ID
-(BP i-Cl)^=An = — (T!D^-i-Cl)^)=:AD'— (lîD^-hAn-).
Mais(II, 4)(')AD^-(AIt*-j-BD0 = 2ABx BD.
La proposition est donc établie.
Je n'ajoute pas les autres cas pour cette proposition, ni pou suivantes, car ce serait aussi fastidieux que facile.
Si l'on. Joint un point à trois autres donnés en ligne droite, et çi somme des carrés de deii'x droites ainsi menées surpasse le carré de la troisième d'une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de position.
Soient A, B, C {fig- 26) les trois points donnés en ligne droite. Soit donnée une aire supérieure à 2AB x BC. Prenez AI =BC, et soit l'aire donnée égale à 2AB x BC -)- IV-. De I comme centre, avec IV |>our
C) Renvoi aux F.lûinenu d'iiuefide.
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rayon, décrivez le cercle VNO. Soit un point N quelconque sur sa circonférence; joi^nez-Ie aux points donnés, par les droites NA, Nlî, 'SV,. Je dis que AN^ -î- NC ~ NB^ est égal h l'aire donnée.
En effet, joigne/. IN; d'après la proposition précédente : AN^H-NC^=INM-BN=+2An x TÏC.
Donc AiN'-^ NC'-NB=z^IN=+ 2 ABxBC et la proposition est établie.
l*KOP0siT[O:>( U.
H Si l'an joint un point à deux autres donnés et que les droites ainsi menées soient dans un rapport donné, le premier point sera, soit sur une droite, soit sur une circonférence. »
Soient donnés les deux points A, C (Jig. 27), ot supposons d'ahiird le rapport d'égalité. Prenez en B le milien de AC; élevez BD [teriien-
diculaire; il est clair que, si l'on en prend un point (]{ielcoiH[ii(' I), on aura AD = DC.
Supposons maintenant un rapport d'inégalité; soient A, B (//),'. 2H )
5 deu
X points donnés, q- le rapport donné. Soit — = ^-" ■ Enlve AN
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et NU [ji'ftnc/ la moyenne proportionnelle NO, et avec ce rayon décrivez le cercle OVZ. Soit un point quelconque V sur la circoiiférencc ; joignez VA, BV. Je dis que ces droites sont dans le rapport ■^■ En effet, joignons VN, et menons Bl parallèle à VA. On a
__ AN KV
NO(^>iV) "" NIi'
Ce sont les côtés qui comprennent un même angle ANV dans les deux triangles ANV, BVN; ces triangles sont donc semblables et les
angles VAB, BVI égaux. Mais AVB, VBI le sont à cause des |
A N " NI! ' la proposition est établie.
Pkoposikon III.
n Si une droite est donnée de position en. même temps qu'un point sur elle, si de ce point l'on mène une droite limitée, que de l'extrémité de celle-ci on abaisse une perpendiculaire sur la ligne donnée de position, et fjue le carré de la menée soit égal au produit d'une donnée et de l'abscisse à partir soit du point donné, soit d'un autre donné sur la ligne donnée de position, l'extrémité de la menée sera sur une circonférence donnée de position. 11
Soit AB {Jig. 29) la droite donnée de position, A le point donné sur elle. Il faut trouver une circonl'érence de cercle telle que, si l'on pi'cnd
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sur elle un point quelconque E, et qu'on abaisse la pfirpondiculairc El, AE^ soit égal au produit d'une donnée et de AI (c'est ainsi ([u'ou doit ici entendre Vabscisse à partir du point donné).
Soit AB la longueur donnée; sur AB je décris un demi-cercle; il est clair d'après la construction que AB x Al =: AE^.
Il y a plus de dillîculté pour le second cas, à savoir quand l'abscisse part d'un autre point que A, comme dans l'exemple suivant :
Soient donnés les deux points A,B (fig. 3o), et en outre un poini V. sur la même ligne droite. Soit AB la longueur donnée. Il faut trouver
une circonférence de cercle, soit PIO, telle que si d'un point quelconque I de cette circonférence l'on abaisse la perpendiculair(^ Ili, AP = AB X ER, AB étant la donnée.
Appliquons BA x AE sur la droite BA en excès d'un carré : soit la largeur AP -- BO ('). Le demi-cercle décrit sur PO satisferai» la question.
En effet, AI- ^ AR^ + RP. Mais RF = PB x RO et, comme on le prouvera tout à l'heure,
PR X RO ^ AR X RB -H OA X AP (= BP x PA = RA x AE).
Donc AP= AR= + AR x RR + BA x AE, ou puisque
Ali^- AR X RR -z [JA x AR, AI^^ RA x AR -^- AB x AK,
( ' ) C'est-à-dire eoTistniisons AP d'apW^s la fiONtlition : AB x AP -:- Al" = BA x AE.
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soit, réduisant encore ces deux rectangles en un seul, AI- = BAx ER.
Il reste à prouver que PR x RO = AR x RB 4- PB x BO.
En effet, en multipliant entre elles les parties ;
PR X Hd= PA X im -!- PA X BO (=B0^) -t- AR X un + AR X BO ( - PA X AR).
Mais PA X AR + PA X RB :== PA X AB = AB x BO. Ajoutant B0% on a AO X OB, c'est-à-dire PB x BO. Donc
PR X RO = AR X RB + PB X BO. c. q. v. d.
.!(! ne poursuis pas les différents cas, désormais rendus très faciles. Cependant je ne crois pas devoir omettre celui où le point li ne se trouve pas au delà de A, comme ci-dessus.
Soient donnés les deux points A et E (Jîg. 3i), et la droite AB ; il faut trouver une circonférence de cercle comme NOR, telle qu'en pre-
FLg. 3..
naiit sur elle un point quelconque 0, et abaissant la perpendiculaire 01, AO= = BAxEI.
Appliquons BA x AE sur la droite BA, en défaut d'une figure carrée ('). Nous aurons le point B; soit BN — AR. Le demi-cercle décrit sur RN satisfera à la question. La démonstration sera semblable à celle que nous avons donnée pour le premier cas.
Proposition IV.
« Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le carré de l'une soit d'une aire donnée plus grand que dans un rapport donné mec le carré de l'autre, le poird d'intersection sera sur une circonférence donnée. »
f ') C'est-à-dire construisons AR par la condition : AB x Ali — AH = BA x AE.
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Soient A, B {Jig.'ii) les deux points, jjj le rapport donné, BA x AN l'airo donnée. Soit IZ moyenne proportionnelle entre NI et IB; avec ce rayon décrivez le cercle ZVR, prenez-en nn point quelconque V, joignez VA, VB. Je dis que AV*— ~ x VB=^ BA x AN (rapport et aire donnés).
Soit en etFel VA x AO = ItA x AN; joignez OB, NV, VI et ((irnez liF parallèle à AN. Il faut prouver que '- — ^^^ — = j=-
Or ■y,y., = ïg; ce sont les côtés d'un même angle dans les Iriaiiifles NIV, VBI, qui sont donc semlilahlcs; donc les angles VNB, BVF
sont égauxJ Mais les angles VNB, VÛB le sont comme inscrits dans le même segment (car puisque BA x AN = VA x AO, les quatre points N, B, V, 0 sont sur un cercle) ; donc les angles VOB, BVF sont égaux. Mais les angles OVB, VBF le sont aussi à cause des parallèles. Donc les triangles OBV, VBF sont semblables. Donc ^ = ^ : multipliant de part et d'autre par le rapport ^ttî on a
