i2=— 33=ri
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, relatif au nombre 7, on (rouve à la
troisième ligne
Or 18 est double de la racine de l'adjacent 9; par suite dans la eo-
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lonnc! suiviinte, à 9-— 18, Je substitue S^ — i, et je rencontre iininé- (liateinent, comme nombre à retrancher, 1 que je cherche. Dès lors, \c, carré du nombre 3 est un des carrés cherchés; et, en effet,
Si je continue dans la même colonne, je trouve à la sixième ligne 17-— 37, à quoi je substitue dans la colonne suivante, 16" — /|, puisque
(et ainsi toujours. Car la différence de deux carrés immédiatement consécutifs est égale ii la somme de leurs racines). Je vois donc ainsi que
Or, comme le nombre à retrancher, 4» est partie aliquote de la racine adjacente 16, il est clair que ce même nombre 4 est, a fortion, partie aliquote du double produit des racines 6 et 16. Si donc je divise par 4 le nombre 2 x 6 x 16 = lya, le quotient 4^ sera racine d'un autre carré cherché. En effet,
On a donc ainsi un autre carré cherché; maïs immédiatcmeiit au début, nous avions, dans la première colonne, 7X 3^=6^ — 8,
où il est clair que le nombre à retrancher 8 divise le double produit de 2 et 6;
axax6 = 24 et ^=3,
racine d'un carré déjà trouvé.
Kncore dans la même colonne, quatrième ligne, on a 7.4^=i.'-3a,
et comme le quotient par 32 de 2 x 4 X 12 = 96 est 3, on retrouve pour la troisième fois la racine du même carre déjà connu. En y i'ai-
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sant atteiiLion, on reconnaîtra que cette colonne donne souvent coup sur coup le même résultat, car il se présente à toutes les lignes paires ou dont le rang est multiple de deux. Mais bien plus, dès la première ligne où le nombre à retrancher, i, est partie aliquote du double produit 2 X I X 3, le quotient est encore ce même nombre 3 ; toutes les lignes de la première Colonne devront donc fournir cette même racine pour le carré cherché.
Il faut noter que non seulement les différences 6, lo, i4, i8, etc. de la première colonne, mais encore celles de la seconde, 8, 12. iG, 20, etc., de la troisième, i4. 18, 22, 26, etc. et ainsi de suite dans toutes les autres, sont en progression arithmétique, avec la même raison 4 que dans la première; il est donc très facile de prolonger une colonne quelconque, sans avoir à s'embarrasser d'aucune extraction de racine.
D'autre part, ces mêmes différences, prises obliquement, comme 10 et 8, i4 et 12, ou 18, 16, \[\, etc. sont toujours en proportion arithmétique, et leur commune différence est toujours 2 (ce qu'on reconnaîtra d'ailleurs, mutatis mutandis, quel que soit le nombre n proposé), il est donc de même facile de passer de colonne à colonne.
Il l'est encore, pour les mêmes raisons, de donner à volonté un nombre quelconque, dans une colonne quelconque, sans calculer les intermédiaires, ou encore, si cela paraît expédient, d'effectuer les opérations par bonds. Mais tout cela se présente de soi-même à qui a une pratique suffisante de la nature de la progression arithmétique, et il n'est pas besoin de le prouver plus longuement.
Au reste, ce que j'ai montré jusqu'à présent, en prenant le carré c^ plus grand que le nombre n proposé, arrive également en prenant le carré inférieur, le ne veux pas dire que l'on obtienne immédiatement le nombre cherché (comme dans le premier cas où l'on a 7.3-=:8-~ i), mais on a une différence partie aliquote du double produit (comme, quand'sur 7.2^ = 6^— 8, on a trouvé le nombre 8 partie aliquote du double produit 2X 2 x G,(:roij l'on déduit le quotient 3 comme racine d'un carré clicrché). En effet, il est siniplemcnl requis que la diffé-
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rence \nr- — s-\ divise le double produit irs, sans qu'il y ait nécessité que nr' ou s^ soit !e plus grand des deux termes ; c'est donc la même chose, pour la question, que nr'^ soit supérieur ou inférieur d'une unité à un carré.
Par exemple, soit proposé le nombre l'j.
On trouvera, à la cinquième ligne, quatrième colonne (ou troisième
à partir de la première),
i3.5^— iS-+ I.
Or T, différence, des nombres i3.5- et i8= divise le double produit 2 X 5 X 18 = 180, et donne pour quotient 180. Ce sera donc la i-acinc d'un des carrés chercbés.
