I. ■>.. 4. 8. 16. 33, 04. , 1.3,9. 27. 8i. 343. 739., etc

les sommes 127, 109.3, etc. ne sont pas carrées; mais je n'ai pas eu If courage d'entreprendre de plus longues recherches sur 7 proportionels et la fatigue des calculs m'a de même empêché de les tenter sur 10, i3, 16 ou plus de proportionels. Mais je n'en ose pas moins juger que, quoique les cubes en question doivent être en nombre infini, à ce que je pense du moins, personne ne peut en trouver facilement au delà d'un certain nombre, comme 5 ou G, eu égard à la grande distance qui les sépare. »

« M. de Fermât reconnaîtra d'ailleurs que le moyen de trouver ainsi ces nombres est infaillible, dès qu'il saura que, pour déterminer les proportionels précités, je me sers des expressions analytiques a', a", a", a'^, etc., ou s'il s'agit de nombres ayant i5, 27, 39, /|8, 5i, 63, (»9 ou 7J etc. parties aliquotes,.je me sers, en outre des notations précédentes, de celles-ci : a^b^, a'b^, a^b^, a'b", a'^b^, a^b^c^ ou a''b*, a^b^ ou a'*è*, etc., comme pouvant être utiles pour cette affaire, c'està-dire pour représenter les nombres cubes à trouver. Mais, comme ces expressions indiquent, pour trouver les nombres cherchés, des calculs encore plus fastidieux, je ne crois guère que cette voie puisse être heureusement tentée. Mais je n'ajouterai rien, car, en dehors des moyens indiqués, il n'en existe pas pour trouver certainement ces nombres, à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé, pouj' établir les égalités, quelques abrégés qui pourraient diminuer singulièrement l'embarras de cet examen; il ferait certes, en les communiquant, une chose qui me serait très agréable. »

( I ) Los mots en ilalique sont indiqués comme à supprimor.

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" Dr même pour résoudre la seconde question, où on demande un carré tel que sa somme avec ses parties aliquotes fasse un cube, je cherche à partir de l'unité 3, 5, 7, 9. 11, i3, etc. ou davantage'(en augmentant toujours par 2) de nombres en proportion continue, tels que leur somme fasse un cube, et, pour second terme, j'essaye un nombre premier quelconque, comme il est indiqué par

Si, en effet, cette somme est un cube, le dernier proportîonel sera le carré cherché. Ainsi je me sers de a^, «% a^, a% a'", etc. pour trouver les nombres ayant 2, 4. 6, 8, 10 parties aliquotes, ou bien encore de «^&* pour ceux qui en ont 8, de a'&^ pour i4 parties, a^b"^ pour 20, a'h^ pour i(\, a-b-c'- ou a^b^ pour 26 parties, etc. Mais, comme ces dernières expressions correspondent à des modes de recherches de plus en plus difliciles pour ces carrés, j'ai peine à croire qu'elles puissent servir heureusement pour parvenir au but proposé. »

" En montrant l'existence de tous ces modes, par lesquels il est évident que l'on peut certainement obtenir les nombres cherchés, pourvu qu'on ne recule pas devant le travail d'examiner successivement, comme j'ai dit ci-dessus, tous les nombres premiers en commençant par les plus petits, j'espère avoir satisfait pleinement au désir du clarissime Fermât. »

« Écrit àLeyde, le 17 février 1607, par moi, François van Schootcn, professeur de Mathématiques à l'Académie de Leyde. »

Suivent (') deux problèmes du même genre, proposés en retour à M. de Fermât :

« Premier problèmil. — Trouver deux cubes dont la somme fasse un cube ou, s'il ne peut les obtenir, m,ontrer que le problème est impossible. »

" Deuxième problème. — Montrer si l'on peut, ou non, trouver d'autres nombres parfaits que ceux que fournit la méthode d'Euclide (IX, prop. dern.), c'est-à-dire la progression suivant la raison double. »

(') i'ioftO 378 de la Correxpimdaace de Hurgeiu:

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COMMERCIUM I)E WALLIS. 3oO

Voilà ce que j'ai répondu alors, et les questions que j'ai proposées à mon tour.

