LETTRE XVI

incluse daus la p^Sel;llo^t«.

John Wallis a Kenelh Diobï.

Très noble Seignei'r,

Depuis que je vous ai envoyé ma dernière lettre du mois de septembre ('), le très honorable Lord Brouncker m'a communiqué ses solutions des problèmes de Fermai. Après les avoir vues, j'ai été aipplement confirmé dans l'opinion que j'ai émise en ma lettre précédente. Quoi qu'il en soit de l'écrit qui aurait été mal traduit a Fermât, comme vous l'avez dit, écrit que je n'ai jamais vu et dont je ne puis aucunement juger, ces solutions sont telles, à mon avis, qu'elles répondent très exactement aux demandes. J'ai donc cru devoir vous les adresser aussitôt, après les avoir mises en latin, afin que désormais une mauvaise interprétation ne puisse tromper personne; je vous ai ainsi fait, le même mois, l'envoi d'une seconde lettre ('), mais je l'ai fait revenir, ayant reçu dans l'intervalle les lettres de Fermât, et désirant répondre à ce qui s'y trouve indiqué à nouveau.

C'est donc dans le mois suivant, en octobre, que j'ai reçu, de la part de votre Seigneurie, les deux lettres que lui a écrites M. Fermât en date du 6 juin et du i:) août, puis quelques jours après ses Remarques

(') Lettre VII.

( = ) Lettre IS.

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sur mon Arithmétique des Infinis; nouveaux bienfaits dont vous me comblez sans cesse. Mais il ne me reste aucun espoir d'échapper aux liens de la reconnaissance, qui me tient enchaîné à vous; je n'ai plus d'autre refuge que votre clémence; je n'ai, comme unique ressource, que de la supplier d'accepter mes très humbles remercîments pour tant de faveurs, et de me continuer, malgré mon indignité, l'afTcction que vous voulez bien me montrer. Puis, sans vous arrêter à de trop longs préambules, je me mettrai aussitôt à répondre à ces lettres, après vous avoir cependant demandé excuse si mon importun bavardage interrompt vos sérieuses occupations.

La première lettre de Fermât se plaint de la diJTiculté de saisir ce qu'a voulu dire le très honorable Vicomte dans sa solution des problèmes; la faute en est attribuée à une mauvaise traduction de l'anglais.

Pour éviter de nouvelles plaintes de ce genre, j'ai cru devoir employer, en m'adressant à vous, la langue latine, qni n'a pas besoin de traduction : je l'ai fait d'ailleurs pour le cas où vous jugeriez k propos de communiquer cette lettre elle-même.

Mais Fermât ajoute qu'autant qu'il peut en juger au travers des nuages de cette obscure traduction, le très honorable Lord n'aurait nullement satisfait à sa question. Je crois précisément le contraire, et, à moins que Fermât n'ait pas bien encore compris ces solutions, je ne vois pas sur quoi il po.urrait, soit en douter, soit le dissimuler.

Le premier problème était double.

Trouver un cube (p. 3ii, lignes 21 à 27) fasse un cube.

3'ai répondu sur ce problème que le nombre i satisfait aux deux questions; il est, en effet, à la fois carré et cube, et il n'a pas de parties aliquotes.

Lord Vicomte Brouncker a ajouté a cette solution qu'on pouvait également satisfaire aux deux questions (dans le cas où les fractions seraient admises), au moyen du quotient du nombre i par la sixièrne puissance de tout nombre entier; d'autre part, que la première des

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deux questions seulement pouvait aussi être résolue au moyen du quotient de 343 par un semblable diviseur, par exemple -^■

En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles quecelles qui sont dénommées comme l'est le tout, le cube ci-dessus -^- n'aura pas d'autres parties aliquotes que ^i ^i ^> lesquelles, ajoutées au même nombre -r-y-, font —-^ carré de -s--

A la vérité. Fermât s'explique maintenant en disant qu'il ne sera satisfait que par un nombre entier. Mais, mémo ainsi, on ne peut nier qu'il ne lui ait été donné satisfaction. Car, en dehors du nombre 343 énoncé dans le problème, il n'en demande qu'un seul autre, et il ne promet d'en donner lui-même qu'un seul autre, (/e demande un autre, etc.; et s'il répond qu'en entiers Un' y a que le seul nombre 343, ye vous promets de le désabuser en lui en exhibant un autre) ('). Or nous avons donné un entier satisfaisant au problème, à savoir le nombre i .

Si je n'en donne pas d'autres, ce n'est pas que j'estime qu'il n'en existe point; mais c'est qu'il n'en demande pas davantage et que je ne juge pas l'affaire de telle conséquence (car à quoi bon?) qu'elle soit digne d'une recherche minutieuse, et encore moins que l'Angleterre tout entière, avec les Gaules Celtique et Belgique, qu'il provoque toutes ensemble, se livrent exclusivement a cette étude. La question n'est pas plus importante, du moins à mon sens, que celle que je pourrais poser avec une pareille ostentation, en donnant deux nombres carrés, i6 et 25, qui font la même somme, si à chacun d'eux on ajoute ses parties aliquotes :

et en demandant deux autres carrés jouissant de la même propriété. Fermât peut, s'il le veut, s'attaquer à ce problème, ou, s'il le préfère, le négliger; mais je n'y attache pas une telle importance que je l'en juge plus habile, s'il réussit, ou moins, dans le cas contraire.

(") Lettre de Fermât à Digby du 6 juin 1657. Tome 11, page 342, ligne 3 à 7.

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L'autre problème était ainsi conçu :

Étant donné un nombre (page 3i2, ligne 3 en rem., à pageSiJÎ, ligne 7) qui peut être donné.

Lord Vicomte Brouncker a fait usage d'une règle de ce' genre, qu'il a munie de sa démonstration.

Soient n un nombre (page 4i8, lignes 3 à 10) = \a,^) '

J'ai voulu en ajouter une autre de mon crû, un peu plus générale quant au mode de procéder, mais revenant au même, pour le' fond. Elle est également munie de sa démonstration.

Soient n un nombre donné (page /) 18, lignes 1,^1 à 20) .