En effet,
Sienfin, jusqu'à présent, nous avons pris pour c'^ le carré soit immédiatement supérieur, soit immédiatement inférieur au nombre donné, cela est tout à fait arbitraire et sans nécessité; car tout autre carre supérieur ou inférieur eût donné les mêmes résultats; ce qu'il faut également entendre de ce qui suit.
Il semble que de la sorte nous ayons suffisamment traité la première partie du problème, à savoir la recherche d'un au moins des carrés demandés. Car, s'il en existe un, il est impossible qu'on ne le trouve pas ainsi, par l'un ou l'autre mode, ou au moins parle premier.
Mais, comme il peut parfois être long d'y arriver, à moins d'en^-
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ployer un abrégé, il convient, pour faciliter le calcul, d'enseigner, entre beaucoup, quelques abrégés de ce genre.
L'un, qui est excellent, a déjà été indiqué; il se présente lorsque la différence | nr^ — s^ \ divise le double produit 2rs. Cela arrive toujours quand cette différence est soit r, soit 2, c'est-à-dire si nr" est supérieur ou inférieur, de i ou de 2, par rapport à un carré quelconque s-, car I divise tout nombre et 2, tout nombre pair, donc 2.rs. Mais cola se présente souvent aussi pour d'autres différences.
En voici un autre : à moins de rencontrer ba^ = i dans la première colonne, ce qui résout immédiatement la question, pour trouver i comme nombre à retrancher, il faut passer aux colonnes suivantes et en prendre une ou plusieurs, comme j'ai dit. Mais quel que soit le rang de la colonne où l'on trouvera r, de ce rang connu on déduira aussitôt la racine du carré cherché. En effet, si, dans la première colonne, la racine du carré essayé est ca, elle sera, dans la seconde, ca — I, dans la troisième, ca — -i, etc. Cela est évident dans le premier mode du procédé, où l'on prend le carré c' immédiatement supérieur an; quant au second mode, j'en parlerai plus loin.
Ainsi, il est clair que la racine du carré, dans une colonne quelconque, est inférieure à la racine du carré correspondant dans la première colonne, d'autant d'unités qu'il y a de rangs d'une colonne à l'autre; appelons d cette distance ou différence. La racine du carré dans une colonne quelconque sera ca — d et son carré
t'a- — 2cda + '^'
étant, par rapport au carré c^a", supérieur du nombre 2cda ~- d'-, il faudra diminuer d'autant le nombre à retrancher ba'- pour retrouver en tous cas la même différence na". Ainsi ce nombre à retrancher sera ba^— a.cda + d^. Mais je voudrais que ce nombre ainsi déterminé soit I. Il faut donc poser
ba- — 1 cda -\- d^^i,
et. transposant,
rf-^ T ^ ncda — ba-.
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et résolvant l'équation
^ï cd it \lc^'d' —Od'-hb oW -Jz \/WM^
a cause de c" = n -•- b. d'oii c- — h ^^ n ot c'cl- — hd- = nd- .
Ainsi, connaissant d, on connaîtra a.
C-ela posé, pour connaître d, il faut chercher, Je la même manière (juo l'on a montré pour a, un carré dont le produit par le nombre donné, étant augmenté du nombre h qui a été pris, fasse un carré, en sorte que \jnd-^ b soit un nombre rationel entier. Cela peut paraître à première vue aussi difficile que la première recherche proposée; mais, en fait, il y aura un grand abrégé, parce que d (nombre des colonnes suivant la première) sera toujours moindre que a (nombre des unités dans la racine du carré cherché), comme cela est évident. On parviendra donc plus tôt au nombre à retrancher b qu'au nombre il retrancher i.
Par exemple : soit proposé le nombre i3 et, par suite, soit
On ne trouvera pas i avant la ligne 180, oui
et par conséquent a = 1 8a. Mais on retrouvera le nombre à retrancher h = '.i, au moins dès la ligne 7 r, car
et par conséquent rf= 71, d'où l'on conclura a ~ 180, comme précédemment. Le calcul est donc abrégé de plus do moitié.
Si cependant il arrivait, ce qui peut se faire parfois, que le nombre d, ainsi trouvé en premier lieu, donnât un nombre a, non pas entier, mais fraclionnaire, et par suite impropre à la question
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proposée, on on chercherait un second, on même un Iriiisième, cnlin qnelqu'aiilre d donnant a entier. Ce qu'il fant aiit^st entendre ponr ce qui suit.
