C-—11 et par conséc[(ienl ^r=3i49 — i/i4=^û

on trouvera, à la ligne 17 de la colonne troisième ou 2 après la première (car il n'est pas nécessaire d'aller plus loin),

149-17';= 206'+ 625; et dès lors, comme G2.J ~b*, on aura g = ly, d'où, en rétrogradant.

on trouvera

/= 82, e=. 397, d = 1993, enfin a o\i r = gSoS.

Le produit de ce dernier nombre par n dépasse un carré d'une unité ; car

i49X93o5 ^12900870725=: II 3582 -4-i = .ïï-M.

Le double produit

ar^ = 2X93o5xii358a,

divisé par

donnera

racine du carré cherché dont le produit par n ou 149 sera inférieur d'une unité au carré du nombre

On aurait obtenu le même résultat si, passant la ligne 17, on était allé jusqu'à la ligne 82 ou 397, etc., où l'on aurait eu/= 82 ou f = 397, etc.

Ainsi, dès la ligne [7, nous avons le nombre qui, par la méthode

exposée, conduit au nombre cherché, lequel est passablement élevé,

puisque le plus petit des carrés satisfaisant à la question doit être écrit

avec 19 figures. C'est

carré de

comme Je l'ai dit; et ce carré, multiplié par 149, est inférieur d'une

unité à

carré du nombre

En voilà sans doute bien assez sur les procédés d'abréviation de la recherche; je n'ignore pas qu'on peut ajouter encore d'autres remarques, qui abrégeraient cette abréviation même; mais je crains d'être trop prolixe.

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j'ilvais pensé notamment à indiquer une autre méthode abrégée. H s'agit de montrer comment nous pourrions poursuivre par sauts l'investigation dont j'ai parlé, ce qui peut être utile, quand elle traîne en longueur, comme cela arrive parfois; de la sorte il ne serait pas même besoin, en certains cas, d'examiner une ligne sur loo. Mais cela ne me parait pas nécessaire, et je ne dois pas en mettre trop; ou bien, si vous désirez que je traite aussi ce point, ce sera pour une autre fois.

Désormais, ayant longuement exposé la méthode de recherche d'un carré quelconque propre à notre objet, c'est-à-dire tel que son produit par un nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse un carré, il reste à montrer comment nous en fournirons ensuite une infinité de même espèce, pour ne pas dire fous les possibles. Liidessus je serai aussi rapide que possible, car je n'ai pas à être prolixe, en vous exposant ce qui est de vous.

Comme je l'aï déjà dit plus haut, toutes les fois que la difTérence \n.r- — s^\ est une partie aliquote du double produit ^rs, le quotient de ce dernier par cette différence sera la racine d'un carré satisfaisant à la question.

Soit donc déjà connu (par la recherche ci-dessus développée) un carré quelconque satisfaisant à la question et que nous désignerons par r*. Puisque dès lors, par hypothèse, nr- -t- i est un carré, soit .îce dernier. On a donc

«/■'+, =s^ d'où \nr^-s^=iu

Comme i divise tout nombre entier, il est clair que cette diii'érence, [nr^ — s''| = i, divise le double produit irs; et le quotient résultant de cette division sera la racine d'un second carré satisfaisant à la question. Grâce à ce second, on en déduira de la même façon un troisième; de celui-ci un autre, et ainsi de suite à l'infini.

Toutefois, si cette solution satisfait largement à la question, de fournir une infinité de carrés de l'espèce, elle ne donne pas absolument tous les possibles.

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Par exemple, soit donné lo nombre 3, la racine du premier carré sera i ; on en déduira pour celle du second 4. puis successivement

56, it>864, 408855776, ...,

et cependant on passe sur de nombreux carrés intermédiaires, à savoir

ceux des racines i5, 209, 780, 291 1, 4o545, i5i3i6, 564719, 2107560.

Ces racines intermédiaires seront fournies par la régie suivante : Soient n le nombre donné, r la racine du premier ou plus petit

carré satisfaisant à la question, supposée trouvée par la méthode

exposée ci-dessus, et <f = 2 s[nr'^ + i .

la racine du premier sera

celle du second »

» du U'oisième »

H du quatrième »

» du cinquième »

et ainsi de suite, selon hi série ci-coi

La construction de cette série se reconnaît de prime abord; il sullil d'indiquer que les coefficients sous-entendus, sinon inscrits, des premiers termes sont les unitaires i, r, i, etc.; ceux des seconds les linéaires i, 2, 3, etc., engendrés par l'addition successive des unitaires i-i-i-i-i, etc.; ceux des troisièmes termes sont ies triangulaires I, 3, 6, etc., formés par l'addition successive des linéaires 1 + 2 + 3, etc. ; ceux des quatrièmes termes sont les pyramidaux i,

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4» 10, etc., formés par l'addition successive des triangulaires

1 + 3 + 6, etc., et ainsi de suite.

Ou bien si, a t, i^ — i, t" — 2t, etc., nous substituons t, u, x, etc.,

on aura

u =u — x = tu —

c'est-à-dire que chaque terme est le produit par t du terme immédiatement précédent, si l'on retranclie de ce produit le terme pénultième.

Ou enfin (figuration qui pourra trouver des préférences) la série aura la forme suivante (uoi/- Lettre XIV) :

Pour le nombre donné 3 :

3 par le carré de i x 3 ■ ou pour •! :

a par le carré do 2x5-

Ici connaissant, comme précédemment, la première et la seconde racine, on forme les autres de telle sorte que, dans les fractions successives, le numérateur de chacune soit égal à son dénominateur moins le dénominateur immédiatement précédent, et que chaque dénominateur soit égal au numérateur du terme immédiatement précédent réduit en fraction impropre.

Si ce que je viens de dire ne suffisait pas surabondamment pour la question à traiter présentement, on peut encore ajouter ce qui suit.

Si l'on a trouvé une série quelconque comme ci-dessus, convenant pour un nombre non carré donné, par exemple n = 2, on aura immédiatement les séries convenant aux multiples du même nombre par un carré quelconque, soit à nm^ ; pour cela, il suffit de diviser la série des racines déjà trouvées par la racine m de ce carré.

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COMMERCIUM DE WALLiS.

