapport donné, et que l'exlrémitè de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l' extrémité de l'autre.

Soient donnés les points A, B {fig. i3), et de position la droite IGH. Sur BA décrivez le segment de cercle ALB capable de l'angle donné. Du point A abaissez sur la droite IH la perpendiculaire AG, que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre avec la circonférence en I,. McncK

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lie, ni LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. la

LBE, et soit ~ dans le rapport donné. Menez FEDC perpendiculaire à BE, et prenez sur l'arc de cercle un point quelconque K, duquel vous mènerez, par A et B, les droites KAH, KBD rencontrant en H et D les droites IH, FC. Je dis que ■ y^ est dans le rapport donné -^•

Car, s'il en est ainsi, les triangles AGII, BED seront semblables : donc les angles GAH, EBD seront égaux, ainsi que leurs opposés par le sommet KAL, KBL. Mais cette dernière égalité a lieu, puisque ces angles sont inscrits dans le même segment, et il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse.

Si donc, par deux points A, B, on mené deux droites AH, liD, sous l'angle donné HKD -< et ayant entre elles un rapport donnée, si l'extrémité de AH est sur la droite IH donnée de position, l'extrémité de BD sera sur la droite FC, donnée aussi de position, d'après la construction.

Soient maintenant donnés les points A, B (Jlg. i4). et de position le cercle HF; sur AB décrivez le segment de cercle AKB capable de l'angle donné. Soit G le centre du cercle HF; joignez AHG, prolongezla jusqu'à sa rencontre en K avec l'arc de cercle, menez KBE, et soit -fTp dans le rapport donné. Prolongez BE jusqu'en D, en sorte que -.^^' soit aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de D comme centre sera donné de position et donnera la solution de la question.

Si en effet on mène lAF, IBC, les angles en A et B seront égaux, et le reste de la démonstration est facile; on voit aussitôt que jtt^ est dans

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16 ŒUVRES DE FERMAT. [n, 18J

Ic! rapport donné, et qu'il en est de même si l'on prolonge les droites jusqu'aux arcs concaves. Si donc, etc.

8. Pnoi'osrnoN. — Si par deux points donnés on mène deux lignes sous un angle donné et dont le rectangle soit donné, que l' extrémité de l'une soit sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de l'autre.

Soient donnés les deux points A, B (Jig- i5), et de position la droite Gl. Snr AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle

donné; menez AH perpendiculaire sur Gl et prolongez-la jusqu'en F. Joignez FB, à prolonger Jusqu'en C en sorte que AH x BC soit égal à l'aire donnée. Le cercle décrit sur la droite BC satisfera à la question. En effet, si l'on prend sur l'arc un point quelconque E, et qu'on Joigne EAI, EBD, Al x BD sera égal au rectangle donné.

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l^a démonsiration est la même que dans les cas qui pr^ciHliMit. Soient maintenant donnés les points A, B {fig. i6), et de (josition le cercle IKL. Stir AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle

donné. Menez par le centre la droite ANI, à prolonger jusqu'en G; joignez GB, et prolongez en sorte que AI x BC et AN x BD soient égaux à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur CD satisfera à la question; c'est-à-dire que si l'on prend un point quelconque comme H et qu'on achève la construction de la figure, comme ci-dessus, AK X BF et AL X BE seront égaux au rectangle donné. La démonstration est la même que dans les cas précédents.

Ainsi la proposition est établie, et le premier titéorènie irApoiioniiis ou de Pappus est éclaîrci.

Il faut remarquer que les cas pour lesquels nous avons indiqué seulement des demi-cercles donnent en fait les cercles entiers; d'ailleurs les diverses situations des données engendrent des cas multiples qu'on pourra, à loisir, déduire facilement des précédents par des raisonnements immédiats.

Pappus ajoute que le lieu plan, sur lequel se trouve l'extrémilé de la seconde droite, est tantôt du même genre, tantôt d'un genre, différent. Ce qui est clair : par exemple, dans la proposition I , il est du même genre; car, si la première droite se termine à une droîle, la seconde se termine aussi à une droite; et de même un cerrle conduit

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à un cercle. Dans la première pai'tie de la proposition 2, au contraire, et dans plusieurs autres cas, le lieu est d'un genre différent.