Que si cette réduction des opérations ne paraît pas encore assez satisfaisante, et qu'on ne parvienne qu'avec trop de lenteur au nombre d lui-même, dans ce cas sa recherche peut aussi être abrégée par le même artifice. Précédemment, pour trouver a, nous avons cherché le rang de la colonne renfermant le nombre à retrancher prescrit i ; maintenant il faut chercher le rang de la colonne renfermant le nombre à retrancher b. Or, comme, à cause de c^ = n -h 6, on a
et que le nombre à retrancher bd'- est trop grand (à moins que l'on n'ait b = i) puisque celui qu'on cherche est b, il faut diminuer le carré c-d'- (comme nous avons tout à l'heure diminué le carré c'^a^), de façon que le nombre à retrancher, étant diminué d'autant, devienne égal à b.
Ainsi, de même qu'à la racine ca du carré nous avons substitué ca — d, à cd nous substituerons maintenant cd — e, e étant le rang de la colonne où l'on trouvera le nombre à retrancher b. La différence des carrés de ces racines sera 2ced — e^, et en la retranchant du nombre bd-, il restera
d'où
:''— b^iced— hd-
1 équation.
ce ± \Jc' <^ ~ ht'- + (>' ce±^ne"'+ù'- ^'- i, -^ l, '
Par exemple : soit proposé le nombre i3. on trouvera à la ligne 28, t, comme 9 = è'', on aura e = 28, d'où d= ^i et a = 180. Ainsi le
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travail, déjà réduit auparavant de la ligne 1 80 à la ligne 71, se trouve maintenant réduit à la ligne 38.
Mais la même méthode peut encore le réduire davantage. En elfet, on montrera de la même manière, s'il est besoin, comment cette réduction doit se faire, et do même que l'on a trouvé
cd ± Jnd^ -(- b ce ± J'iïi
on trouvera
cf±s/„p-^~¥ __ cj ±\J7i^^l? ch ± s/nh^l? __ ^
et ainsi de suite.
Ainsi on est ramené à ceci : en commentant à procéder comme précédemment, on observera si l'on rencontre comme nombre à retrancher, soit I, soit 2, soit quelque autre diviseur du double produit -îrs ci-dessus mentionné (car dès qu'un tel cas se présente, la question est aussitôt résolue, comme il a été dit); soit encore b ou une de ses puissances quelconques, b-, ¥, etc. Si l'on rencontre ainsi b, on aura d; si l'on rencontre 6*, on aura e; si b^,/et ainsi de suite.
Un de ces nombres étant connu, on aura évidemment les autres en rétrogradant, à moins que l'on ne trouve ainsi des nombres fractionnaires; dans ce cas, il faudra, comme je l'ai indiqué, poursuivre encore la recherche commencée.
Par exemple, soit proposé, comme auparavant, n = i3, \'— 3
a-— 37 ^m^ll^— ',
le. 19'— 36
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On trouvera, à la ligne ii. colonne quatficme à partir de la première,
et, comme ici 27 = b'^, on aHra/= 11, d'où e = 28, r/= ti, a = 180.
Mais nous négligeons, dans la première colonne, tant 3 à la première ligne, que 27 à la troisième; dans la colonne 3 après la première, ligne 8, nous négligeons 9; parce que l'un quelconque de ces nombres donnerait a fractionnaire (de fait n ou , ou ^^|, et par conséquent impropre à la question.
Ainsi l'opération a été réduite de [80 à 11. Avec le nombre proposé, on ne peut d'ailleurs obtenir une nouvelle réduction, si moins de passer à des colonnes antérieures. En effet, puisque l'on ^ f~ 1 1 , comme j'ai dit, on doit le trouver ii la ligne n, colonne, /j aprt's la première; car g =^ '.\, ut l'on a d'ailleurs
134^=17—8'; mais on ne peut trouver cette puissance dans aucune des colonnes cidessus; il faudrait prendre celle qui est immédiatement antérieure à la première, puisque 17 = {cay-^i. La même chose est à dire, a/orliori, des nombres suivants h, i, etc.
On peut, il est vrai, prendre g = 84, puisque i3.84'=3o3'— 81, et que ce nombre donne, en effet, aussi bien/"=: 1 1 que/'= i!i3, mais on voit qu'il se trouve plus tard que le/cherché.