Ainsi l'on a :

2 parle carré de

5i X..., i5/lc.x...^

2 par te carré de 2.12.70.408.2378.13860 8 » I. 6. 35. 204. 1189. 6930.

18 » n 4. » i36. » 46ao

72 11 » 2. H 68. » 23io

Il est facile de voir que la division on question peut s'effectuer tantôt sur tous les termes, tantôt en les prenant de deux en deux,

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011 [lo trois en trois, ou an quatre en quatre, cinq en cinq, etc. De même pour les autres nombres.

H ne sera pas mauvais d'avertir de ce que j'ai déjà indiqué plus liaut, quoique la chose soit étrangère au sujet à traiter présentemenl.

Si, dans la question proposée, au lieu de dire, étant augmente de l'unité, on avait dit : étant augmenté d'un nombre carré quelconque, soit k'^, les séries des carrés que nous venons de trouver seraient à multiplier par ce carré k'^, ou, ce qui revient au même, les racines des carrés seraient à multiplier par k.

Par exemple : étant donné le nombre n = 2, on demande que na^ soit inférieur d'une unité à un carré. On aura alors «n'=z:a par le carré de a. 12. 70....

Mais si Ton demandait que na^ soit inférieur du nombre 9 à un carré, on aurait

na'''^::^^ par 9 fois le carré de a. 13. 70....

(iette série fournit une infinité do carrés satisfaisant toujours ïi la condition proposée, toutefois clic ne les donne pas toujours tous. Cette remarque doit suffire.

Voilà les principales choses qui m'ont semblé à dire sur ce sujet; je les ai réunies dans ce résumé pour obéir à vos ordres. Il nie reste à vous prier d'excuser avec bonté ce qui pourra n'être pas en tout conforme à votre désir, et de no pas vous lasser de continuer vos faveurs accoutumées.

Très insigne Lord,

au très respectueux serviteur de votre Seigneurie,

.lon?i Waixis.

Osford, 7/r7 iJocembrc i6j7.

J'avais déjà écrit tout le reste, quand l'idée m'est venue d'ajouter encore, sous une forme tout a fait différente de celle ci-dessus, votre méthode de rechercher le premier carré. ( Voir Lettre XIX.)

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COMMERGIUM DE WALLIS. hl'.)

Soit, par exemple, proposé le nombre non carré n = ij, et soit a" le carré cherché, tel que i3a^ -i- i soit carré. On aura

ou bien

par conséquent

a 6 > fl > i.

Soit « — i + c; et, par suite,

fib^-^SI'C H- /ic=-M = 6/1^4-6^-1- b'-,

a6c-h4';=-rr=;36^

rtc'--

-h icd+l^c'^^ 1 = 3c^-l- 6c^ + ■ict-

3c^-hi — 4c£^ + 3rf';

id>C>d.

3rf^-

\-^de-^^e^^\.=.l\d--^hde + :>, d'

2rfe-t-3e^-!-i = 4rf';

6/y + ir"+i= 4/";

Vg'+i = r,sh + hl'\ ■ih-^ g>h.

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2i = k, iz=i.

Par conséquent,

i =1, h^ 2, é'-- 3, /== 5, e^33, rf = 38, c^7i, 6=;(09, «=i8o.

On procédera de la même façon pour tout nombre donné non carré.

LKTTRK XVIII.

John Wallis a Kenelîi Digbï.

Très illustre Seigneur,

J'ai reçu avant-hier soir très tard et j'ai parcouru hier le Traité de M. Frenicle sur les problèmes de Fermât, Traite que votre Seigneurie a récemment adressé au très honorable Lord vicomte Brouncker, et que ce dernier a bien voulu me communiquer; je ne l'avais pas vu auparavant etjen'en avais même jamais entendu parler, avantd'avoir reçu à ce sujet la lettre du très honorable vicomte.

Il est certain, d'après ce Traité, que son clarissime auteur, ou bien n'a pas vu, ce que j'aime mieux croire, la lettre que je vous ai adressée à Paris, ou qu'il n'a pas loyalement agi : dirai-je avec nous ou avec notre nation?

Il commence tout d'abord par insulter notre nation, et non pas elle seulement, mais aussi les Belges et même les autres nationaux de France.

(c Voici 1), dit-il, « que Lutèce vous fournit, très illustre Seigneur, » la solution de problèmes que ni vos Anglais, ni les Belges, n'ont » aucunement pu procurer ; la Gaule Celtique est fière d'enlever la » palme à laNarbonnaise, etc. »

Et bientôt après, il répète à plusieurs reprises, que " la plupart des

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1) autres mathémaiiciens, tant d'Angleterre que de Batavie, s'atta- » chent à les résoudre », ou même « y dépensent leurs sueurs », mais qu' « il a vainement attendu quelque chose des Anglais ou des Ba- )) taves, quoique la plupart aient sué là-dessus », et autres phrases pareilles.

Pour les Français et les Bataves, ce qu'il convient d'en dire, j'ai d'autant moins à m'en soucier que j'ignore davantage ce qui s'est fait chez eux; mais, pour vos Anglais, je puis en parler.

Tout d'abord, quand les Anglais n'auraient rien fait sur la question, on n'aurait pas pour cela à triompher de notre nation ; car il n'y a pas un de ses mathématiciens sur cent qui ait, je ne dis pas, sué à résoudre ces problèmes, mais les ait seulement abordés, ou même qui en ait entendu parler. Je ne sache pas, en efiet, à part Lord vicomte Brouncker et moi, qu'il y ait en Angleterre un mathématicien qui y ait dépensé une petite heure, ou même qui y ait pensé tant soit peu; au moins tous ceux que je connais, d'après mes informations actuelles, les ont absolument ignorés ou bien ne s'en sont pas occupés. Si leur très noble auteur a pu dire dans une lettre particulière qu'il les proposait à tous les mathématiciens de l'Europe, il ne faut pas croire que tous, je ne dis pas : se soient aussitôt mis à la besogne, mais même en, aient eu immédiatement connaissance.

