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ici la proposition suivante qui est ana-
Pappus parait avoir logue :
Si de dense points donnés on mène des droites à un point, et que le carré de l'une soit d'une aire donnée plus pc.lil que dam un. rapport donné avec
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•y* ŒUVRES DE FERMAT. [3(i,37|
/(' carré île l'atUrc. le point d' interseciion sera sur une clrconfércncr donnée .
Soient donnés les doux points A ot B (Jcg. 33), le rapport -> l'aire BA X AT. Soit, entre TN, NB, la moyenne proportionnelle NL; avec ei; rayon, décrivez la circonférence de cercle LYZ; prenez sur elle un point quelconque Y, joignez YA, YB. Je dis que
YA'-V- ItAx AT(donné) AN " YW ~ NB ■
Soit en eiVet YA x Alt -- BA x AT; joignez TY, RB, YN; menez BV
parallèle à AY; comme snite de l'égalité YAx AB = BAx AT, on prouvera que les angles YTB, YRB sont égaux et on achèvera (^nmme ci-dessus.
I'roposition V.
n Si de points donnés en nombre quelconque on mène des droites à un même point et que la somme des carrés de toutes ces droites soit égale à une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de position . »
Soient d'abord deux points A, B(/ig. 34); menez la droite AB, prenez sou milieu en E; do E comme centre, avec un rayon quelconque El, décrivez le cercle ION. Je dis que, quelque point 0 que l'on prenne sni' la circonférence : A0*-l-OB*= 2(IE->+- AE-).
En effet, joignez ËO, abaissez sur elle les perpendiculaires BV, AZ. Dans le triangle AEO, A0^= AE^+ EO' + 2OEX EZ. Dans le triangle
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137,381 LliaX PLANS D'APOLLONIUS.
OEB, OE^ 4- EB= = OB- + 2OE x EV(= 2OE x EZ), puisque AE = EB.
Ajoutant membre à membre :
AO^H- OFÎ^-r aOE x KA = {\FJ
EOH=alE^) + ^,OKxK/.
Retranchant de part et d'autre 2OEXEZ, il reste l'cgalilé aiiuoucée, et la proposition est établie pour !e premier cas.
Soient donnés en ligne droite trois points B, D, E (Jîg. 35) et soil HD>DË. Prenez CD = i(BD-DE). De C comme centre avec un
rayon quelconque CA, décrivez le doini-cerclc AMF, je disque, quelque point M que l'on prenne sur sa circonférence, MB^+ MD-+ MK^ sera une somme constante.
En effet, joignez MB, MC, MD, ME; prenez EN = CD cl joignez MiN. Puisque BD - DE = 3CD ^ 3EN, on a DN-(-2CD = BD ou CN + CD = BD. Retranchez CD de part et d'autre : CN = BC. Puisque, d'autre part, CD = EN, d'après la seconde proposition do ce livre. VM- -+- MN' - (DM' -h ME=) est constant. Mais CM' est constant. Donc DM^+ ME* fera une somme égale à MN^ ou plus grande ou plus petite
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d'iino quantité Ronstaiite. Ajoutez de part et d'autre JIB" ; d'une part, >1B^ + MD^ + MK^, de l'autre BM^ 4- MN^ feront des sommes égales ou différentes d'une quantité constante soit dans un sens soit dans l'autre. Mais, d'après la proposition précédente, BM^' + MN- est constant, puisque BC = CN, donc BM^ + D!\I- + EM- est constant. c. q. f. ».
Démonstration générale de la même proposition. — Soient d'abord deux points X,E (fig. 3G); joignez Alil, prenez son milieu en C. Soit donnée une aire Z qui ne devra pas être plus petite que AC--I- CE*; car si elle est égale à cette somme, il est clair que le point G seul satisfait à la question, et qu'il n'y en aura pas d'autre tel que la somme des carrés des droites le joignant aux points A, E soit égale h Z.
Si Z > AC^+ CE^, soit BC' égal à la moitié de la différence; de (^ comme centre, avec CB comme rayon, je décris un cercle qui satisfait il la question. J'omets la démonstration qui est trop simple et a été donnée par Pappus et autres. Il ne faut pas s'arrêter trop longtemps aux choses faciles.
Le.«me pour la juïthods GiiNiiri.vi.i:. — Soient {//'g' 'iy) des points donnés
Fig, 3^
A, B, C, E en nombre <[uelconque. Primions une fractioii AI) ili' l;t somme des droiti's terminées d'une part au point A, de l'autre aux
autres points donnés, fraction conditionnée parle nombre des points, à savoir le quart dans rtsxemplo choisi. Soit donc
