Soit proposée la triple équation

on la convertira on la suivante :

iiour laciui'lJe on trouvera a; = ; divisant l'unité par cette valeur,

on aura — ^ comme solution do ia triple équation proposée. De oiênie, si l'on a

la conversion donnera

3^-!-i zziCJ, Sx + .', = □, 9a: + i6 = n,

d ou x.= -^ — ; SI 1 on divise I uiiile par celle valeur, — ?-t, sera la solution cherchée. Soit enfin

la conversion donnera

d'où a;= ,, ^ ■; divisant l'unité par cette valeur, on aura ' t—acomme solution de la triple équation proposée.

15. Remarquez que l'on peut abréger les calculs dans le cas où les coefficients des termes en x- sont les mêmes, mais diffèrent de l'unité, en les ramenant précisément ii l'unité sans toucher aux coefficients des termes en x; on n'aura qu'à diviser plus tard la valeur trouvée pour .apar le carré donné comme coefficient des termes en x'^. Ainsi, soit proposé

<^x^-^<jx = U, ç^w--\■-2l^x — n, 9x^4-72 j; = n;

substituons x"^ à ç)x- sans toucher aux termes en x, il vient

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:i68 G'iUVIiJIiS DE FElîMAÏ.

d'où X = 3. Divisiint par le carré 9, nous aurons ^ commn solution di' la h'ipiLi équation proposée. Si l'on divisait la même valeur 3 par le i-arré iG, on aurait- -r comme solution de la triple éfjuation

il en sera de même dans les autres cas semblables.

An moyen de la triple équation, on, peut résoudre des équations quadruples, quintuples, etc. à l'infini.

16. Soit proposée, par exemple, la quadruple équatioii suivante

aoa? + 6.i — □, n,r-i-iG = n, 'èx^k = 'C:., •ix + \ = U.

Si l'on ramène à l'égalité, comme il a été dit, les Lernies carrés, oii a. eumme nouvelles conditions,

ao,7; + 6/, ^ n , 48-» + 64 ^ n , 12S :i' + G4 = c ;

substituez - ic- H- ^ ii :r et traitez par la méthode indiquée la double

équation qui restera à satisfaire, vous obtiendrez, comme solution, H^QO (en dehors de [\, solution immédiate).

■17. On peut de même combiner une quintuple équation avec des coefficients différents pour les termes en x et divers carrés comme termes indépendants, en s'arrangeant de façon que, les carres étant ramenés k l'égalité, on ait trois expressions identiques et deux autres distinctes, comme par exemple :

on aura comme valeurs 4 et -

toiSoSt

On combinera de la même façon ujie équation centuple et ainsi de suite indéfiniment.

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TRADUCTION DE LiNVENTIlM NOVUM. 'àm

D'après ce gui précède, il est facile de résoudre d'une infinité de façons des questions que Diophante et Bachet ne résolvent que par des pro' cédés très compliqués.