Quant à nous deux, nous avouons qu'il peut bien se faire que votre clarissime correspondant ait résolu ces problèmes, au moins les deux premiers, avant l'un ou l'autre de nous. A cela, il n'y a rien d'étonnant puisqu'il les aurait résolus deux mois avant qu'il en fût rien parvenu ici. Il dit, en effet, avoir trouvé la solution dès le aS janvier (nouveau style), alors que ces problèmes, quoiqu'ils semblent m'être adressés personnellement, n'ont pas été vus de l'un de nous deux avant le 4 mars (vieux style), soit huit semaines entières, moins deux jours. plus tard. Ce fut la, au reste, la date de leur arrivée de Paris à Londres, et ils ne parvinrent à Oxford qu'un peu plus tard.

Ce que nous avons fait sur ce sujet, il est inutile de le répéter longuement à nouveau, puisque je vous l'ai déjà exposé à plusieurs

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!vS2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

reprises dans mes lettres précédentes. Toutefois, comme cela se trouve épars et mêlé à d'autres choses (car le même M. Fermât nous a posé d'autres questions et nous avons répondu sur plusieurs points de plus d'importance), il paraît utile de faire le résumé de ce que j'ai déjà écrit à ce sujet, et de le donner à voir d'ensemble, pour qn'on puisse juger combien à tort on croit triompher de nous ou cle notre nation. D'ailleurs, comme on semble parfois accuser notre lenteur, j'ai cru bon de marquer les dates.

Les deux premiers problèmes étaient conçus en ces termes :

Proposes (îioi'rpa^e 3ii, n" 79, à page 3 12, ligne 4) ■••• d'une amilié naissante.

Pour qu'on ne nous accuse pas de lenteur, je dirai que M. White, qui devait nous apporter ce papier de' Paris, l'a remis hLondresàLord vicomte Brouncker, le 4 mars (vieux style); celui-ci l'envova le lendemain à Oxford, où il arriva le 6 mars, Je soir à une heure avancée. J'v lis aussitôt une réponse, en sorte qu'elle pût être emportée par le courrier partant le lendemain de grand matin pour Londres. Voici le résumé de cette réponse :

Les questions proposées sont à peu près du même genre que celles que l'on pose sur les nombres dits parfaits, déficients ou abondants, et ne peuvent guère dès lors, ou ne peuvent pas du tout être ramenées ïi une équation générale embrassant tous les cas. Mais le seul et même nombre i satisfait aux deux questions, puisqu'il est à la fois carré et cube, et que d'ailleurs il n'a pas de parties aliquotcs. J'ajoutais en même temps un problème très semblable à ces questions, et pour lequel je n'ai encore rien reçu comme réponse.

Trouver deux {voir^. 4o4, lignes 16 à 19) .... semblable.

A ma solution, le très honorable vicomte ajouta ensuite la sienne, ii savoir : non seulement le nombre i, mais (au cas où les fractions seraient admises) le quotient du nombre r par la sixième puissance de tout nombre entier; et, de plus, pour la première question, le quo-

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COMMERGIUM DE WALLIS. 483

tient du nombre 343 divisé de la même façon, par cxcmplo, -^- En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme le tout, le cube ci-dessus ~ n'aura pas d'autres parties aliquotcs que ^i ^^ ^^ lesquelles, ajoutées au même nombre -^, font ~i nombre carré. Ainsi ni M. Fre- 64 64

nicle, ni M. Fermât ne peuvent dire qu'aucun Anglais n'ait satisfait aux questions, puisqu'au contraire les seuls qui les aient abordées, au moins que je sache, les ont résolues.

Comme cette solution était immédiate et qu'on ne demandait qu'un seul nombre de l'espèce, je n'ai pas jugé à propos de poursuivre des recherches dans l'infinité des nombres. La question ne me paraissait pas d'assez grande importance pour l'exiger, et l'eussé-je voulu faire, je n'en aurais pas eu le loisir. Car le problème me surprenait au milieu des occupations les plus pressantes et alors que je me disposais à partir pour assister à l'enterrement d'un frère que je venais de perdre.

Je n'étais pas encore de retour (mon absence dura deux semaines, si je me souviens bien) que, dans un entretien à Londres avec le lord vicomte, j'appris de lui que, dans l'intervalle, il avait déjà reçu, du même M. Fermât, une autre question, dans laquelle l'auteur avait une plus grande confiance, tandis qu'il semblait abandonner les autres, déjà résolues, à ce qu'on sait maintenant, par M. Frenicle; le lord avait répondu à cette question et donné, avec les précédentes, cette réponse à M. White; celui-ci les envoya immédiatement à Paris, comme on peut le reconnaître, et l'on ne peut non plus sur ce point nous reprocher un retard.

Or cette troisième question, après le préambule (Il est à peine guclqu un qui propose des questions purement arithmétiques, il. est à peine quelqu'un qui sache les résoudre, etc.), était conçue en ces termes :

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de carrés déterminés, tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux

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par le. nombre donné, on ait un carré Mais je demande la règle générale s appliquant à tout nombre non carré quelconque qui peut être donné, etc.

Cette règle générale qu'on demandait fut fournie par le très honoré vicomte, et appuyée de sa démonstration.

Soient n un nombre donne quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); q un autre carré quelconque (entier ou fractionnaire); (/la différence entre « et y; à savoir soit n~ q, soit (/ — ".

Régie .■ rt -^ + I est un nombre carré. En effet,

k gn^

Que cette solution soit légitime, personne n'en doutera, à moins qu'il ne la comprenne pas; et la démonstration, qui n'était pas réclamée, est certainement tout aussi régulière. Cependant, pour qui serait embarrassé des notations analytiques, la voici en d'autres termes :

Si le quadruple d'un carré quelconque est divisé par le carré de sa différence avec le nombre proposé, le quotient sera le carré cherché ; car son produit par le nombre proposé, étant augmenté de l'unité, fera un carré.

J'ai envoyé moi-même à Paris une autre règle semblable, mais plus tard, car alors je n'avais pas eu pleine connaissance de la question.

Soient n un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque arbitrairement choisi, par lequel on divise un carré q quelconque, ce qui donne le quotient m. Soit, d'autre part, o le quotient de m par 4p (c'est-à-dire par le quadruple d'un nombre quelconque); soit enfin d la différence entre oa et pn.

