LIVRE II

« Si des points donnés sont Joints par des lignes droites à un même point, et que la différence des carrés de ces droites soit une aire donnée, le point de concours sera sur une droite donnée de position. <>

Soient A et B (Jîg. 24) les deux points donnés; soit une aire donnée quelconque plus petite que Ali . Partagez AB en C, en sorte que

AC-— CB^ soit égal à l'aire donnée; élevez la perpendiculaire indétînie CE. Prenez-en un point quelconque D, Joignez DA, BD. Je dis que AD- — DB^ est égal à l'aire donnée.

C'est évident, puisque AD" — DB- = AC- — CB^

Si l'aire donnée était plus grande que AB-, le point C tomberait en dehors de la droite AB.

A cette proposition on peut rattacher les deux suivantes :

Soient donnés quatre points A, B, C, D (^Jîg- 25) en ligne droite, et soit AB =^ CD. Prenez un autre point quelconque N; menez les quatre droites NA, NB, NC, ND. Je dis que

AN^+ND'-(BN-^+-NCMz=:2ABxBI).

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28 ŒUVHES DE FERMAT. [3U, 31J

En elFot, menons la perpendiculaii-e NI, et snpposons d'abord que k'

|)oint I toml)p en dehors de la droite AD. Il est clair que, en raison île

N!^ commun à tous les termes,

l\lais (II, 1) (') AI- + DI-=2DP + AD^+ 2ADXDI, et par le même théorème BP + CP = 2DP-l-BD=-^CD=^-2BDxDI + 2CDxDl.

Aux deux derniers termes de cette égalité, puisque AU = CD, du peut substituer 2AD x DI.

Donc

AP