En effet.

man

76it'

Fermat peut choisir de ces deux règles celle qu'il lui plaira; il est clair qu'elle répondra à la question proposée. S'il en désire davantage, nous lui en promettons autant qu'il en voudra, mais elles coïncideront avec les deux ci-dessus, qui fournissent, en effet, non seulement des carj-és en nombre infini, mais tous les carrés possibles qui jouissent de la propriété demandée.

On doit d'ailleurs lui faire remarquer que la limitation, que le nombre donné ne soit pas carré, est superflue, dans les termes où la question est posée. Car la règle s'applique aussi bien aux nombres carrés qu'aux non carrés.

Enfin il n'y aurait pas plus de difficulté s'il avait dit, en général, en ajoutant un nombre carré quelconque, et non pas en ajoutant l'unité. Il ne resterait, en effet, qu'une simple opération à faire, qui serait

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de multiplier, par ce carré a ajouter, le nombre carré donné par les règles pi'écédentes.

Ainsi soit b^ le carré à ajouter.

Avec la première règle, au lieu de -—> il faut prendre ^^*

Avec la seconde, au lieu de —j^, il faut prendre — tj— ■ On a, en effet, de la sorte, d'une part —^ — h è^, de l'autre ■ — s h 0 , nombres carres.

Voilà ce que je vous avais écrit dans cette lettre dont je vous ai parlé, mais que j'ai cru devoir faire revenir, en raison des nouvelles indications que Fermât donne seulement aujourd'hui. II y a, en effet, lieu de compléter quelque peu ce qui précède, eu égard à la nouvelle limitation requise, dont il. n'était nullement fait mention dans l'énoncé antérieur.

Fermât dit maintenant qu'il a voulu parler des seuls carrés entiers, non des fractionnaires; qu'en fractions, les solutions sont si faciles qu'elles peuvent être fournies a quolibet de trivio arithmetico ( ' ).

En tout cas c'est déjà quelque chose que votre très noble correspondant reconnaisse eniin que la question qu'il avait posée est de celles que peut facilement résoudre quilibet de trivio ariihmeticus ; il n'y a guère qu'il en jugeait tout autrement et pensait même qu'elle n'avait pas été résolue par le très honorable Vicomte, parce que celui-ci ne l'avait pas trouvée difficile ("). Cependant on pourrait peut-être se demander si Fermât lui-même, pour ne pas parler de quilibet de. trivio arithmeticus, avant l'énoncé de nos règles, en connaissait une générale, donnant non seulement des carrés en nombre infini, mais tous les carrés possibles, tant entiers que fractionnaires; s'il pouvait démontrer que cette règle était telle.

(') il Par le premier venu des calculalours de la rue. u

(2) Il est singulier que Wallis oppose entre elles, comme successives, deus déclarations de Fermât contenues dans la même lettre du 6 juitt 1637 {Pièce n° 83 de la Correspondance).

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Mais je ne sais si nous no pourrions nous plaindre avec quelque raison do ne pas avoir été loyalement traités. Qu'il s'agit d'entiers, il n'en était pas soufflé mot dans l'énoncé de la question; rien ne nous pouvait faire deviner que nous avions à la comprendre ainsi. Dans le long préambule mis en tète, Fermât cite Diophante et égale au moins, s'il ne les préfère, ses questions arithmétiques aux problèmes géométriques des autres; il se donne comme imitant Diophante dans la question qu'il propose. Mais partout, chez Diophante, comme nombres carrés on entend indifféremment les entiers et les fractionnaires. Qui donc, même après avoir regardé Diophante plus ou moins rapidement, pouvait soupçonner ou bien qu'il n'y a pas de carrés, à part les entiers, ou bien qu'une question ainsi proposée devait être entendue des seuls entiers? Nous avons donc résoin la question proposée au sens de ses termes, tout à fait comme ils devaient être compris, et ce n'est pas notre faute, si, quand Fermât entendait les seuls entiers, il s'est exprimé autrement (').

Mais. puisqu'il propose maintenant sur les entiers celte question qu'il avait auparavant proposée simplement sur les carrés; en d'autres termes, puisque, cette question étant résolue, il en pose une nouvelle, nous voulons bien le suivre encore sur ce terrain. Nous allons donc aborder ce

Nouveau problème : Faire la même chose pour les nombres entiers.

Nous remarquons d'abord que la question ainsi limitée est moins générale qu'auparavant, et il est immédiatement clair qn'il faut, ainsi que le fait Fermât, la restreindre au moins à des nombres donnés non carrés.

Si en effet, d'une part n, de l'autre ^. sont des nombres carrés entiers, -^ sera aussi un carré entier, et comme ^- + i doit être

{') Wallis semble do fait avoir à peine regardé !e préambule du second défi {Pièce n° 81 de la Correspondance). Dans le deusième alinéa, on effet, Fermât pose très clairement la question comme concernant les nombres entiers et comme différant en cela dos problèmes conservés de Diophante.

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COMMEROIUM DE WALLIS. 433

T^arré, on aurait deux nombres carrés entiei's qui ne différerai on l que de l'unité, ce qu'on sait être absolument impossible.

Dans le cas oii la chose est possible, nos règles donnent non pas les seub, mais cependant tous les carrés entiers. Elles donnent en effet tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fractionnaires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer.

Soit/"^ un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée; on aura np-\- i égal à un carré, soit/-.

PrLMions maintenant r--

. Je dis que/^ ser

47 1 ■■à~^, que doi

une li

règle ci-dessus exposée.

On a

en effet : 9 = /-^

/- ZjT a / + I

. Mai:

7z/^+r = /\Donc/^- i

ot/i= -'^--Par

conséquent,

et par suite, eomme ir = - .- ,

Ainsi la règle, précitée fournit le carré /-, c'cst-à-dirc un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée.

(La démonstration se ferait de même, mutatismutandîs, pour l'antre règle.)

La règle précitée fournit donc une infinité de nombres carrés satisfaisant à la condition proposée et d'ailleurs, dans le cas où la chose est possible (c'est-à-dire si le nombre donné est non-carré), une infinité de carrés entiers.

Il faut, de plus, que ~ =/^ soit entier et il faut fournir une infinité de tels carrés.

Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant à la condition

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43i ŒUVRES DE FERMAT.— TRADUCTIONS.

proposée, et qu'on peut d'ailleurs trouver de toute autre façon; grâce à ce seul carré, on en fournira une infinité d'autres, comme suit :

Soit/^, par exemple, ce carré; par conséquent n/^-f- i =f.

2//sera la racine d'un autre carré satisfaisant à la condition proposée. De la même manière, connaissant ce second carré, on trouvera la racine d'un troisième carré, puis d'un quatrième, d'un cinquième, etc., à ] 'infini.

Exemple : Le nombre 3, multiplié par le carré i, si l'on ajoute l'unité, fait un carré.

Le double produit de i et 2, racines des carrés i et 4» ost 2x1x2 = 4. qui sera racine du nouveau carré 16 satisfaisant à la condition proposée.

Et comme 3 x 16+1 3-- 49,

2 X 4 X 7 = 56 sera racine d'un nouveau carré 3'i36 satisfaisant également à la condition.

Coininc d'autfO pari, 3 x 3i36+ 1 =9409, carré de 97,

2 X 56 X 97 = 10864 sera encore la racine d'un nouveau carré satisfaisant à la condition,

Et ainsi de suite. On aura donc une intinité de carrés entiers satisfaisant à la condition.

Je n'ignore pas d'ailleurs qu'en dehors do ces carrés on on peut encore trouver d'autres; par exemple

3 X 3a5-i-iz=676 = 26%

et autres que nous pouvons également fournir en nombre infini. Ainsi tous ne peuvent pas être immédiatement induits de la sorte d'un seul ; mais on ne demandait pas cela; car il n'a pas été proposé de fournir tous les carrés entiers satisfaisant à la condition, mais d'en fournir f?« nombre infini, ce que nous avons fait.

Fermât voudra-t-il changer encore les termes de sa question pour la

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proposer sous une troisième l'orme? dcmandera-t-ii que les carrés entiers satisfaisant à la condition soient fournis, non pas seulement en nombre infini, mais absolument tous? Cela, nous pouvons également le faire.

Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vainement, je vais le démontrer.

il a déjii été prouvé que ^ satisfait à la condition; reste donc à faire

que ^ — /' soit un nombre entier, par suite que sa racine -^ — / soit un nombre entier, ou autrement, que d=\n ~ q\ soit une partie aliquote du nombre ar.

Or il peut se faire que 2/-, et dès lors4îT iio soit pas entier; suSjstiluons donc à q, —> et à r, -■ Nous aurons

Ainsi, /sera un nombre entier toutes les fois que j«* — ne* | sera une partie aliquote du nombre sae; en d'autres termes, toutes les fois que la différence entre un carré et le produit d'un autre carré par le , nombre donné sera partie aliquote du double produit des racines de ces carrés.

Or ceci peut arriver de mille manières différentes, mais a évidemment toujours lieu en particulier, si cette différence est i ou 2; car i est partie aliquote de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre 2«e.

C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'en effet, suivant la condition exigée. 0/^ + i = /% la différence /=— 11/'^ sera t; si donc par cette différence on divise sjï, le quotient sera le nombre entier 2/I, et ce sera par suite un nouveau nombre/satisfaisant ii la condition. Et ainsi de suite indéfiniment. c. q. f. n.

Je crois superflu d'en dire plus long sur cette question, quoique j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajouter; mais je crains déjà de m'être trop étendu.

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Une autre question proposée par Fermât (') n'est parvenue que tardivement entre mes mains. L'énoncé en est :

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à celle de deux autres nombres cubes.

Il me suffira d'en dire quelques mots. Elle a été, à ce que j'apprends, résolue de diverses façons par M. Frenicle; j'ai vu quelquesuns de ses nombres; Fermât les ayant déjà reçus, il est inutile que je les répète. J'en ajouterai d'autres qui viennent d'ici.

Ki)'

32'+ 66' ii,l

Si ces nombres ne suffisent pas, j'en fournirai autant qu'il le voudra; et cela si facilement qu'en une heure de temps j'en promettrai:^ bien cent, entiers ou fractionnaires, à son gré. Ce que j'ajoute pour qu'il ne dise pas encore qu'il ne veut que des nombres entiers, alors que l'énoncé de la question ne fait nullement mention d'entiers.

Après avoir résolu ces questions, et si du moins votre très noble

(') Voii- ci-avanl la Lettre X du Commerdum, page 4i9- ^ Wallis se contente ici de ilonner des nombres proportionnels à ceux de cette Lettre, calculés par Frenicle, sur le vu de la question de Format (Letlrc du i5 aoi'it ifiSy, ii" 84 de la Corresponâaiice, 7).

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correspondant trouve qu'il ait désormais suffisamment éprouvé nos forces, je voudrais le prier de ne pas trouver mauvais et de ne pas, non plus, attribuer à quelque épuisement de notre vigueur là-dessus, que nous ne nous montrions pas à l'avenir très préoccupés de résoudre des questions de ce genre. 11 semble les aimer singulièrement, mais j'avoue (à dire ce qui en est) que, pour mon compte du moins, elles n'ont pas un attrait si puissant que je sois porté à leur consacrer beaucoup de temps ou de travail, et que je ne les estime pas assez importantes, pour que, négUgeantles autres recherches en Géométrie, qui me plaisent davantage, je me détourne vers ces spéculations sur les nombres. Qu'il ne croie pas toutefois qu'en parlant ainsi je veuille en rien diminuer la juste gloire que mérite son habileté dans la poursuite de ces mêmes spéculations; je voudrais plutôt l'exhorter, s'il trouve dans ces matières quelque secret intéressant pour l'avancement général de la Science, à le publier ouvertement dans un Traité méthodique. Mais ce que je veux faire comprendre est seulement ceci que, ne pouvant m'occuper également de tous les sujets, je m'attache de préférence à ceux qui me séduisentdavantage et me semblent avoir une utilité, tandis que je laisserai aux autres ce qui peut leur plaire au contraire plus qu'à moi; ainsi les uns et les autres pourront jouir chacun de son domaine.