^i disais-je, est le carré cherché. En effet,

Que Fermât prenne l'une ou l'autre de ces règles, il n'aura pas seulement une infinité de carrés, mais bien tous les carrés possibles

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COMMERCIUM DE WALLTS. 483

entiers ou fraetionnaires, dont le produit par le nombre donné (d'ailleurs carré ou non carré, car il n'y a pas de raison pour restreindre aux seuls non-carrés la question ainsi posée), étant augmenté àc l'unité, fera un carré. Et cela même a déjà été démonti'é par nous, comme suit ;

Soit /* un carré possible quelconque (satisfaisant à la question) ; on aura donc, par hypothèse, nf'-v- 1 égal à un nombre cai'ré, soit /-, Prenons maintenanL

on aurii, disais-je pour la preinioro règlo,

d' ' Et, en effet,

Mais

par eonséquent,

;.-, = „/. cl

Dès lors

Mais, comme 2/-= — j. — ,

La même chose peut être prouvée do même, s'il est besoin, pouil'autro règle.

Ainsi nous avons donné la rcgio générale demandée pour obtenir, étant donné un nombre quelconque, une infinité de nombres carrés

hm ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

dont le produit par le nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse un carré. On ne peut donc nous accuser de ne pas avoir résolu le problème.

Je montrais encore, par surcroit, que la question se serait résolue avec la même facilité si, au lieu de l'unité, on eût proposé d'ajouter un nombre carré quelconque, par exemple, b^. Il eût suffi, au lieu de

^i de prendre ^è^ Mais c'était là un hors-d'œuvre, puisqu'on ne demandait que ce qui est donné par la première règle; or celle-ci fut envoyée à Paris, aussitôt après la réception de la question, toujours dans le mois de mars, si je ne me trompe; on ne peut donc nous reprocher ni de ne pas avoir résolu le problème, ni d'y avoir mis quelque retard.

La vérité est que ce fut seulement au mois d'octobre que J'eus communication d'une Lettre écrite par Fermât à Votre Seigneurie, où il faisait entendre, d'une part, qu'il n'avait pas bien saisi ce qu'avait voulu dire le Lord Vicomte (car il n'avait pas bien compris les solutions, écrites en anglais, puisqu'elles étaient adressées à M. White, un Anglais, et il n'avait pu trouver quelqu'un assez au courant de ces questions pour lui faire une traduction fidèle); d'autre part, il voulait que les questions proposées fussent entendues des seuls nombres entiers; c'était là changer absolument l'état de la question, car jusqu'alors il n'avait pas été soufflé mot d'entiers; enfin il proposait nombre d'autres questions, tout à fait étrangères à la précédente, et auxquelles il demandait une réponse, qui lui a été donnée. Mais à cette époque j'étais occupé d'autres afl'aires, et sur le point de faire un voyage, en sorte qu'il ne m'était pas possible de me mettre à cette besogne avant mon retour, en novembre; ce fut donc dans ce mois (par la lettre que je vous adressai le 21 novembre) qu'il fut longuenfent répondu sur les uns et les autres points, tant en mon nom qu'en celui du très honoré Vicomte. Pourvu donc qu'on nous fasse grâce sur ce délai si court et en tous cas indispensable, il n'y a encore là aucun reproche à nous faire.

COMMRRCIUM DE WALLIS. i87

Si d'aiilours votre illustre correspondant a mal compris notre langue. le problème n'en a pas été, pour cela, moins résolu, et on ne peut pas plus reprocher au. très honoré Vicomte d'avoir écrit en anglais à un Anglais qu'à votre illustre correspondant d'avoir rédigé en français presque tout ce que nous avons vu de lui.

Qu'enfin il limite maintenant aux seuls carrés entiers ce qu'il avait proposé sur les carrés en général, cela ne peut nullement nous faire tort. Car nous ne pouvions deviner qu'il fallait entendre ainsi la question, surtout quand il disait qu'il y cherchait à imiter Diophante, chez lequel par nombres carrés il faut toujours entendre indistinctement les entiers et les fractionnaires. .

Admettons pourtant qu'il s'agisse de nombres entiers. Nous disons que, même dans ce cas, les questions sont résolues. Car pour la première et la seconde nous avons donné le nombre i, entier qui satisfait à l'une et à l'autre. Quant à la troisième, nous avons donné la règle générale demandée, qui fournit tous les carrés satisfaisant à la question, soit entiers, soit fractionnaires.

Fermât peut nous dire qu'il voulait seulement des entiers et qu'il les voulait en nombre infini; mais quoique auparavant je n'en eusse rien su ni rien pu soupçonner, il lui a été donné satisfaction mémo sur ce point, comme il ressort de ma lettre de novembre.

Nous avons, en effet, montré que la proposition ainsi entendue est moins générale que dans les termes où elle était proposée tout d'abord, et qu'il faut la limiter au moins aux nombres non carrés, ainsi que l'a fait Fermât. Car si, en effet, n est carré entier, comme

tJ-' -^ sera aussi un carré entier, et sa différence avec un autre

carré entier ne pourra être la seule unité.

Nous avons montré de même que, dans le cas où l'on peut donner un certain carré remplissant la condition prescrite, on peut aussi en trouver une infinité d'autres, et nous avons indiqué comment, d'un seul connu, les autres se déduisent en nombre infini. C'est là un point qui ne paraîtra pas à négliger, même, je crois, à M. Frenicle,

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'i88 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

qui a passé tout cela sous silence (quoique ce semble être la principale partie du prohlème); qui n'a donné aucune démonstration de théorème^ ni aucune construction de problème se rapportant à ces carrés à fournir en nombre înfmi; or nous avons donné et démonstration et construction.

De même nous avons montré comment, dans l'infinité des nombres carrés que donnent nos règles ci-dessus, nous distinguons les entiers des fractionnaires.

En effet, toutes les fois que -^ est un nombre entier, c'est-à-dire toutes les fois que d" est une partie aliquote du nombre ^q, et dès lors en prenant les racines, d ou |? — «| une partie aliquote du nombre 2R, ou encore, si l'on pose ç = ~ et 'R= -, puisqu'il peut se faire que (/ et R soient des nombres fractionnaires, toutes les fois que « — -^ est une partie aliquote du nombre -j-- ou, en multipliant de part et d'autre par r^, toutes les fois que la ditférence | nr'^ — s^ \ est une partie aliquote du double rectangle ^rs; toutes les fois, disais-je, que cela arrive, le carré donné par la règle énoncée est un nombre entier, dont la racine est • — ^ ■

Or ceci a lieu de diverses façons et en particulier de la suivante : I nr^ — s^ |, différence entre le produit par le nombre donné d'un carré quelconque et un autre carré quelconque, sera soit i, soit 2. Car r divise tout nombre entier et 2 tout nombre pair, tel que ars.