Il n'est peut-être pas sans intérêt de noter que, de même que si l'on connaît d, par exemple, on peut en déduire ,a, de même réciproquement, si Ton connaît a, on peut en déduire d; de même pour les autres. En effet, comme on l'a montré,
éa^ — 2 cda -+■ d*^ i; d'où, ordonnant et résolvanf l'équation,
cd ± \/i^'"+"5
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.lUIAT. - TRADUCTIONS.
comme on l'a déiii vu, ot
dz^
crt±v'««'^^^■
Do mrmo, puisque
bd'-
~'iced+a'=,b.
ou aura à !a Ibis
et n = cd ± \/7ûF+-'"L ;
et ainsi do suite.
Mais il s'ensuit aussi que
ba = e elsemblabler
nent hd^f, be--^;
Eli etï'el, puisque
cd±^nd^+b
l>a = cd±: \JruP -hb — e,
et de même pour les autres.
Il y a toutefois à faire cette distinction que le signe, qui est double dans les deux cas, doit être pris de deux façons différentes, le supérieur convenant mieux à la question pour l'une des quantités, l'inférieur pour l'autre. Par exemple, si l'on prend
ba =; cd — ^itd--\- ù ,
a sera un nombre fractionnaire, à moins que b ne divise le nombre cd — \lnd'^-\- b, ou bien, s'il est entier, il se trouverait encore plus tard que d ou e, dans la recherche dont il s'agirait. Au contraire, si, pour e, on prenait la plus grande quantité e ^cd -\- \/iid^-{- b ,
quoique dans ce cas le nombre soit bien entier, comme il est plus
grand que a, i! n'arriverait que plus lard, dans la recherche faite pour le trouver le premier.
Ce qu'on vient de dire pour acX e s'applique également à rf cl/, il e et g, etc.
Ainsi, si par exemple, après avoir trouvé e, on remonte par les égalités ci-dessus 'a d eik a, i! faut prendre les quantités les plus grandes;
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si, au contraire, on veut avoir les suivantes/, g, etc., on pvond les moindres, comme mieux appropriées à la question.
Les procédés abrégés, que nous venons d'indiquer pour cherclicr na^ inférieur d'une unité à un carré (et en prenant dès lors c-^ n), s'appliquent de même, mutatis mutandis, si l'on veut chercher na- ou nr^ supérieur d'une unité ii un carré (en prenant pour c^ le carré immédiatement inférieur) ou encore na^ ou nr^, ayant avec un carré une différence de i, en plus ou en moins. Quoiqu'en effet, dans ce cas, dne soit pas le carré cherché en premier lieu, il le donnera toutefois, comme j'ai dit plus haut. Les relations se présentent ainsi :
cd±.\Jnd-
ce±^na^
+ fr'
cg±^ng^-
c/i±\/'nh'
cd ± yjiid''
ce ± \/nd'
ib'
ch±\^nh'-
\jnd-
-cd
■ ce
■ef
■ Cii
ijnli-
— fy —
■ck
•siif
■érieiu
• de dei.
\Jnd-
-cd
\Jne'
+ 3ft'-
- ce
\liip
— ■ib'-
\hik'
-vh
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On procéderait, de même, pour chercher na- différant d'un carré d'un nombre quelconque, en plus ou en moins. J'entends en tant que la chose est possible, car il n'est-pas universellement vrai que pour un nombre quelconque, même non carré, son produit par un carré entier puisse avoir, soit en plus, soit en moins, une différence donnée quelconque avec un carré. Mais comme, dans la question posée, il est certain que I et 2 divisent toujours 1rs, que cela n'est pas de même assuré ou universellement constant pour les autres nombres, il suffira de porter son attention sur ce qui suit ; à savoir si. en instituant le calcul indiqué, on trouve na* ayant avec quelque carré pour différence le nombre 1 ou 2, ou quelque autre partie aliquote du double produit des racines; ou bien inférieur à un carré du nombre h (différence entre le nombre donné et un carré plus grand), ou d'une quelconque de ses puissances, ou du double d'une quelconque de ses puissances; ou encore supérieur à un carré du nombre h (différence entre le nombre donné et un carré plus petit), ou de son double ou d'une puissance quelconque impaire de h ou du double d'une telle puissance ; ou enfin, dans le même cas, inférieur d'une puissance paire de frou de son double.
Si, en effet, quelqu'une de ces circonstances se présente, on aura, soit le nombre a. racine du carré cherché ou qui le fournira immédiatement, soit quelqu'un des nombres d, e, f, qui, par rétrogradation, conduiront à a, à moins que le nombre a ainsi trouve ne soit fractionnaire, auquel cas il faudra pousser plus loin la recherche, comme il a été dit.
Par exemple, soit proposé le nombre n = il\g, et soit pris