Ce sera ma réponse aux nouvelles questions qu'il propose maintenant ( ' ), par exemple :

Partager un nombre cube en deux cubes rationols ;

Et partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes rationels.

Si le très honorable Vicomte Brouncker veut s'y essayer (et, s'il essaye, je ne doute pas qu'il n'obtienne un heureux succès, en tant du moins que la nature de la chose peut le permettre) ou si quelque autre a le même désir, je ne veux aucunement l'en détourner; mais moi du moins, je n'en ai ni le temps, ni l'intentioTi.

(') Lctlro du [3 aoL'il iG.^-, a" 8i Je la Corraspoiida/we, 4 et 8, oi-avanl, p. ^i'i.

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Il ne m'a certes pas été désagréable, sur le désir exprimé par votre très noble correspondant, d'engager une, deux fois la lutte avec lui et de descendre dans son arène ; mais cet illustre savant n'attend pas, sans doute, que je continue toujours le même exercice, et que, comme si je n'avais rien autre chose à faire, j'aborde sans cesse de nouvelles questions, perpétuellement renaissantes.

J'en dis autant pour ses récentes propositions négatives, que : en dehors de i5, il n'y a aucun autre nombre carré entier qui, augmenté de 2, fasse un cube; ni, en dehors de 4 et 121, aucun qui, augmenté de 4, fasse un cube. Si cela est vrai ou non, je ne m'en soucie pas extrêmement, alors que je ne vois pas quelle grande conséquence peut en dépendre. Je ne m'appliquerai donc pas à le rechercher. En tout cas, je ne vois point pourquoi il en fait montre comme de choses d'une hardiesse étonnante et qui doivent stupéfier soit M. Freuicle, soit aussi les Anglais ; car de telles déterminations négatives sont très fréquentes et nous sont familières. Les siennes n'avancent rien de mieux ou de plus fort que si je disais :

Il n'y a pas (en entiers) de cubocuhe (j'entends une sixième puissance) ou même de carré qui, ajouté à 62, fasse un carré.

Ou :En dehors de 4. il n'y a aucun carré qui, ajouté au nombre 12, fasse un bicarré.

Ou ; Kn dehors de 16, il n'y a pas de bicarré qui, ajouté à 9, fasse un carré.

Ou : Il n'y a pas en entiers do cubes dont la difl'érence soit ao, ni, à part 8 et 27, dont la différence soit 19.

Ou : II n'y a pas de bicarrés entiers dont la différence soit 100, pas plus (pour le dire en une fois) qu'aucun autre nombre pair, à moins qu'il ne soit divisible par 16.

Il est facile d'imaginer d'innombrables délcnninations négatives de la sorte.

Pour ce qui concerne mon Arithmétique des Infinis, dont il parle dans la même lettre, il avoue que les propositions que j'ai découvertes sont les mêmes que les siennes; sauf donc que je n'ai pas parle du

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COMMERCIUM DE W,\Lr,lS. !^3i)

centre de gravité, remarque sur laquelle je reviendrai tout à i'hcure, j'aurais ainsi produit ce que, dans la première lettre que j'ai vue de lui ('), il vantait comme miracles de la Géométrie. Il n'y a en effet rien de ce qu'il indiquait dans cette lettre que l'on ne puisse voir dans mon Traité, comme je l'ai montré en citant les endroits.

Mais, à ce qu'il semble, il regrette (reproche que je n'aurais jamais présumé devoir être dirigé contre moi) que la méthode dont je me sers ne soit pas celle qui prouve seulement la vérité des découvertes par démonstrations apagogiques ou réductions à l'impossible (comme elles sont fréquentes chez Archimède et comme il convient d'en user si l'on veut moins se faire comprendfe qu'admirer du lecteur); que ce soit au contraire cette méthode qui montre en même temps la marche des recherches.

S'il me rappelle l'exemple d'Archïmède, exemple qui, à vrai dire, m'eût suffisamment justifié, si j'avais voulu employer la même méthode de démonstration, je ne crois pourtant pas que votre savant correspondant ignore que les hommes les plus sérieux et les plus doctes regrettent précisément, et sont bien près de considérer comme un défaut, qu'Archimède ait caché de la sorte les traces de ses procédés de recherche, comme s'il avait voulu par jalousie priver la postérité des moyens de découvertes, tout eu voulant lui arracher l'aveu de ce qu'il avait trouvé. Mais Archimède n'a pas été le seul; la plupart des anciens ont tellement dérobé aux yeux de la postérité leur Analytique (car il est hors de doute qu'ils en avaient une) qu'il a été plus facile pour les modernes d'en inventer une nouvelle de toutes pièces (ce qui a été fait dans le dernier siècle et dans celui-ci) que de retrouver les traces de l'ancienne.

J'aurais certes plutôt attendu dos remorciments qu'une accusation, pour avoir indiqué ouvertement et loyalement non seulement ofi j'étais

) Pans 11 Lcttru du 10 dwil 1657 (n'Si ie la Correspondance, T. II, p. SSg), Fermât n applique précisément celte expression de miracles qu'aux propositions relatives aux centres de giaMté des aires compilées entre les hyperboles et leurs asymptotes. Il est dalleuis le piem er a dira que soi t,noncé^ sur la quadrature des mêmes aires peuvent sp irer lelOnn f ie \\ilU

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4i0 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

arrivé, mais encore quelle route j'avais suivie; pour ne pas avoir été rompre le pont sur lequel j'avais passé le fleuve; d'antres peuvent le faire, mais on s'en plaint assez.

Votre très noble correspondant avance encore que certaines de mes propositions peuvent être démontrées par la méthode d'Archimède. Je n'en doute nullement; j'ai même indiqué plusieurs fois (Arithm. f/ifin., pag. 38, 83 et ailleurs) qu'il était facile de le faire; mais j'ai dit aussi pourquoi je ne l'avais pas fait moi-même; il n'a donc pas sujet de s'enquérir des raisons du choix de ma méthode, quand je les ai indiquées dans le cours de mon Ouvrage.