Et cette seule règle renferme l'ensemble de tout ce qu'a donné là-dessus M. Frenicle. Car le nombre de la quatrième colonne de sa Table est précisément le nombre r, puisque son carré, multiplié par le nombre n, diffère en plus ou en moins d'avec un autre carré (qui sera s'^), soit de i ou de 2, soit au moins d'une partie aliquote du nombre 1rs. Ainsi trouver le nombre de sa quatrième colonne, c'est justement trouver notre nombre r; or il n'enseigne nulle part cooîment on peut le faire et il laisse ainsi toute la question non résolue; il ne donne que des exemples sur les nombres particuliers non carrés

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jusqu'à i5o, mais ne donne nullement ce qu'exige le problème, c'està-dire la règle applicable à un nombre donné quelconque. Quant aux préceptes que renferment les dix pages suivantes, et qui enseignent à trouver, d'après le nombre de la quatrième colonne, celui qu'on cherche dans la seconde colonne, nous les renfermons tous ensemble

dans celui-ci : que -, — ^ ■- —. est le nombre cherché, c'est-à-dire celui dont le carré remplit la condition proposée.

Quant à l'abrégé qu'il indique comme particulier aux nombres pairement pairs, c'est-à-diro divisibles par 4 (cas où il n'a pas recours aux nombres de la quatrième colonne), nous avons montré en général que cet abrégé s'appliqne aux nombres divisibles non seulement par /j, mais encore par tout carré quelconque.

Tout cela, avec d'autres choses se rapportant au même sujet, a été déjii longuement exposé soit dans ma dernière Lettre de novembre à Votre Seigneurie, soit dans celle (XVII) que j'ai écrite peu après au Lord Vicomte Brouncker, avant d'avoir en tout cas, remarquez-le bien, vu le Traité de M. Frenicle; vous recevrez une copie de cette Lettre en même temps que la présente.

Je ne voudrais pas au reste que vous pensiez que, dans ce qui précède, j'aie voulu manquer en rien aux très illustres et très nobles Fermât et Frenicle, rabaisser leurs travaux ou leurs connaissances en la matière; je respecte, comme il convient, des personnages aussi érainents, mais j'ai voulu vous montrer que vous n'avez pas non plus à rougir des Anglais vos compatriotes. Je laisse à Votre Seigneurie à apprécier ce qui a été fait sur la question tant par le très honoré Vicomte, qui a joué le rôle principal dans l'affaire, que par moi qui suis intervenu comme suppléant et qui reste

De Votre Seigneurie le très respectueux

Joiis Wallis.

Oxford, 16/2O décembre 1657.

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LETTRE XiX.

.IOiif« Wallis a Vicomte BrouiNckiîr.

Voici, très illustre Seigneur, ce que je pense sur la seconde méthode de l'induction à instituer, méthode que je crois devoir développer un peu plus longuement que je ne l'ai déjà fait (voir l'Appendice à la Lettre XVII). Ce n'est pas que vous n'ayez suffisamment saisi mes brèves indications (un mot vous aurait suffi); mais puisque la chose doit être soumise à d'autres yeux, qui peuvent être moins familiers avec ces questions, je crois utile, et il me semble que vous-même le réclamez, de donner une explication un peu plus développée.

.Te reprends donc le même exemple qu'auparavant : étant donné un nombre non carré n = t3, dont le produit par un carré a* doit être inférieur à un carré d'une unité, il s'agit de trouver ce carré a^.

Puisque, par hypothèse, i3a* ■+- 1 est un carré entier (le problème étant désormais posé pour des nombres entiers), il est clair que ce carré doit être inférieur à (/ta)" — lôa^, supérieur à Çia)- = ga^. Si en effet a est entier, on a évidemment

Soit donc ce carré ou bien (3a -hby ou bien (/[« — h')'-, en sorte que h soit la différence de la racine du carré cherché avec celle du carré immédiatement supérieur ou inférieur.

Il est indifférent de prendre l'une ou l'autre expression; choisissons la première.

Ainsi

i3«^-i-! --(3(7-1- 6)'i=9«^-F6rt6-i-/'^

et, supprimant de part et d'autre les termes égaux, ia'- + >■-■= 6 al> + b\ Cela posé, il est évident que la quantité h est inférieure ii «. supérieure à ~a, c'est-ii-dire que

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COMMERCIUM DE WALLIS. Wl

Si, en offcît, l'on avait b -- a, on aurait 3a -i- /^ = l\a, nombre déjà reconnu comme trop fort; donc b<Ca. Si, au contraire, on avait 6= - u et dès lors a = 20, on aurait, à cause de l'équation 4ra^-h i =Gai~i-iposée cî-dcssus,

ce qui ne peut avoir lieu en aucun cas, Par conséquent h >- ~ of

Puisque l'on a donc 2b'y>a''^b, on peut ai'bitraireinenl de la même

l'aeon poser

soil a-.-ib — c, soiL a — b + c,

en sorte que c soit la différence entre a et soit aè, soit b. Le choix entre ces deux positions étant libre, prenons a =^ b -h c cl par suite, en raison de l'équation

^a''-i- 1 -—iiab \- b'-

posée ci-dessus,

^ ô= + 8 ic -H /k^ ^.- L = 6i'-h66c-h b"ci, supprimant les termes égaux,

ibc -i-4c'-i- i— ' 3^-, D'où l'on conclut, comme ci-dessus,

■iO b>c.

De même, posant b =^ c -^d, on conclura

Posant (? = f/ -f- e,

2 e > rf > Ê,

ainsi qu'on peut le voir en opérant suivant l'exemple déjà donné. Posant enfin cIt= e -\-f, on a

,. + , = 6,./ h 4 A <roii, évidemment,

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Si, en cfTet, on avait e = 7/, on aurait

tandis que le premier membre de l'égalité est plus petit. Au contraire, dans le cas de e =^ 6/, on aurait

le premier nombre est au contraire plus grand. Dès lors e est supérieur à 6/ et inférieur à 7/. De même pour les autres relations.

