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Eli efTet, on sait que les earrcs consccu-tifs se forment piir l'addition continue des nombres impairs 1 + 3 -h 5 -t- 7, etc.

Par suite, leurs difFcrcnctis croissent suivant une progression arithmétique de raison 2; dès lors leurs équimultiples auront des différences croissant suivant une progression arithmétique dont la raison sera l'équimuUiple de 2. On a, en effet, évidemment

9ft = [i + 3Z' + 5i,

De ce fondement dépendent toutes les relations qui suivent pour les progressions arithmétiques, et il sera inutile de le répéter davantage par la suite.

Cela posé, si b = i, il est clair que le nombre a = \ est un des carrés cherchés; car alors

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C'est ce qui arrive pour les nombres 3, 8, i ">, etc., inférieurs d'une iinilé à un carré.

Si maintenant b est supérieur à l'unité, il est clair que ba- l'est également, et qu'on chercherait vainement le nombre i dans la colonne correspondante des nombres à retrancher (quoique, ainsi qu'on le dira plus loin, il puisse s'y trouver parfois un nombre qui \ conduise).

Il faudra donc passer à une seconde colonne et de là aune troisième, une quatrième, etc., suivant les exigences de la question, jusqu'à ce que l'on trouve enfin le nombre i dans quelque colonne, ou du moins un autre nombre qui y conduise, 'comme je l'expliquerai plus loin.

Or on passera à une colonne suivante, dès que, dans la colonne considérée, le nombre à retrancher sera égal ou supérieur au doubb; de la racine du carré adjacent. Alors on prendra la racine immédiatement inférieure, et l'on diminuera le nombre à retrancher de la somme des deux racines :