CI) «A

ï-j- = ïTr; ' c est-a-dn-e le nipiiort dondo.

Si donc du point donné B on mène deux droites, par exemple BC, BD, en ligne droite et dans le rapport donné, et que BC se termine à une circonférence donnée de position, BD se terminera aussi à une autre circonférence donnée de position.

Si les droites sont prolongées jusqu'aux arcs concaves des cercles. la proposition reste vraie.

Nous avertissons que dans nos démonstrations nous n'insistons pas

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sur les détails évidents d'eux-mêmes, et que nous n'examinons pas les différents eas qui peuvent se déduire sans difFiculté de ce que nous avons dit.

2. Proposition. — Si d'un point donné on mène dans le prolongement l'une de l'autre deux droites dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de l'autre.

Soit A le point donné {fig. 3), et en premier lieu une droite BC donnée de position; abaissez surelle la perpendiculaire AC; le pointC

sera donné. Prolongez cette perpendiculaire et soit CA x AE égal au rectangle donné. Sur AE comme diamètre, décrivez le cercle ADE. Jo dis que toutes les droites menées par le point A et terminées d'un coté à la droite, de l'autre à la circonférence du cercle (qui est évidemment donné de position), seront partagées au point A en sorte que le rectangle de leurs segments soit égal à i'aire donnée.

Soit en effet, par exemple, la droite DAB; joignez DE. L'angle ADE inscrit dans un demi-eercle est droit et les angles BAC, DAE, opposés par le sommet, sont égaux. Les triangles DAE, ACB seront donc semblables et par conséquent BA x AD = CA x AE qui est donne.

Si donc par le point A on mène, dans le prolongement l'une de l'autre. les deux droites AB, AD, et que l'extrémité de l'une, à savoii'

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|7, 8| LIEIÎX PLANS D'APOLLONIUS. 7

AB, su trouva sur la droite BC donnée de position, l'exlrémité de l'autre se trouvera sur un lieu plan, c'est-à-dire le cercle ADE, donné de position.

Soit maintenant donné le point V (,fië' '4)' ^^^*^ '^ cercle BIGH de centre E; joignez EV; prolongez jusqu'en B, VB sera donné; prolon-

Fijf. 4-

gez de l'autre côté jusqu'en F en sorte que BV x VF soit égal au rectangle donné. Soit encore GV x:YX égal à ce rectangle. Sur XF conimf^ diamètre, décrivez le cercle XKF qui est cvidommont donné de position. Je dis que les droites, passant par le point V et terminées aux deux cercles, sont partagées au point V en sorte que le rectangle de leurs segments soit égal au rectangle donné.

Soit par exemple menée AVKI, je dis que AV x VK est égal au rectangle donné.

Soit pris le centre 0 du petit cercle, que nous supposerons coupé en R par la droite AVKI; joignez RO, AE. Nous avons supposé

GV FV GV X VX =; BY X VF, Par conséquent ™ =- rr^- Componendo, prenant la moitié des antécédents, et conveHendo,

EB(r=EA) „OX(=OR)

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s ŒUVRES DE FERMAT. | fi, U |

Les doux triangles OVR. VEA ont de plus l'angle EVA commun, ils seront donc semblables.

. AV AE / EB\ VE .. - ER VE , Par conséquent : jjy = j(( j ( <'u -^^^j = yj-,-- Mais ^■^^ =--= ^^; donc,

,.„,, ER VR r, AV RV

par dillerence, ^-^ = y^ ' Uonc ^ ■-- ^,-

, . GV iV - . . GV FV

Nous prouverons de même que ^ = j^ ou vicissim Y\ "^ \^'

Mais ^ = vl (les rectangles KV x VR, FV x VX, dans le cercle,

étant égaux), et nous avons prouvé que ^^v --- ':■ Donc, d'un côté, ^ = ^- Donc KV X VA = FV x VB, rectangle donné.

D'autre part, y^ = t^^) et par suite IVxVR = GVxVX, rectangle donné.

Par conséquent, si par le point V on mène dans le prolongement l'une de d'autre deux droites A\^ VK, dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une, soit VA, se trouve sur un cercle donné de position, l'extrémité de l'autre se trouvera sur un lieu plan (le cercle XKF) donné de position.