Il ne faut pas d'ailleurs croire qu'il faille de nombreux essais pour reconnaître ces limites, comme 7/ et 6/, entre lesquelles doit être. compris le nombre e, il ne faut pas redouter que cette rechercbc ne devienne fastidieuse. Cette crainte s'évanouira si l'on remarque que l'une des limites est pour ainsi dire toujours obtenue on divisant le coefficient du produit par le coefficient du carré dont on cherche les limites. Ainsi, dans l'exemple en question,

«.+ , = 6e/+4/', en divisant 6 par i, on a le quotient G; par conséquent 6y sera une limite ou au moins le nombre immédiatement voisin de celle-ci. Si l'on fait l'essai en remplaçant e par 6/, d'oti ô^/par 36/-, on aura

6e/+ 4/"^=^4o/^. nombre plus grand que 36/^-)- i = (e^+ i);

il est donc clair que ge est pUis grand que/, ou e>6/. Que de même c> 7/, cela est aussi évident; car, posant e = 7/,

6^/ -H 4/' =46/' plus pelilritie 49/'+ '--(«=+ J). Ainsi on connaîtra les limites

7/>^'>'i/ et de même dans les autres cas.

Mais il est évident que les dilFérences b, c, d, etc. sont des nombres entiers et qu'elles décroissent continuellement ; on arrivera donc nécessairement il une certaine différence de cette suite/au plus tard si elle se

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réduit à i) qui sera une partie aliquote de la précédente. C'est tout dn même ainsi que, dans la réduction des fractions à leur plus simple expression, c'est-à-dire dans la recherche du plus grand commun diviseur, suivant la proposition VII, 2 des Éléments d'EucIido, en divisant successivement les diviseurs par les restes, on arrive au même résultat ; cette recherche est, en effet, tout à fait voisine de celle dont il s'agit ici. Dès qu'on sera arrivé à ce point, au lieu de limites comme

on aura une égalité. Ainsi dans l'exemple proposé, lorsqu'on arrive à

si l'on prend h = ii, car h est évidemment, d'après cette équation, supérieur à i,

équation qui peut évidemment avoir lieu, si l'on pose i = i. La valeur du nombre i est ainsi déterminée. En revenant sur nos pas, on en déduira la valeur des différences A,g-,/,c,(/,c, b, et enfin de a= 180, racine du carré qu'on se proposait de chercher.

Ceci doit suffire pour expliquer la Corme du procédé.

Il est facile de conclure de là la vérité du théorème : Étant donné un nombre quelconque non carré, on peut déterminer un certain carré, dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fasse un carré, et l'on déduira de là une infinité do tels carres, comme nous l'avons antérieurement démontré (XVI). Mais cela est vrai, non pas seulem'cnt si l'augmentation est d'une unité, ainsi que l'énonce Fermat, mais si elle est d'un nombre carré quelconque, comme nous l'avons d'ailleurs prouvé antérieurement. Car, de même que, par exemple, en proposant d'égaler à un carré i3a^-i-i, on arrive à iii^"-!- 1 = 1 2 î% d'où [^=1; si Ton avait posé tout d'abord r3rt"-!- 9, on serait arrivé à 1 1 i^-f- 9 = 121^, d'où i^ = 9, et l'on calculerait «^ par rétrogradation, comme ci-dessus. De même, pour tout autre carré ajouté au lieu de i ou de 9.

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Mais si l'on ajoutait un nombre quelconque, j'eiitenJs non carré, ie théorème ne serait plus universellement vrai, ainsi que nous l'avons déjà avancé et qu'il est facile de le prouver. Mais, dans le cas où la chose est possible, on résoudrait la question tout à fait de la même façon, en substituant, au lieu de i, ce nombre possible quelconque.

On doit également remarquer qu'on procéderait encore tout à fait de même, si, au lieu d'ajouter un nombre quelconque, on devait retrancher un nombre quelconque (possible, bien entendu). On substituerait seulement à -f- 1, — i ou tout autre nombre possible. Cette remarque est essentielle pour ce qui va suivre.

.Tusqu'ici nous avons sans doute suffisamment mis en lumière ce qui ■A un rapport nécessaire à la question. Mais nous ajouterons d'autres développements qui peuvent rendre les calculs plus aisés.

En premier lieu, nous avons dit plus haut qu'il est indifférent de poser au début, soit

I3«'-^ I = (4o ~ by—iQa'- — %ab -+- b\ ou bien

Gela est vrai absolument; cependant il est avantageux de choisir la position pour laquelle h est le plus petit. Ainsi dans l'exemple proposé, où il est clair que l3a*^-l est plus près de i6a' que de 9«-, puisque la différence est d'un côté 4«°-i- I. de l'autre 3a- — I, il est

plus avantageux de poser

Do même, pour ce que nous avons dit ensuite que, en prisant

on trouve a plus grand que b, mais plus petit que ib, et que l'on peut |)osei' indifféremment

quoique cela soit absolument vrai, il est cependant préférable de

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COMMERCIUM DE WALMS. i!)3

choisir la position à laquelle correspond la moindre valeur de c. Et puisqu'ici a est évidemment plus voisin de h que do ib, on posera avec plus d'avantage

li faut entendre la même chose pour les autres différences d, e,f, etc.

La raison en est toujours la même; il s'agit de ramener à l'unité ces différences b, c, d, etc., toujours décroissantes. On y arrivera plus vite, en prenant toujours les plus petites différences et non les plus grandes. Ce qui peut s'appliquer aussi à la méthode corhiue de réduction des fractions à leur plus simple expression par la recherche du plus grand commun diviseur. Cette remarque se présente d'elle-même, si l'on fait la moindre attention, quoif(ue je ne croie pas qu'on ait coutume de s'y conformer.

