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rapport donne, et vtcissim : — p^, — - = -rq-, ; componenao : ïfî7 = piî"
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Mais, à cause des parallèles KG, BA, on a KL = DG. Donc
KZ
KL
Ainsi est établie la vérité d'une très belle proposition. Il est facile, en procédant de même, d'étendre la construction et la démonstration aux cas suivants, pour un nombre quelconque de lignes. Car, de même que la construction pour deux lignes donne la solution du problème pour trois, la construction pour trois lignes donne la solution pour quatre, la construction pour quatre donne la solution pour cinq, et l'application do la métliode se poursuit toujours de même indéfiniment.
PrOPOSITIO" VIII ET DERMÈRE.
« Si" d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, ou produisant une aire donnée, ou dont la somme des carrés ou bien la différence des carrés soit égale à une aire donnée, le point sera sur des droites données de position.
Si cette proposition était vraie, elle aurait quatre parties, mais nous n'avons trouvé qu'elle fût exacte que pour le rapport donné. Écartons donc le reste, pour l'aire produite par les deux droites, pour la somme ou la dififérence de leurs carrés, et rejetons-le comme faussement inventé ou transporté d'ailleurs.
Je propose donc comme suit le théorème corrigé :
Si d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, le point sera sur une ligne droite donnée de position.
Voici la construction :
Soient AB, GC (Jïg. 23) les parallèles données, A, F les points donnés sur ces droites, BAH l'un des angles donnés, GFH l'autre. Les points A et F étant donnés, avec les angles à ces sommets, les droites
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26 ŒUVRES DE FERMAT. f27. 28]
AH, Fil seront données de position, par suite leur point de roncontro H: donc le point G où AH coupe; la parallèle GC. Partagez GF en D en sorte que ^^ soit dans le rapport donne; D sera donné. Joignez DH, rette droite est donnée de position. Je dis que la droite DH satisfait
à la question, c'est-à-dire que si on prend sur elle un point quelconque 1, qu'on mène de ce point IB, lE, sous les angles donnés, le rapport des abscisses à partir des points A et F, c'est-à-dire ^^ est
- 1 . 1 ■ GT>
égal au rapport donne, ^■
Soit C le point de rencontre de RI et delà parallèle G F. Par construction, IB est parallèle à AH, comme menée sous l'angle donné égal à HAB. De même lE est parallèle à HF; de plus, à cause des parallèles,
rr Ki> t . ■ GC fil) . . . GC EF
GC - AB: il reste a prouver que gF ^ dP '^^' ^^cmim j^y = jy^-
Mais cela est évident, car d'une part ^ = j.-^; de l'autre ^ = y.-^-
Donc pTû est égal au rapport donné.
H y a, tant pour cette proposition que pour les précédentes, de nombreux cas, qu'il est facile de trouver et d'ajouter; pourquoi nous y arrêter plus longtemps?
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