Il n'y a guère, je crois, personne, je ne parle pas des arithméticiens de trivio, mais aucun géomètre un peu exercé (à plus forte raison quelqu'un de tel que lui) qui ne puisse facilement, sur mes démonstrations, en forger A' apagogiques et semblables à celles d'Archimède. Aussi, pour sa promesse de le faire lui-même, je n'ai certes pas à dédaigner son travail là-dessus, mais aucune nécessité ne l'oblige à se charger d'une telle entreprise, alors que ce qu'il annonce devoir faire a déjà été précisément accompli par Cavalieri, dans son Traité De l'usage des indivisibles dans les puissances cossiques ('). Cependant, s'il veut apporter son suffrage, je n'ai pas à le récuser.

Si enfin il repousse comme une forme de preuve illégitime l'induction, qui a été suffisamment employée tant par les Anciens que par les Modernes, plus souvent peut-être qu'il pourrait le penser de prime abord; s'il veuf même écarter l'emploi des notes algébriques, partout répanduesaujourd'hui, je n'ai certes pas à être aucunementpréoccupé de rédiger une apologie sur ce chef. J'ai agi dans mon droit, suivant la voie qui me plaisait; il a de même le plein droit d'en suivre une autre, s'il le préfère; mais je ne doute pas que ce qu'il blâme, d'autres le loueront.

Il reste encore un point que je dois prendre surtout à cœur; j'ai, à propos du centre de gravité, à dégager ma parole et à détruire l'accu-

(' ) Z>e mu eonmdcm indivisibilium in potestatihus cou'wis ost le tilre de la quatrième des six Ewercitatioiies geometricœ publiées par Cavalieri en jO^?.

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sation de fausseté qu'à la vérité votre très subtil correspondant ne porte pas vraiment contre moi, mais qu'il semble réserver dans ses doutes.

J'avais dit, dans ma lettre du 6 juin, que les mêmes principes dont je me sers dans V Arithmétique des Infinis permettent de déterminer sans difflcullé le centre de gravité tant des paraboles de tout genre, que de la plupart des autres figures, planes ou solides ; que, toutefois, pour ne pas me perdre dans des digressions, j'avais à dessein omis toute cette spéculation sur le centre de gravité. A cela votre très noble correspondant réplique qu'il n'en sera pas persuadé, et qu'il désire dès lors (comme si j'avais particulièrement énoncé ce point) que je détermine les centres de gravité dans les hyperboles infinies, en distinguant celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il demande qu'au moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration. Sinon, il laisse penser qu'il me regardera comme ne connaissant nullement une chose que pourtant, d'après lui, j'aurais avancé connaître ; enfin il n'enverra pas auparavant ses spéculations qu'il a promises depuis longtemps, de peur sans doute que je n'y trouve quelque chose que je ne sache pas déjà.

3e ferai donc ce que demande votre très noble correspondant, tant pour ne pas paraître accusé justement de mauvaise foi, que pour qu'il voie que ce qu'il considère comme des merveilles, dont il se croit peut-être le seul possesseur, m'appartient en fait également. Bien plus, ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai, suivant mon habitude, et la méthode de recherche et la démonstration ; il verra ainsi qu'elles procèdent directement de l'art d'invention que j'ai exposé. 3e ne suis pas pour moi si jaloux de mes découvertes que je ne les communique pas aux autres, et je ne serai nullement fâché si le très savant Fermât y apprend quelque chose qu'il n'aurait pas remarquée. Je le laisse d'ailleurs libre de faire ou non connaître les spéculations auxquelles il fait allusion et ses procédés de démonstration; je ne réclamerai pas l'exécution de sa promesse, s'il la regrette.

Ses hyperboles infinies ne sont autres que les figures construites sui-

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U2 ŒUVItKS DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

vant les séries que j'appelle réciproques, et dont j'ai enseigné la quadrature prop. 102, 103, 104, 105 Arithm. Infin.; j'ai déjà montré cetto identité et il la reconnaît iLii-mème.

Soit donc, par rapport à la droite infinie AAÔ {Jig. i), une figure de ce genre répétée, de part et d'autre, de telle manière qu'il y ait con-

gruence entre AâBD et ASbd, par exemple, La figure double ainsi formée est celle que Fermât appelle hyperbole infinie (') et dont il demande le centre de gravité.

Comme les droites parallèles à AS (en dessous et au-dessus) forment une série réciproque, dont par conséquent l'indice est négatif, soit — p; comme, d'autre part, les moitiés sont proportionnelles aux lignes entières, et que par conséquent les milieux de ces droites, ou leurs centres de gravité, doivent être regardés comme suspendus à la balance AS à des distances du point A (supposé le centre de la balance) proportionnelles aux grandeurs des droites elles-mêmes; les moments, dont la raison est composée de celle des grandeurs et de celle des distances, formeront une série ayant pour indice — ip.

Ainsi la figure totale est au parallélogramme inscrit Db, comme i est à — p + I , et la somme des moments de l'une est à la somme des moments de l'autre, comme i à — a/) -hi. Mais le centre de gravité du

(') Fermât ne s'est pas en réalité exprimé d'une façon si impropre; mais la figure de Wallis n'en répond pas moins h. celle du Tome II, page 338. — Le nombre p de Wallis est l'exposant de j dans l'équation 7P.E = A de l'hyperbole &3 rapportée aux axas AS (des a;) et Arf{des j). D'autre part m figure totale comprend le rectangle DBirf.

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parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu; lo parallélogramme De doit donc être regardé comme suspendu en M, milieu de AA, dont la distance à A est AM = - AA.

Mais le poids de la figure totale, dans sa position ('), étant au poids

du parallélogramme, dans sa position, comme i à i — 2/», si l'on prend

sur l'autre bras de la balance, la droite AP étant à AM comme i à

I — ip, le parallélogramme suspendu en P fera équilibre à la figure

totale suspendue comme auparavant. D'autre part, la grandeur de la

figure totale étant à celle du parallélogramme comme i à i — ^, si l'on

fait = -— =^, C étant sur l'autre bras que P, et les distances étant

réciproquement proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le centre de gravité de la figure infinie, si toutefois il y en a un.

Mais, dans le cours de l'opération, on a dû prendre ___ = !-«; il est donc clair que, pour qu'il y ait un point P, il faut que l'on ail

>.p<i ou P<\-

Autrement i — 2/j serait nul ou moins que rien, et dès lors il n'y aurait nulle part ni point P, ni point C.