En traitant ces questions, je m'étais seulement proposé d'indiquer h leur auteur la façon dont elles devaient être résolues. 11 sera facile à votre perspicacité de reconnaître que j'atteignais ce but, puisqu'on ne peut donner aucun nombre qui ne soit pas soumis à quelqu'une des conditions précitées (comme on peut le déduire de mes Eœercita-liones, section 3), ou ne puisse être trouvé par les modes indiqués. Quant aux nombres eux-mêmes, ils ne me paraissaient pas avoir tant de valeur que la méthode pour les trouver certainement ne dût sulfire à M. de Fermât. C'est aussi ce que j'avais surtout en vue pour les deux problèmes ajoutés par moi, en sorte que, si les nombres que je demandais ne se rencontraient pas aisément, il suffit de montrer l'impossibilité du premier problème, et de prouver que le second ne peut être résolu par un moyen différent de celui d'Euclide. Mais à tout cela, rien que je sache ne m'a été répondu par M. Fermât, ou du moins aucune réponse ne m'est parvenue; je n'ai pas cru cependant devoir aucunement le presser à ce sujet, afin de ne pas sembler prétendre à une grande gloire pour la solution d'un problème qui n'a évidemment aucun usage, ni aucune utilité. Ainsi je ne sais même pas si M, de Fermat a reçu ou non ma réponse, ni quel jugement il a porté sur elle dans le cas où il l'aurait reçue.

J'avoue d'ailleurs qu'à cette époque il ne m'est venu à l'esprit aucun des abrégés qui auraient pu, comme je le croyais, servir à diminuer considérablement le travail; c'est pour cela que je disais à Fermât, qui, sans aucun doute, devait posséder ces abrégés avant tout autre, que, s'il en connaissait de généraux touchant cette matière, il ferait une chose très digne de reconnaissance s'il voulait bien nous les communiquer.

Après avoir ainsi résolu les questions de Fermât, j'ai cru devoir les communiquer au clarissime M. Hudde et lui proposer de les résoudre. Voici ce qu'il me répondit, le 23 février, d'Utrecht où il était alors : '( Quant aux questions proposées par M. Fermât et à la solution que

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VOUS en avez donnée, j'avoue que les problèmes ne me déplaisent pas. mais qu'il n'en est pas de même de la raison par laquelle vous vous efforcez de me persuader que je dois, moi aussi, m'efforcer d'en chercher la solution ; à mon avis, ce qui est le plus nécessaire et utile doit passer avant ce qui l'est moins; si donc j'ai encore quelque loisir à consacrer à la Science, j'ai la confiance de pouvoir le dépenser sur des questions, non seulement beaucoup plus utiles, mais aussi beaucoup plus générales et plus intéressantes, et qui semblent promettre une gloire plus brillante au savant qui les étudiera. Aussi je n'ai pu prendre sur moi de m'appliquer à la solution de ces problèmes ; cependant, pour l'amour de vous seul, je me suis résolu, au détriment de tous mes autres travaux, à leur consacrer la journée d'hier pour vous faire part de ce que je parviendrais à découvrir, pour l'abrègement du travail, et cela dans le cas où vous n'auriez pas encore envoyé votre réponse à Paris. » Voici la règle que j'ai choisie entre beaucoup et que j'emploierais

■ pour la solution de la première question, où il s'agit de trouver un nombre cube, tel qu'ajouté à toutes ses parties aliquotes, il fasse un carré. Qu'on prenne un carré (en commençant par les plus petits), tel que son double, moins l'unité, soit un nombre premier; que de

■ ce dernier nombre on retranche i , et qu'on multiplie le reste par le ' carré que l'on a pris, ou bien, ce qui revient au même, par la plus ' grande moitié de ce nombre premier. Si, on ajoutant i au produit,

■ on a un carré, le nombre premier précité sera le côté du cube I cherché.

» Par exemple ;

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