Pappus ajoute aussi que le lieu est tantôt situé de même par rapport à la ligne droite, et tantôt de façon contraire. Ces mots par rapport à la ligne droite n'offrent aucun sens et je pense qu'il faut les supprimer, .l'explique ainsi ce passage : tantôt le second lieu est placé d'une manière contraire au premier; par exemple, si le premier est la partie convexe de la circonférence, le second sera la partie concave, etc. Des exemples de cette opposition sont donnés clans les propositions ci-dessus.

Propositton il.

« Si l'on donne une extrémité d'une ligne droite donnée de position, l'autre sera sur une circonférence concave donnée de position. >i

Avec une pareille leçon, la proposition est fausse; il faut, par exemple, aux mots donnée de position, substituer ceux-ci : donnée de grandeur, et le sens sera : si l'on donne le diamètre et le centre d'un cercle, l'extrémité du diamètre sera sur un cercle donné de position. Ce qui est évident de soi et ne mérite pas qu'on s'y arrête davantage.

PROPOsrnoN III.

t( Si, de deux points donnes, on mène deux droites qui se coupent sous an angle donné, leur point commun sera sur une circonférence concave donnée de position. »

Cette proposition est évidente de soi, car le segment capable de l'angle donné et décrit sur la droite joignant les deux points est donné, comme l'a enseigné Euclide dans les Eléments.

Proposition IV.

« Si. d'un triangle d'aire donnée, on donne la base de grandeur et de position, le sommet sera sur une droite donnée de position. »

Cette droite sera une parallèle à la base; sa construction et tout le reste se tirent immédiatement du Livre I des Éléments.

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1201 LIEUX PLANS DAPOLLONIUS. 19

Proposition V, « Ni une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée de position, et qu'une de ses extrémités soit sur une droite donnée de position, l'autre extrémité sera aussi sur une droite donnée de position. »

Soit DE {Jig. 17) une droite donnée de grandeur et parallèle à la droite AC donnée de position. L'extrémité D est supposée sur une

droite AF donnée de position. Si par E vous menez BEG parallèle à AF, elle résout la question.

En effet, toutes les droites, comprises entre ces deux parallèles et parallèles elles-mêmes à la droite AC donnée de position, sont égales entre elles; ce qui est clair d'après la construction même.

Si donc une extrémité de l'une d'elles est sur AF, l'autre sera sur BG, comme le veut la proposition. 11 est facile de l'étendre ii des cercles.

Soit en effet AB (Jig. 18) une droite donnée de position, à laquelle

est parallèle NO donnée de grandeur. Soit le point N sur la (^irconl'é

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20 n-:uvRi:s iH' fermât. l^u.^ji

rence du lieixle CNM donné de posilioii. Jo dis que le poiiil 0 est sur un cercle donné de position.

Soit E le centre du cercle CNM; je mène le dianièlrc parallèle à AU et je le prolonge jusqu'en F, en sorte que OF = NO, la droite donnée. La droite CF sera donnée de position et de grandeur; je la prolonge en faisant FH = CD. Le cercle décrit sur FH résout la question, car li' point 0 sera sur sa circonférence.

En effet, soit le point 0 sur la circonférence du cercle FOP : les droites CN, FO, joignant les extrémités des parallèles égales CF, NO, seront égales et parallèles : donc les angles NCD, OFH seront égaux ; mais il en est ainsi, puisque les droites CD, FH, égales entre elles, sont parallèles aux droites NM, OP.

La proposition de Pap|His peut donc être con(,'iie plus généralemenl comme suit :

Si une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée de position, et qu'une de ses extrémités soit sur un lieu plan donné de position, l'autre extrémilé sera aussi sur iiti Heu plan donné de position.