Ainsi nous avons trouvé, pour toutes les hyperboles infinies de Fermât, qui en ont, le centre de gravité, et nous avons distingué celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont point. Ce qui était demandé.

J'ajouterais bien davantage sur le centre de gravité, tant de ces figures, que d'autres formées de différentes façons; n'était que Fermât borne là sa demande, et que je dois mo souvenir que j'écris une lettre, non un volume.

Mais, si jusqu'à présent je me suis conforme à ses ordres, je lui demanderai en retour de traiter la même question sur ses hyperboles, dans le cas où les courbes, de part et d'autre de l'axe, ne seraient pas des hyperboles de même espèce, et cela en général.

C) C'est-à-dire lo moment par rapport a A.

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Par exemple : Que, dans la figure AâBD {fig. 2), infinie au sens de Fermât, on inscrive autant de parallélogrammes AG que l'on voudra;

de même, dans la figure kohd, autant de parallélogrammes Xg que l'on voudra ; mais que d'un coté on ait

fiï'xGH — Ïïd'xBE,

et de l'autre

fg X ff// ^bd X be' .

On demande de trouver le centre de gravité de la figure totale, si toutefois il en a un, et de déterminer, en général, quelles figures de ee genre en ont un et lesquelles n'en ont pas.

S'il avoue qu'il ne le peut, l'aire, je m'engage h donner la réponse.

Enfin, et après ses autres lettres, j'ai reçu à part du même Fermât quatre Remarques sur mon Arithmétique des Infinis. Je pourrais sans inconvénient les passer sous silence, si votre illustre correspondant ne pouvait penser que je le dédaigne ; en tout cas, je suis porté à croire qu'il a écrit ces Remarques à la hâte et sans grande réflexion, que peut-être même, s'il a lu aujourd'hui le reste de l'Ouvrage, il préférerait ne pas les avoir faites; tant on y reconnaît mal la pénétration d'un si grand homme, tant tout y est àirpo^Siovuda (').

I. Dans l'Épitre, en tète de l'Arithmétique des Infinis, j'expose l'his-

(■) Ne louchant pas à la question dont il s'agit. — Les Remarques en question forment la pièce n" 8S de la Correspoiufance de Fermât.

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GOMMERGIUM DE WALLIS. 443

toirf! de mes redierclies et notamment comment j'ai appliqué à mon sujet la Méthode des Indivisibles de Cavalieri. En effet, de même que :

La raison de la somme de tous les cercles dont se compose (au sens de Cavalieri) le conoïde parabolique à la somme d'autant de cercles du cylindre est la raison du conoïde lui-même au cylindre; et que la raison des sommes respectives de tous les diamètres de ces cercles est la raison de la parabole au parallélogramme; raisons qui sont connues l'une et l'autre;

Que la raison de la somme de tous les cercles dans le cône à celle de tous les cercles dans le cylindre est la raison du cône au cylindre, et que la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles est la raison du triangle au parallélogramme ; raisons qui sont encore connues l'une et l'autre;

De même, la raison de la somme de tous les cercles dans la sphère à la somme de tous les cercles dans le cylindre est la raison de la sphère au cylindre, et la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles est la raison du cercle au parallélogramme; ce que Fermât d'ailleurs ne nie aucunement.

Mais ici la première raison est connue depuis longtemps, la seconde ne l'est pas. J'ai -donc dit que je me proposais de chercher si par quelque moyen je pourrais, en partant de celle qui est connue, arriver à celle qui est inconnue jusqu'à présent.

Fermât réplique : « Mais elle ne peut être connue, h moins de connaître la quadrature du cercle. » Ce qui est parfaitement juste; carrer le cercle c'est précisément trouver cette raison, et du moment où je me proposais, de la chercher, je me proposais de chercher la quadrature du cercle. Au reste, je l'ai dit là-même en propres termes.

II. J'avais dit, après avoir indiqué la formation de la série des nombres

que je cherchais quel terme moyen devait être intercalé entre i et 6. Il répond que le moyen géométriquement proportionnel ne satisfait

pas à la question, comme n'ayant pas correspondance avec les autres

hhG ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

lermes de la progression. Ce qui est juste, puisque la série exposée n'est pas formée de termes en proportion géométrique; le moyen terme cherché ne peut donc être un moyen géomctriquemont proportionnel.

Mais quand il infère, de ce que le moyen géométriquement proportionnel ne convient pas, qu'aucun autre ne peut convenir, il n'y a pas mènic là une ombre de raison ; pas plus que s'il avait avancé la même

chose sur la série

!, 6, ij, i6, ....

Personne n'ignore qu'entre i et 6 on doit intercaler le moyen terme 3~, non pas comme moyen géométriquement proportionnel, mais comme le moyen que comporte la série d'après sa nature, c'està-dire le moyen arithmétiquement proportionnel.

De même, dans la série des nombres triangulaires

si quelqu'un affirmait qu'entre i et 6 il ne peut y avoir de moyen terme comporté par la série, par ce motif que ni le moyen arithmétique, soit 3-1 ni le moyen géométrique, soit v'6, ne conviennent, il est certain qu'il se mécompterait puisqu'il y a un terme intermédiaire, le nombre triangulaire 3 que comporte la série; do même qu'entre 6 et i5 on doit intercaler lo. Si maintenant dans la série

on demande quel terme intermédiaire convient entre i et 3, j'ai montré, page 175, que c'est i|-

Mais, comme l'interpolation dans de pareilles séries revient très fréquemment dans tout le Livre, surtout depuis le scholie de la proposition 165 jusqu'à la lin; comme c'est, en fait, l'objet principal de tout l'Ouvrage, il eût été impossible, s'il l'avait lu entièrement et

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qu'il eût tant soit peu réfléchi, qu'il pensât que je voulais parler c!e moyen géométrique proportionnel.

Au reste, j'ai entrepris, entre autres, l'interpolation de cette même série

et j'ai montré, proposition 167, que ie terme moyen à intercaler entre I etSest an; ce que signifie ce symbole, je l'ai complëtement expliqué sur la proposition 19( (').

