LETTRE XXVI

Frekicli; a Keneoi Diiîuï.

J'aurais préféré, très illustre Seigneur, garder le silence sur ce qui reste encore, dans la Lettre du Clarissime Wallis, à discuter touchant les nombres, et ne pas avoir à m'arrêtera chaque détail; mais, puisque vous attendez de moi que je vous fasse connaître mon opinion sur ces questions, il ne serait pas juste d'éluder vos désirs.

Il s'agit maintenant d'un autre problème du Clarissime Fermât.

Tout d'abord Fermât (comme le dit la Lettre de Wallis) expose en ces termes un certain théorème :

Étant donné un nombre non carré quelconque, il y a mm infinité de carrés déterminés tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux par le nombre donné, on ait un carré.

Il donne comme exemple le nombre 3 dont le produit par le carré i ou 16, étant augmenté d'une unité, fait le carré 4 ou 49; il afiirme qu'il y a une infinité d'autres carrés dont le produit par 3 satisfait à la même condition. Or, pour trouver ces carrés, Wallis donne une

méthode légitime.

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A la vérité, pour les carrés servant au nombre ô, il a mis un nombre

pour un autre; maïs cette erreur est excusable, car elle vient non de

riiçnorance, mais d'une inadvertance; il a en eiTet multiplié 56 x 97

non par 2 suivant la règle, mais par 3. Il faut donc, au lieu de

3 X 56 X 97 =:i62g6, lire a x 56 x 97 ^10864 (').

Mais, soit dit sans le fâcher, cette affirmation, qu'il y a une infinité de carres dont le produit, par 3 ou un autre nombre non carré, donne ainsi un carré, c'est le théorème énoncé que Fermât dit avoir démontré et qu'il n'avance que pour l'exemple et le préambule ; ce n'est point le problème qu'il demande de résoudre. Car ce qu'il s'agit de trouver, ce sont les carrés qui, multipliés par un nombre quelconque non carré, donnent, par l'addition de l'unité, des carrés, de même que les produits par 3 des carrés i et 16, après addition de l'unité, donnent des carrés. Il est d'ailleurs assez clair par là que les carrés demandés doivent être entiers.

Certainement Wallis pourrait s'excuser si Fermât n'avait proposé aucun exemple ou s'il avait indiqué des nombres fractionnaires aussi bien que des entiers. Mais l'exemple n'étant donné qu'en entiers, il était assez compréhensible que la question portait sur des entiers, ainsi que Fermât l'a plus tard expressément déclaré. Ne demandaifril pas des nombres tels que 3 et i6? 11 est donc bien clair que Wallis cherche des équivoques pour éluder le problème, qu'il a choisi ce qui était le plus facile et s'est dérobé devant ce qui était le plus ardu.

Mais on demandait des nombres carrés et je ne vois rien dans la solution que des species, lettres ou caractères, dont plusieurs ne me sont pas familiers, et qui représentent les nombres et les carrés, sans que les carrés demandés soient aucunement exprimés; tous, au contraire, restent inconnus; je ne vois donc pas qu'on ait satisfait à la question qui demandait certains carrés déterminés. En effet. Fermât proposait, comme exemple pour les autres à chercher, de donner les

lusei'VG dans la traductioQ (l'indicelioii du

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carrés dont le produit par les nombres 6i, 109 ou 127, étant augmenté d'une unité, fait un carré. Et certainement, si tous les carrés quelconques étaient également faciles à trouver, comme cela arrive pour les fractionnaires, il n'eût pas choisi ces nombres-là plutôt que d'autres.

Maintenant, pour les entiers, que nous donne Wallis? En tout cas, aucun carré de ceux qui sont demandés, à savoir dont le produit par un nombre autre que 3, pris comme exemple par Fermât, étant augmenté de l'unité, fait un carré. Il reconnaît que la règle donne non pas les seuls carrés entiers, mais tous indistinctement, tant entiers que fractionnaires. Sans doute, s'il avait trouvé une méthode pour séparer les entiers des fractionnaires, il aurait résolu la question. Mais il y a une infinité de fractionnaires pour chaque entier, et les carrés entiers sont en très petit nombre par rapport aux fractionnaires; si donc il n'y a pas une méthode quelconque pour opérer la séparation et qu'il faille livrer au hasard une pareille recherche, c'est comme si l'on donnait à chercher une perle ou un diamant dans tout le sable de la mer, ou comme on dit communément, une aiguille dans une meule de foin. Si, au contraire, Wallis a une certaine méthode qui puisse servir à trouver les carrés pour les différents nombres, puisque dans l'opuscule latin de Frenicle ces carrés sont donnés pour chaque nombre non carré jusqu'à 1 5o, qu'il poursuive jusqu'à 200, ou s'il n'a pas le loisir de pousser aussi loin, que le clarissime savant s'exerce seulement sur le suivant i5r; je ne parle pas de 3i3 qui, peut-être, serait au-dessus de ses forces; autrement je ne serai jamais persuadé qu'il a obtenu la solution du problème, qu'il a en général tous les carrés pour chaque nombre ou du moins un carré pour un nombre quelconque; car je n'en demande qu'un soit pour i5i, soit pour 3i3. Il dit qu'il démontre que sa méthode donne tous les carrés; mais il n'y a pas de meilleure démonstration que de fournir les nombres euxmêmes, surtout quand on en demande aussi peu.

Ou bien qu'il fasse, par quelque méthode certaine, la déduction dos carrés qui servent pour les nombres 61 et 109 et qui sont dans

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les colonnes 2 et 3 du Tableau de l'opuscule précité de Freniclo; ini encore qu'il recherche les nombres de la colonne 4 dudit Tableau, nombres grâce auxquels il est très facile de coustruire les carrés; ceux-ci se trouvant dans le Tableau, il y a certainement lieaucou]) moins de difficultés pour ce que je lui propose ici.

Reste la dernière solution de Wallis, dans laquelle il donne, do nombreuses manières différentes, deux cubes dont la somme est égale à celle de deux autres cubes. Cette question doit être très facile, car vous savez qu'elle a été résolue de diverses façons aussi aisément; cependant, quoique Wallis ait donné de nombreux couples de cubes, il n'en a pas fourni d'autres que ceux qu'il a déduits, par une simple multiplication ou division, de ceux que vous lui avez communiqués comme venant de Frenicle. Pourvu que vous avez un original de votre Lettre à Wallis qui renfermait ces cubes, vous reconnaîtrez aisément qu'on trouve, parmi eux, les cinq combinaisons suivantes sur lesquelles repose toute la série des cubes donnée par Wallis :

Racines des cubes.

Les vingt-deux autres, en effet, qui suivent ci-après sont celles que Wallis dit différer de celles de Frenicle; or, à côté de chacune d'elles, a été indiqué le numéro de celle des combinaisons ci-dessus qui lui a donné naissance et le nombre par lequel, pour la construction de ses cubes, Wallis a multiplié ou divisé les cubes qu'il avait reçus de votre main; le mot en marque la multiplication, le mot/^a/- la division.

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aSDVRES DE FERMAT.- TRADDCTIOSS.

1° en 3,

i" par 3

, 3» par 3,

, 2" en ;

, 4" pur 3,

, 4" par 3

, 5" par 3,

3° par 3

3" en ,-;,

2" en 3