Proposition VI .

n Si d'un, pouil on mène, à deux droites parallèles ou concourantes données de position, deux droites sous des angles donnés, et dans un rapport donné ou bien dont l'une, plus une droite dans un rapport donné avec l'autre, fait une somme donnée, le point sera sur une droite donnée de position. »

Cette proposition comprend deux parties, dont voici iapremiére: Soient deux droites AE, AF (/îg. 19) données de position et se coupant en A. Du point C, je leur mène deux droites CB, CD sous les angles donnés CBA, CDA. Soit donné io rapport ^- Je dis que le point C est sur une droite donnée de position.

Joignez AC, BD; dans le quadrilatère ABCD, <in a trois angles donnés : ABC, ADC, BAD; Tangle BCD est donc donné. Le rapport ^ est

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aussi donné par hypothèse, donc le triangle BDC est donné d'pspèce, donc les angles CBD, CDB. donc par différence les angles ABD, ADB. Donc le triangle ABD est donné d'espèce, donc le rapport ^; mais PP l'est aussi (puisqu'il est prouvé que le triangle BDC est donné d'espèce), donc ÏT7T le sera. Mais BA est donnée de position, ainsi que le point A; donc A(; est donnée de position, et si sur cctic droite ou

prend un point quelconque, et qu'on mène de ce point aux droites

données des droites sous les angles donnés, on prouvera que les

menées sont toujours dans le rapport donné.

Second cas, lorsque les droites données sont parallèles :

Soient les droites CA, CB i^fig. 20), sous les angles donnés C.\l),

CBF, et dans le rapport donné. L'angle CNB est donné, comme égal.

à cause des parallèles, au donné CAD; donc le triangle CNB est doiiné d'espèce, donc lo rapport -^; mais, par hypothèse, ~ est donné; doue

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j^x 'c sera, et il est dès lors facile de prouver que G osL sur une droite donnée de position.

Construction : Par le point lî quelconque, je mène la perpendiculaire IBM; IB est donné. Soit stjt = ûp- Par le point M je mène aux deux données une parallèle qui satisfera à la question, comme il est facile de le démontrer.

Si donc d'un point l'on mène, à deux droites parallèles ou concourantes données de position, des droites sous des angles donnés et dans un rapport donné, le point sera sur une droite donnée de position.

Voici maintenant la seconde partie de la proposition :

Soient données les droites AC, AG {fig. 21), concourant en A. Mcncï AN faisant avec la droite AC l'angle donné CAN, et égale à la

Fig. 2..

droite donnée. Menez NG parallèle à AC, et soit ROG l'autre angle donné. D'aprèsla première partie de cette proposition, menez GE telle que si, d'un point quelconque E pris sur cette droite, on mène ED, EF parallèles à RO, AN, elles soient dans le rapport donné; GE sera donnée de position, d'après ce qui a été démontré. Prolongez FE jusqu'en B, FB sera donnée de grandeur, comme égale à la donnée AN, à cause des parallèles. Quel que soit donc le point K pris sur la droite GE, si l'on mène de ce point aux droites AC, AG les droites ED, EB sous les angles donnés, BE plus EF, à qui ED est dans le rapport donné, fait la somme donnée, comme le veut la proposition.

Si donc d'un point on mène, ii deux droites concourantes données di' position, deux droites sous des angles donnés et telles que l'une,

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plus Une droite dans un rapport donné avec l'autre, fasse une somme donnée, le point sera sur une droite donnée de position,

Proposition VIL

« Soient en nombre quelconque des droites données de position, auxquelles on mène d'un point des lignes droites sous des angles donnés; si le produit d'une ligne donnée et d'une des menées, avec le produit de la ligne donnée et d'une autre menée, etc., est égal au produit d'une donnée et de la dernière des menées, le point sera sur une ligne droite donnée de position (') , »

Cette proposition est une extension de la précédente; ce qui a été plus haut démontré pour deux lignes dans la première partie de la proposition VI est proposé ici comme ayant lieu pour un nonihre quelconque.

Soient AB, BC, CA {fig. 22) trois droites données de position et formant un triangle; il faut trouver une droite, EK par exemple, sur

laquelle prenant un point quelconque M, et menant de ce point les droites MR, MO, MI, sous les angles donnés MRA, MOB, MIA, on ait