L'exemple ci-dessous montre suifisamment qu'il résulte du procédé indiqué un abrégé notable. Le calcul est d'un tiers plus court, pour le même nombre i3, que si l'on prend toujours, comme auparavant, les différences les plus grandes. Dans ce cas, oji doit le continuer jusqu'à i', ici il suffit d'aller jusqu'à/" :

3rf--4-i — 8c/e — e^ 3e>rf>-.e

Pour prouver maintenant que cette méthode peut servir non seulement pour chercher des nombres petits ou ordinaires, mais même des nombres suffisamment considérables, nous en montrerons l'essai sur le nombre proposé, non carré. 109, qui demande le plus grand carré

-^ab

iab-b--

= 3rt^.

hc

'+%bc — b^

— laô'

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49(i G'.IJVllES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

de. tous ceux que traite M. Frenicle, et pour lequel eelui-ei avoue n'avoir pu trouver la solution, que M. Fermât lui a communiquée. On aura

Il = 109,

56b'+36bc +

= 4o6'+3oAc-i-;

i&bc -hi)c^

^-4c-rf,

6(ic=~i6crf-i-9c^

= 8oc^ — 4ocrf+5

2icd

^5cl'

= 3i/-he,

l'on conclut

;=;io»i + « =

k— -il +m =

^= 5 A -ht —

ej=jr + s= 6 535

e= If +S =

563 85o9o3 iSg

0 = 3jD + 9 = 101 661

b= kc —d =

az= ib ^c -----

Nous voyons ainsi que le nombre a, racine du carré cherché, a au moins i4 figures, que son carré en a au moins 27 (nombre passablement élevé) et qu'il a réclamé 22 positions. On ne peut guère nier que sa détermination ne soit passablement abrégée, eu égard à la nature de la question.

Mais ii y a encore un autre abrégé qui peut souvent supprimer au

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moins la moitié du travail, grâce à la règle antéFieurement énoncée, à savoir que si la différence entre le produit du nombre proposé par un certain carré et un autre carré quelconque est une partie aliquote. du double produit des racines de ces carrés, le quotient de cette division sera la racine du carré cherché. Or cela arrive nécessairement toutes les fois que la différence est i ou 2; si donc on trouve un carré dont le produit par le non-carré donné soit, par rapport à un autre carré, en excès de l'unité ou de 2, ou en défaut de 2, il est évident que l'on pourra en déduire le carré cherché. Or cela arrive très souvent dans les opérations, surtout quand il s'agit de nombres tin peu forts, pour lesquels surtout il y a besoin d'abrégés.

Par exemple, prenons, comme tout à l'heure, /; — i3; putsqu'cn posant

on arrive à ['équation

d'uù l'on conclut

si l'on avait posé tout d'abord i3«- — 1, on serait arrivé à

3i- — 1 ^^ ^bc -\- 3c-; d'où l'on aurait conclu

Le carré de ce dernier nombre donnant avec i3 un produit supérieur d'une unité au carré du nombre 18, il s'ensuit que 180 = iï x 5 x 18 est le véritable nombre a cherché, celui dont le produit du carré paii3 sera inférieur d'une unité à un carré, à savoir G49 .

De même, pour le nombre proposé 109, en opérant comme ci-dessus, c'est-à-dire en posant

I oQa- -h I z= \ 00 a^ -h ^o ab -j- b- , on arrive à

iG kl -'.-r.r-izz g /.'''-,, tl'ofi ?,i>k>-il;

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km ŒUVIiES DE FERMAT. - TllADUCTLONS.

[tutis il est clair que si l'on eût posé en commençant logfl- — i, on serait arrivé ii

ieki^5i'--Qk'-+i, ,.voù /. — ■>J, i — i,

lit, en rétrogradant, a = 85i 525, nombre dont le carré, multiplié par 109, sera supérieur d'une unité à un carré. On en conclura, de la façon expliquée, que le nombre a cherché, dont le carré multiplié par 109 est inférieur d'une unité à un carré, a pour valeur i5 140424 455 100. Ainsi le calcul, qui a été poussé jusqu'à y, pouvait être arrêté à l. De même, pour le nombre non carré proposé 433, si l'on pose

433rt- -H 1 — ; 44 "i'' — ^2 al? -+- b'',

(Ml poursuivant les opérations suivant la marche prescrite, on arrivera à l'équation

8i-i^-^ I = ^8')/' -H 9p-, <l'où 5/1 >« > {\p.

Par conséquent, si au début j'avais posé i'-i'da- — 1, j'aurais

80^ — T=: 3So/i + 9/1*, d'où 5/j = '1, /; = r, o zzr. à, etc.;

p^ I, k—fil—m-- Goi, ,; = !if+g-^ ■i:îoy443,

o-~^p=^ 5, (-^iS/f-F/— 797.), d-'ie—f— 636(385,

H 1^40 -\- p^ ai, /i^r; -îi + k —- i6 55(, c -— ^d + e =^ (SoSaaia,

m—-in^o.-. 47, g-=i3A — (■= 4i 67S, b — kc + d— 6649oa33,

/ =3»i-^/izr; (63, f=zi!,g — h — m&ç,t^i, «=n.ii + c = 347483377;

d'oij a — 34741^3377, nombre dont le carré 120 744 (>97 ^91 3'24 laç), multiplié par 433, donne 52282453927143347^07 qui surpasse d'une unité le carré du nombre 7 23o66oG84- Par conséquent, 5025068784834899736,

tlouble produit des racines 3474^3377 et 72306G0684. est le nombre a primitivement cherché, dont le carré

aàaSi 316293 3i3 0Ç)5 §58983939617 (73 869696, multiplié par 433, donne

iOij33 8(9954575467 506940045 854 235 853 578 368,

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qui est inférieur d'une unité au carré de 104 564 907 85.'i 2S66()3 713. Ainsi le carré cherché, d'au moins 38 figures, se découvre après i.5 positions, en continuant les opérations jusqu'à p seulement.

Je m'arrêterais ici. sans une ou deux remarques qu'il me reste à ajouter comme bon poids; non qu'elles soient en rien nécessaires au sujet, mais parce qu'elles n'en seront peut-être pas moins intéressantes.