111. J'avais dirigé la recherche dans le premier Icmmc (prop. 1) de telle sorte qu'elle fût conforme à la marche h suivre dans les autres lemmes semblables, mais plus compliqués, des propositions 19, 39, 43, etc., et qu'ainsi elle pût les éclairer.

Fermât montre, par une longue discussion, qu'il est capable de donner une autre démonstration. Je n'en aurais douté en aucun cas; car qui donc, même arithméticien de trivio (à plus forte raison un tel homme) peut ne pas savoir prendre la somme d'une progression arithmétique? Je ne pense pas qu'il se figure que je serais dans ce cas; je le renverrais à la Prop. 2 Con. Sect. et à la proposition 45 du Chapitre XXVll de ma Mathesis Universalis.

Je dois faire remarquer à votre très subtil correspondant que, dans l'endroit dont il s'agit, je ne m'occupe pas de démontrer la proposition que j'ai énoncée, mais du moyen do découvrir la chose demandée, comme si elle était inconnue; je veux, par cet exemple de recherche dans une question facile, préparer à des recherches semblables dans des questions plus difficiles.

S'il avait voulu que sa remarque portât, il aurait dû montrer qu'il n'y avait pas là une méthode légitime de chercher une chose inconnue ; il ne l'a point fait; il avoue même qu'elle est utile pour chercher des choses cachées, toutefois avec les précautions nécessaires. Mais il ne niera pas, je pense, que la quadrature du cercle, que je cherchais

( ' ) Lg symbole □ de Wallis signifie le rapport du carré du diamèlre à la circonférence : voir, Tomo II, la noie de la page 348.

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entre autres, ne soit chose assez cachée; il n'indique nullement, d'autre pari, que j'aie employé cette méthode avec assez peu de précaution pour commettre une erreur; je ne vois donc pas à quel titre il peut justement blâmer ma méthode de recherche.

Voulait-il qu'après avoir légitimement découvert la chose, je la confirmasse a posteriori par des démonstrations apagogiquesî J'ai sufiisamment ditpourquoi je ne le faisais pas, tant à la proposition 2, Con. Sect. qu'à la proposition 43, Arilh. Infin. et ailleurs. C'est que je n'en sentais pas le besoin, et je ne le sens pas encore.

IV. Enfin, lorsque, sur la proposition 2, il indique que la restriction serait faite h tort, votre clarissime Correspondant se trompe absolument sur le sens de ce que j'ai dit; il n'a pas assez fait attention à mes paroles.

J'ai affirme cette proposition dans toute sa généralité, et je crois l'avoir démontrée généralement, en tant que besoin était; en tous cas, elle ressort de la recherche précédente. Oui, il est universellement vrai, et je l'ai universellement affirmé, qu'une somme de termes arithmétiquement proportionnels, commençant h o (série qui sera toujours comme o, i, a, 3, ...) quel que soit le second terme, sera toujours, comme i est à 2, à la somme d'autant de termes égaux au plus grand. Et cela est vrai sans aucune restriction.

Mais j'avais ajouté, à titre d'explication ou, si l'on veut, comme corollaire ;

Si l'on pose a pour le nombre des termes, l pour le dernier, quel que soit le second, la somme de tous les termes sera -al, c'est-à-dire

la moitié du nombre des termes {- <^\ multipliée par le dernier terme (/).

Cela est encore affirmé sans restriction. Mais j'ajoutais :

Si d'ailleurs le second terme est i (et autrement, il n'en serait pas

de même), le nombre des termes sera /-i-r, c'est-à-dire supérieur

d'une unité au dernier terme. Dès lors la somme des termes sera

— /; car dans ce cas — — vaudra autant que -a, la moitié du

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COMMERGIUM DE WALLIS. 4W

nombre des termes, laquelle, multipliée par /, le dernier terme, doit donner la somme totale.

Or que dans ce cas, le seul que j'aie énoncé sous restriction, il faille bien en faire une, votre très savant Correspondant ne peut le nier. S'il est vrai que, par exemple, dans la progression

dont le second terme est i, le nombre des termes est /-t-i, c'està-dire f\-\-i=: 5, dans une autre, dont le second terme ne soit pas i,

comme

le nombre des termes n'est pas / -+- \ , c'est-à-dire 8 -i- r, mais bien 8 .-

Or mes expressions ne peuvent avoir aucun autre sens, et on ne peut les interpréter autrement sans leur faire une violence excessive. Car, après avoir affirmé en général qu'une somme de termes arithmétiquement proportionnels et commençant à o est à la somme d'autant de termes égaux au plus grand comme i est à 3, j'ai immédiatement ajouté en toutes lettres : A savoir, si le premier terme est o, le second i (car autrement la conclusion devrait être modifiée'), et si le dernier est l, la

somme sera / (car, en ce cas, le nombre des termes sera l-\-i); ou

autrement (en posant a pour le nombre des termes, quelle que soit d'ailleurs la valeur du second) - al.

Cela est dit si clairement qu'il est étonnant que quelqu'un, pourvu qu'il y fasse suffisamment attention, puisse le mal comprendre. On ne peut donc qu'attribuer à la précipitation qui l'a entraîné, que votre illustre Correspondant ait pu se méprendre sur ce que je voulais dire, alors qu'il a d'ordinaire une telle pénétration et une telle finesse d'esprit.

Voilà ce que je pense devoir dire sur ces Remarques, pour ne pas paraître les mépriser. Mais si Fermât a depuis trouvé assez de loisir pour examiner à nouveau ces questions et pour y réfléchir un pou

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450 aîUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

plus attentivement, je ne donto pas qu'il n'ait déjà de lui-même trouvé satisfaction.

