LETTRE XVII

Joa^ Wallis a Vicomte IJroukc.ker.

Très illustre Seigneur, puisque vous le demandez (et je ne puis qu'obéir à de tels commandements de votre part), je vais formuler. aussi brièvement que possible, la méthode de rechercher les nombres requis pour la solution du problème de Fermât, telle que nous l'avons pratiquée jusqu'à présent; j'indiquerai en même temps et le fondement de cette méthode et, là où il conviendra, les divers abrégés des opérations, puisque, autrement, la recherche peut tourner en longueur.

Le problème demande que : élanl donne un nombre quelconque non carré, soit n, on trouve un nombre carré, soit a"^, tel que son produit par le nombre donné, étant augmenté de l'unité, fasse un carré, soit

De plus, il faut fournir une infinité de carrés tels que a-, quel que soit le nombre non carré n qui soit proposé.

Alors qu'il n'était nullement question de nombres entiers, nous avions déjà résolu ce problème en fournissant tous les possibles, tant entiers que fractionnaires. M. Fermât a ajouté après coup qu'il ne voulait que des entiers; ainsi il a demandé qu'on fournisse une infinité de carrés entiers satisfaisant à la condition. C'était changer complètement le problème primitivement proposé en un autre d'une tout autre

nature. Néanmoins, j'ai cru devoir admettre ce changement et aborder la (fueslioîi en nombres entiers. Voici lo résultat :

J'ai jugé devoir partir de la règle générale précédemment énoncée. A savoir, si nous appelons n un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); q un carré quelconque; d sa différence avec 7z; ^ sera un carré requis. Nous avons déjà démontré antérieurement que non seulement cette règle est vraie et donne une infinité de carrés satisfaisant si la condition, mais encore qu'elle donne absolument tous les possibles tant entiers que fractionnaires.

Cela posé, pour la nouvelle condition ajoutée, il suffit de faire que ~, et par conséquent sa racine ^, soit un nombre entier, ou autrement que <^soit une partie aliquote du nombre 2R. Toutes les fois, en effet, qu'il en est ainsi, le carré fourni par la règle est évidemment un nombre entier.

Or, ayant un entier do ce genre, une méthode sûre en donne aussitôt une infinité d'autres, pour ne pas dire tous; ce qui sera exposé plus loin. Cependant, comme il peut se faire, ce qu'il ne faut pas dissimuler, que 2R soit un nombre fractionnaire, même quand -j- est entier, nous poserons

R — -^ et, iiar coiisécjuenî, q ^ ^,,

Ainsi ce sera la même chose de diviser soit 2R par cl, soit - pai' \n~ ~ . ou, en multipliantde part et d'autre par r*, 25rpar \nr'^ — s'^\. Par conséquent, si, d'une manière quelconque, on trouve, entre le produit du nombre n proposé par un carré quelconque et un autre carré, une différence qui soit une partie aliquote du double produit des racines de ces deux carrés (c'est-à-dire si | nr^ — s^ ] est partie aliquote du nombre 2«-), le quotient de ce double produit par cette différence donne un nombre entier, racine du carré cherché.

COMMliRClUM DE WALLIS. 't'Ai)

Vous direz : Mais coinmciit (rouvor ce carré dont il faut partir, et

qui, multipiié ptir n, doit différer d'un autre carré d'une partie ali-

quotc de ce double rectangle? C'est ce que je vais exposer maintenant

à ma façon.

L'entier n proposé étant non carré, soit le carré entiei' immédiatement supérieur

Si l'on multiplie le nombre n par un carré quelconque, soit n", on aura

na^^c'a^— bà' = (r.aY — ù.a\

C'csl-h-dire que le nombre donné «, multiplié par le carré du nombres, donne pour produit le carré du même nombre a pris autant de fois qu'il y a d'unités dans !a racine du carré immédiatement supérieur au nombre donné, moins le carré de ce même nombre a, après sa multiplication par la différence b entre le nombre donné et le carré immédiatement supérieur.

Par exemple, soient : n = y et, par suite.

Quel que soit maintenant le nombre pris pour a, on aura c'est-à-dire

Si nous prenons dès lors, pour a, les nombres successifs : i, 2, 3, l'i, etc., on aura un Tableau comme celui ci-contre, où il est clair que les nombres a du premier membre : r, 2, 3, 4, etc., étant en progression arithmétique, les nombres ca du second membre : 3, G, 9, i;i. suivront également une progression arithmétique, dont la raison constante sera c= 3, et enfin les nombres ba' qui viennent en troisième ligne, 2, 8, 18, 3a, etc. (multiples égaux de nombres carrés consécutifs), auront des différences suivant une progression arithmétique doni

WO ŒUVRES DE FERMAT. - TR\Dl!CTIONS.

la raison sera ib :

n M'- = {car— h. a'