LETTRE IX

JoH^- WALrjs A Kenelm Digrï.

Très koble Mossieur, Après vous avoir envoyé ma dernière lettre, datée du 3 septembre, j'ai reçu du très honorable Mylord Vicomte Brouncker, avec la solution qu'il en a donnée, le problème que M. Fermât lui a envoyé. Comme il se peut faire, ainsi que vous le soupçonnez, que cette solution ait été mai exposée à M. Fermât, je crois bon de la reproduire ici, pour l'offrir avec cette lettre à Votre Seigneurie.

Problème de M, Fermât.

Étant donné un nombre quelconque non carré, ii y a une infinité de carrés déterminés dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fait un carré.

Exemple : 3 x t6 H- i = 49 = 7 x 7.

On demande la règle générale pour trouver les carrés de cette sorte.

Voici deux règles de ce genre : ia première est de Mylord Vicomte Brouncker.

Soient n un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); q un autre carré quelcOÈiquc (entier ou fractionnaire) dont la racine soit r. Soit enfin d la différence entre g et n, a savoir soit q — n, soit n — q.

Règle : ^^ ~ f ^J est un nombre carré, dont le produit par n,

étant augmenté de l'unité, fait un carré, «^ + 1 — -~j^

En effet :

4 17". 4- d- liqn -t- q'' — iqn

j^+^ign + n"- __ /g-+-/A;

La seconde règle, qui est de moi, est un peu plus générale quant à la forme du procédé; mais clic revient au même, quant aux nombres à trouver.

Soient n un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque arbitrairement choisi; q un carré quelconque et m, son quotient par a; p un autre nombre quelconque; enfin d la différence (en valeur

Règle : -^ est un nombre carré dont M produit par n, étant augmenté de l'unité, fait un carré, n.--T^ -i-- 1 — — —^

Il y a lieu de remarquer ce que Mylord Vicomte Brouncker a ajouté h sa solution.

Au sujet des deux premières questions de M. Fermât, il a observé que non seulement le nombre i y satisfait également, mais aussi (au cas oii les fractions seraient admises) le quotient du nombre i par la

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COMMERCIDM DE WALLIS. U9

sixième puissance de tout nombre entier; en effet, ce quotient est à la fois carré et cube et il n'a aucune partie aliquote.

D'autre part, la première question est satisfaite, non seulement par le nombre 343, indiqué par M. Fermât, mais encore par le quotient du même nombre divisé par la sixième puissance de tout entier, par exemple -^^ En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est le tout, le eube ci-dessus -yr n'aura pas d,' autres parties aliquotesque W' i~' ^' lesquelles, ajoutées au même nombre -^. font^, nombre carré.

Voilà donc, très illustre Seigneur, le précis de ce qu'avait depuis longtemps répondu à ces problèmes le très bonorable Vicomte. Il me reste, si ces remarques importunes doivent vous occasionner quelque dérangement, à implorer humblement pardon pour.

Très illustre Seigneur, Voire très respectueux et tout dévoué , John Wallis.

Oxford,

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