3. pROt'OSiTiON. — Si d'un point donné on mène sous un angle donné deux lignes dans un rapport donné, et que l'extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de l'autre.

Soit H le point donné {Jig- '>') et, t'U premier lieu, une droite AF

donnée de position. La perpendiculaire Hiî abaissée sur elle sera donnéi'.

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Soit l'angle BHE égal à l'angle donné, et -^ dans le rapport donné.

La droite HE sera donnée de position, ainsi que le point E. De eu point E j'élève sur la droite HE la perpendiculaire indéfinie DEG; elle sera donnée de position. Prenant sur AF un point G quelconque, et joignant HC, je fais l'angle CHI égal au tlonné : je dis que -r^^ est dans le rapport donné.

En effet, les angles BHE, CHI étant égaux, si je retranche la partie commune GHE, les angles BHC, EHI seront égaux. Ceux en B et E sont droits; donc les triangles HBG, HEI sont semblables. Donc ..-:- = ttt ' et vicissim îït? — -ûï ■ c'est le rapport donné.

Si donc du point donné H on mène deux droites HC, Hl sous un angle donné GHI et dans un rapport donné, et si le point C de l'une HC se trouve sur une droite donnée de position, rextrcmitc de l'autre s(; trouve sur un Heu plan, ta droite DG, dont la position est donnée, comme il a été prouvé.

Si la première extrémité se trouve sur un cercle, soit A le point

donné {Jif^- G), \\i le cercle donné de position, V son centre. Joignez FA qui coupe le cercle en I; soit un angle lAD égal au donné, et ~ dans le rapport donné. AD sera donnée de position ainsi que le point D. Prolongez et soit tïi = ït^ ^^ ^ comme centre, décrivez le cercle DB.

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Il) ŒUVRES DE FERMAT. [10, li|

qui (ïst évidemracnl donné de position. Soit pris sur le premier cercle

un point E quelconque; joignez EA; soit l'angle EAB égal au donné,

et le poinl B sur le second cercle, je dis que kj est le rapport donné.

Joignant FE, BC, on prouvera, comme ci-dessus, que les angles

KAE, CAB sont égaux et, en raisonnant comme, dans la proposition i

(2* figure), que les triangles FAIil, CAB sont semblables. Donc =7-n = v-tt'

, . . . AF , , , .. Al AE „ I , AE . 1 ,

et mcissim -r-=;> c est-a-dirc ttï = ttï" Uonc le rapport -r^ est le donn(ï

et le sens de la proposition est évident, aussi bien que la conséquence,

4. PROPOSmON. — Que d'un point, donné on mène deux lignes sous un angle donné et telles que leur rectangle soit donné; si l'extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre.

Soit G le point donné (fig. 7) avec la droite AC donnée de position, sur laquelle j'abaisse la perpendiculaire GB; soit ItCE l'angle donné

et BG X GE l'aire donnée. Sur GE, je décris le demi-ccrclc GEF. Prenant sur la droite donnée de position un point quelconque D, je joins DG, et fais l'angle DGF égal au donné; je dis que DG x GF est égal à l'aire donnée.

Joignant FE, Je prouverai, comme dans la proposition précédente, l'égalité des angles BGD, EGF; mais ceux en B, F sont égaux comme droits; on conclura la similitude des triangles BGD, EGF, l'égalité

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m, lï, iîj LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 11

(.les rectangles lïG x GE, GD x GF, et la vérité de la proposition. Si donc, etc.

Soit maintenant A {fig- ^) le point donné, avec le cercle HGE donné de position. Je mène par son centre la droite AEH qui coupe la

circonférence aux points E, H. Soit HAB l'angle donné, et HA x Al, aussi bien que EA x AB, égal à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur IB (lequel est évidemment donné de position) satisfera à la question. En effet, menons par exemple GFA, et faisons l'angle GADG égal au donné. Je dis que les rectangles GA x AD et FA x AG sont égaux à l'aire donnée.

Car, comme HA x AI — EA x AB, on a -t-.t = -.-■ ■ Mais, d'après le raisonnement de la proposition précédente, l'égalité des angles HA6, BAG est évidente; aussi bien, comme dans la proposition 2, on dé-