I AP

sorte que — = -rrr (c'est-à-dire les distances dans le rapport inverse des grandeurs), ce point sera le centre de gravité du second poids.

Mais AP=— î— AD; donc AG = ^^^ AP = ^^^ AD ; dès lors p-i-'2 ^ 1 /) -t- a

CD = — î— AD et ;^ - ^^^. c. 0. F. I).

Si maintenant p est — i ou < — r (comme — 2,-3, etc.), p ■+- 1 (c'est-à-dire alors — i-i-i, —2-hi, — 3-i-i, etc.) sera soit o, soit moins que o; il n'aurait donc aucun rapport avec l'unité.

D'oii ressort la distinction.

Hosted by

\ùk ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Fermât dira peut-être : « De cette manière on trouve bien le centre de gravité (entre autres) des mêmes figures que j'appelle hyperboles infinies, mais non pas dans la même situation. » En effet, il ne les suppose pas prolongées à l'infini des deux côtés du diamètre limité AD, mais des deux côtes du diamètre infini AS; or c'est dans cette position qu'il demande le centre de gravité.

J'avoue que cela est vrai; mais je réponds que ma spéculation n'est pas moins curieuse que l'autre, et si je ne me trompe, elle est nouvelle; je ne sache pas du moins que Fermât ou quelque autre l'ait déjà, je ne dis pas atteinte, mais seulement entreprise. Au reste, afin qu'il ne se plaigne pas que je ne lui aie point donné satisfaction, puisqu'il demandait le centre de gravité dans une autre situation, Je ne refuserai pas de m'astreindre à lui répondre, même sur ce point.

Les droites parallèles à AaS {fig. i) (tant dessous que dessus) l'orment une série réciproque d'une directe dont l'indice sera p, par

exemple. Cette série réciproque aura donc pour indice —p. Comme d'autre part les moitiés sont proportionnelles aux entiers, les moitiés de ces droites parallèles formeront de même une série d'indice — p; et par conséquent les milieux de ces droites ou leurs centres de gravité devront être regardés comme suspendus h la balance AS à des distances du centre de la balance A, proportionnelles aux grandeurs des droites elles-mêmes. Donc les moments, dont la raison est composée de celle des grandeurs et de celle des distances au centre de la balance,

Hosted by

seront cux-mcmes en raison double des grandeurs; ils formeront doue une série réciproque d'indice — ip.

Ainsi la figure totale sera au parallélogramme inscrit comme i à —p + i; et la somme des moments de l'une sera à la somme des moments de l'autre (dans cette situation) comme i à — 2p + t . Mais le centre de gravité du parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu, le parallélogramme inscrit doit donc être regardé comme suspendu au milieu de Ad, soit en M, dont la distance au centre de la balance est AM— -AA.

Mats le poids de la figure totale, dans sa position, étant au poids du parallélogramme inscrit, dans sa position, comme i à — ■zp -\-i, si l'on prend sur l'autre bras de la balance, au delà du centre A, la droite AP qui soit & AM comme t à — 2j0-i- i, le parallélogramme suspendu en P fera équilibre ii la figure totale suspendue comme auparavant. D'autre part, la grandeur de la figure totale élanf h celle du parallélogramme comme i à — /»4-i, si l'on fait — — —— = —t C étant pris sur l'autre bras que P, et les distances étant i-éciproquoment proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le centre de gravité de la figure proposée.

Mais AP = ^ — AM et AC = =^-^-^^ AP = ^^^-AM. Par

conséquent.

Il faut donc que i >■ 2/^ ou /; •< -. autrement i — ip serait nui, ou même moins que rien.

Je dis donc (seconde proposùion) que :

Si de part et d'autre de l'axe infini AS, dont le sommet est A, se trouve une figure plane, telle que, par rapport à l'axe conjugué DArf, limité de part et d'autre et également prolongé à partir de son milieu A, les ordonnées forment une série réciproque quelconque (dont l'indice sera, en tout cas, négatif), — c'est lii ce que Fermât appelle

Hosted by

i.o6 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

hyperboles infinies, — si l'on prend un point C, tel que le rapport du double de l'indice de la série plus l'unité au même indice, plus l'unité, soit celui de AM (distance du sommet au point milieu du parallélogramme inscrit) à AC (pris du même côté sur l'axe AS), ce point C sera le centre de gravité de la figure, si toutefois elle en a un. Or elle en aura un si l'indice de la série est supérieur à — -i autrement, non.

On peut remarquer au reste que le même mode de raisonner s'appliquerait absolument, même si les deux semi-hyperboles DAS, rfAâ, au lieu d'être disposées des deux côtés de la droite Aâ, de façon à produire une ligure hyperbolique infinie en pointe, comme ici, étaient situées de part et d'autre de la droite DB, mise en coïncidence avec db, de façon à produire une figure avec creux. Au lieu de chercher, comme tout à l'heure, te point C sur la droite Ao, on le chercherait de la même manière, mais sur la droite DB prolongée.

On arriverait encore au même résultat pour une figure composée de deux semi-paraboles ou semi-paraboloïdes, semblables et semblablement placées, soit de façon hêtre tangentes â A5 au sommet commun, soit à avoir DB comme base commune. On aura, en effet, toujours

3W + 1 , , .^, AM ., . DM

-!- esal soit a -r-r soit a -^rr; ■

p + i ^ Ai, DO

De la sorte il est surabondamment donné satisfaction aux demandes de Fermât; mais il eût été facile, en partant des mêmes principes, de déterminer le centre de gravité, non seulement dans les paraboles ou paraboloïdes entières, mais aussi dans les semi-paraboles et semi- |)araboloïdes; bien plus, dans la moitié des figures de l'espèce que Fermât appelle hyperboles infimes; ce à quoi je ne sais s'il a jamais pensé.

J'entends la figure formée par les droites AD, DB limitées, Ao infin ie, et une seule courbe. En effet, ayant trouvé les points C, tant sur la droite AD que sur la droite AS, si l'on en mène des parallèles à AD et il Aô, leur point de rencontre sera le centre de gravité de cette ligure.

D'où l'on conclura facilement de même, si besoin est, le centre de

gravité dans une figure formée de semi-paraboles de ce genre ou semihyperboles infinies, mais dissemblables.

Ce qui vient d'être montré au sujet des hyperboles planes de ce genre peut être étendu également (mutalis mutandis) aux figures solides formées, lorsque les ordonnées sont des surfaces planes semblables parallèles et rapportées à des parallèles soit à AD, soit à ko. Mais je dois me souvenir qu'en ce moment j'écris une lettre et non pas un Traité complot.