Votre très noble Correspondant a pris plaisir à provoquer en champ clos (on peut le voir dans ses lettres), non pas un ou deux mathématiciens du commun, mais et l'Angleterre tout entière, et la Belgique et le reste de la Gaule, sauf la Narbonnaise; il ne trouvera dès lors pas mauvais, je crois, que nous lui rendions la pareille; et cela, non pas sur une bagatelle, mais sur une question où personne ne puisse nier que le nœud ne soit digne d'une telle main, ni, s'il le dénoue, que la chose en valait la peine. Je ne veux donc pas parler de la question par laquelle j'ai répliqué à sa première et qui est de même nature; ce n'est pas un sujet qui me semble mériter une anxieuse application. Je ne pense pas davantage ii la question du tronc de cône; comme Je l'ai dit alors, je ne l'ai pas proposée comme difficile, mais comme élégante. Pas davantage à celle qu'il a rappelée dans sa lettre, à savoir :

Étant donnée la série des nombres

I, 6, 3o, i/io, 63o, etc., trouver entre i et & le terme intermédiaire que comporte (a série.

Cependant c'était là, à le proposer pour la première fois, un problème suffisamment ardu, puisque même encore votre très noble Correspondant le considère comme insoluble. Mais puisque j'en ai déjà donné la solution dans un livre publié par moi, je n'ai pas k le proposer de nouveau.

Toutefois j'en choisirai un tout semblable; à savoir :

Etant donnée la série des nombres

5 3i aog 1/171 10635 ' 6 3o j4o 63o 3772 ■'

trouver entre i et -^ le terme intermédiaire que. comporte la série.

Qu'il ne pense pas là-dessus, comme il semble l'avoii' fait pour l'autre série, que je demande une moyenne géométrique pas plus

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COMMEUCIUM DE WALLTS. ^51

qu'une moyenne arithmétique; je ne lui demande pas de tant s'appliquer pour trouver — ou 4/,-; il s'agit d'un terme convenant à la nature (le la série et ayant correspondance avec tout l'ensemble. Il ne lui suffira pas non plus de dire que ni la moyenne géométrique, ni la moyenne arithmétique ne conviennent à !a série; car on ne demande pas quel terme ne convient point, mais quel est celui qui convient.

Qu'il ne croie pas non plus que je lui propose cela comme plaisanterie, et que ce soit une bagatelle; s'il résout légitimement cette question, je promets en retour un enjeu assez précieux, la quadrature de l'hyperbole. Et si la Gaule Narbonnaise ne le peut, ce sera fourni à quelque jour par l'Angleterre, grâce à la faveur divine.

Mais il y a déjà trop longtemps que j'ennuie votre Seigneurie, et que, rendu trop audacieux par votre clémence, j'enfreins les lois de l'urbanité; et cela à tel point que je ne pourrais, sans une faute nouvelle, implorer le pardon de celle que j'ai commise. Mais du moins il me reste l'espoir que, dans votre insigne complaisance, vous daignerez interpréter avec assez de bienveillance ce que j'ai pu mal faire, pour que je ne sache pas trouver auprès de vous un meilleur avocat que vous-même, un meilleur défenseur, soit de moi, soit de notre nation. C'est dans cet espoir que j'ose encore, m'appuyant sur votre faveur, me dire,

Très insigne Seigneur, Votre très obéissant et très respectueux,

J. Walijs.

^ , , ai novembre „.

O.ïford, ; i — 1657.

J'ai cru à propos d'ajouter ici, pour que la question tout entière soit plus complètement exposée au lecteur, ce qui a été indiqué ci-dessus comme omis ou changé dans la lettre précédente, au sujet du centre de gravité (voir page 44i. ligne 4. à page 444. ligne ii : suit une première rédaction).

Fermât exige de moi que je fournisse le centre de gravité dans foules les hyperboles infinies qui peuvent en avoir un, et que je dis-

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tinguc celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il désire qu'au moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration.

Je ferai ce que demande votre très noble Correspondant, et même, ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai la démonstration ; il verra ainsi qu'elle procède directement de l'art d'invention que j'ai exposé.

Voici la proposition :

Si à l'axe AD {fig. 3), dont le sommet est A, se trouve rapportée (des deux côtés), une tigure soit plane, soit solide, dont les ordon-

nées (soit des droites, soît des surfaces planes senildables) forment une série de termes soit égaux, soit suivant les premières, secondes, troisièmes, etc. puissances, soit suivant les sous-secondes, sous-troisièmes, etc., soit quelque autre série formée de tels termes combinés entre eux comme on voudra, soit enfin une série réciproque de l'une quelconque des précédentes (ce qui comprend ce qu'il appelle hyperboles infinies)', que l'on divise l'axe AD au point C, en sorte que jtt soit égal au rapport de l'unité à l'indice de la série augmenté de l'unité ; C sera le centre de gravité de la figure.

Si la série est telle que l'axe puisse être divisé de la sorte, la figure aura un centre de gravité; autrement, non.

Pour que l'axe puisse être ainsi divisé, il faut que l'indice de la série soit plus grand que — i; autrement, non.

Suit la démonstration :

Supposons d'abord que le point A du sommet soit au centre de suspension de la balance, et que l'axe AD soit dirigé suivant les bras de cette balance.

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COMMERCIUM DE WALLIS. io3

Soit/5 riiiclice lie la série suivant laquelle procèdent les ordonnées (droites ou surfaces planes); cette série sera donc, comme ikp-hi, à la série des termes égaux correspondants, en partant de A,

11 est clair, d'autre part, que leurs distances au sommet, donc au centre de la balance, sont proportionnelles aux abscisses (ou plutôt sont ces abscisses même); c'est donc une série de termes de la première puissance, dont l'indice est i .

Or la raison des moments entre eux est composée de la raison des grandeurs et de celle de leurs distances au, centre de la balance. La série des moments, composée dès lors des deux séries correspondantes, aura donc pour indice p-hi, qui est la somme des indices des séries composantes.

Par conséquent, la somme de tous les moments (c'est-à-dire le poids de la figure entière ainsi suspendue) sera à la somme d'autant de moments égaux au dernier (c'est-ii-dire il la figure correspondante formée de termes égaux, et suspendue en D) dans le rapport ■■- ■

Si donc, sur l'autre bras de la balance, on prend le point P en sorte

que xn ^= ' ^^ qu'ofi y suspende cette figure correspondante

formée de termes égaux, elle fera équilibre à la figure proposée, suspendue comme auparavant, et le centre de gravité des deux poids ainsi suspendus sera le point A.

Si donc on supprime le poids suspendu en P et qu'on prenne (], en