En premier Heu, quoique l'abrégé- qui vient d'être exposé tout à l'heure pour trouver a au moyen d'un a ou o accessoire (dont le carré, multiplié par n, soit supérieur d'une unité à un carré), d'où l'on passe à Va vrai (dont le carré, multiplié par n, soit inférieur d'une unité ii un carré); quoique cet abrégé soit absolument valable et pratique, si, néanmoins, il plaisait de le négliger et de poursuivre le travail commencé jusqu'à ce que l'on arrive à l'a véritable, il sera facile d'y parvenir sans calculs pénibles parce que les mêmes équations reviennent dans le même ordre. Par exemple, pour le nombre pris ci-dessus 109, après avoir trouvé les équations qui concernent a. b, c, d, etc. jusqu'à m (qui a pour valeur 85i 525, c'est-à-dire celle de l'a ou a succédané), on retrouvera les mêmes équations pour m, n. o, p, etc. qu'auparavant pour a. b, c, d, etc., en exceptant toutefois les deux dernières pour X et y, auxquelles on s'arrêtera, mais qui, si l'on ne veut pas s'arrêter là, n'en seront pas moins reconnues conformes à celles pour k et /. Ainsi le calcul institué pour trouver les équations pourra être arrêté dès que l'on sera arrivé à / ou m (c'est-à-dire au point où l'on déterminerait l'a ou a accessoire). Celui qui voudra employer ce moyen pourra donc, sans grande perte de temps, négliger l'abrégé qui a été indiqué en dernier lieu.

L'autre remarque que je voudrais faire est celle-ci. Nous avons jusqu'à présent exposé le mode de recherche de la racine du premier carré, grâce à laquelle on peut très facilement, suivant la série antérieurement exposée, trouver successivement les racines de tous les carrés en nombre infini. Mais, si l'on ne voulait pas employer cette série, on pourrait obtenir les racines de ces autres carrés par le même

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procédé qui sert à déterminer la première (toutefois avec un travail un peu plus long). 11 suffirait de continuer les opérations commencées jusqu'à ce que l'on arrive à la racine du second, troisième, quatrième carré.

Ainsi, par exemple, prenons, comme cj-dessus, u = i3. Etant arrives i) l'équation

nous en avons conclu ci-dessus que l'on pouvait poser c = 2./, en supposant d'ailleurs/= i , et dé là en rétrogradant, nous en avons déduit les autres valeurs jusqu'à celle de a, racine du premier carré. Mais si, au contraire, on pose/>r, on aura c < 3/ et, par suite, posant e=if — g, il faudra poursuivre jusqu'à ce que l'on retombe de nouveau sur une équation semblable, ee qui aura lieu quand on arrivera à /, m, et, en effet, ou trouvera

Posant alors /« = i , on aura /=2m=2, d'oîi, en rétrogradant, « = a33 640, racine du second carré. Mais si, au contraire, on pose encore, non pasm — i, mais m;>i, on aura /< a/«. Posant donc 1^1^ -im — II, il faudra poursuivre jusqu'à eo que l'on retombe encore sur une équation semblable, savoir

d'oii posant .î = i , on aura /■=3 et te = SoSsG |54o. Si l'on posait autrement * >■ i , procédant toujours de même, on aurait la racine du quatrième carré, puis celle du cinquième, etc., ad libàum,

f-^g-f'--- '77EI96'

p-^Zq — r= 38, /i — 204-/)~i8o

c-^'id — e— 64019918,

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Au reste, pour ce calcul, comme auparavant, des que l'on aura obtenu le premier a, les opérations seront facilitées par le retour constant des équations semblables, comme on le voit dans l'exemple ci-dessus, où l'on a tant les a vrais (que j'appellerai A, B, C, etc.) que les a succédanés (que je désigne par les lettres a, p, y, etc.), c'està-dire tous ceux dont les carrés, multipliés par le non-carré donné, sont soit inférieurs, soit supérieurs d'une unité par rapporta un carré. Si, en effet, là où par exemple se trouve * = i , on pose / = i , on aura fl, la première racine, là où est n; si, au contraire, au lieu de * = i, on pose 7« = I, on aura, là où est^, « =■ B racine du second carré, de même que l'on a maintenant « = C racine du troisième carré. Au contraire, en répétant toujours les mêmes opérations, on obtiendra D, E, F, etc., tant que l'on voudra. Ce qni, mutatis mutandis, doit aussi être entendu de a. p, 7, S, etc.

On peut cependant remarquer que de même que de a, lorsqu'il est connu, on peut, par la règle donnée ci-dessus, déterminer A (puisque de i3 X 5'— i8-= I, on conclut 2 x 5x 18 = 180 = A), l'on pourra par A connaître B; par p, C; par B, D; par y, E; par C, F, etc. Le plus souvent, il en est absolument de même; il n'y a que parfois une légère différence. Ainsi par exemple si l'on prend le non-carré 21, et par conséquent

3I«^+l=55rj'-IO«t + i^

ouhien = i6n^+ 8a6-|- If-,

■ nous aurons dans un cas les nombres 1.2. 5. 12 ou bien 1,2. 3. 5. 12. dans l'autre 1.2.7.12 ou 1.2. 5. 7. 12 ou bien encore 1.2. 3. 5. 7. 13, suivant que nous prendrons de différentes façons les différences soit additives, soit soustractives, soit des deux sortes. Mais en tout cas on aura a = 1 2 pour la première racine ; et les autres s'obtiendront successivement en poursuivant comme ci-dessus. On remarquera cependant que non seulement les carrés des nombres A, B, C, etc., multipliés par le donné 21, sont inférieurs d'une unité par rapport à un carré, mais que les produits par 21 des nombres «, ^, y, etc. sont supérieurs à un carré, non pas cette fois d'une unité, mais du

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moins d'une partie aiiquote du double produit dos raeinos des deux carrés, partie qui peut servir, comme on l'a vu, ix trouver la raciue d'un carré cherché. Par exemple,

■ -3 ^ —12 ■=! A racine clierchce,

et de même pour les autres. Ainsi a fera connaître A; A, B; p, C; B, D; y, E, etc. fit il en sera ordinairement de même pour les autres nombres. Toutefois il peut arriver que l'on ait seulement A, B, C, etc. Mais il n'y a pas à s'arrêter plus longuement à ce sujet.

2d ™ 2 a. J— le -a—- 518 |3. k— ii—h— 23378-/.

3c + rf= 5, g^^ 2/ + e — 55i, / := 2 A -I- i := 6o6o5,