AD — {(AIÎ+AC + AE
La position du point D varie suivant les cas. Je dis que la somme des droites terminées par le point D et par les points donnés du côté du point A sera égale à la somme des droites terminées par le point D et par les points donnés du côté du point E. C'est-à-dire que l'on aura
Dans la i" figure : El) = AD + BD + CD. Dans la 3» figure : ED + CD = !ID + AD. Dans la 3' ligure : KD -i- CD + DD :r^ AD.
D'abord dans la 3^ figure, par hypothèse, 4AD = AB + AC + AE; retranchez de part et d'autre 3AD, il restera d'un côté AD; de l'autre, retrancher 3AD de AB + AC •+- AE est la même chose que de retranclior AD de chacune des droites AB, AC, AE : il restera donc
BD-hCD + ED = AD. c. q.f. [j.
Si l'on avait donné cinq points, on aurait d'un côté 5AD, de l'autre 4 droites terminées à A et aux points donnés, etc. ; la méthode est toujours la même et s'applique indéfiniment.
Dans la 2* figure, 4AD 1= AB -1- AC -1- Alï; retrancheiî de part et d'autre 3AD et ajoutez BD, vous aurez AD + BD = ED + CD.
Dans la i" figure, 4AD = AB-i-AC-t-AE; ajoutez de part et d'autre B!) + CD et retranchez 3AD; vous aurez AD h- BD + CD = DE.
La méthode est la même pour un nombre quelconque de points jusqu'à l'infini, et la même conclusion sera tirée de quelque manière que l'on fasse varier les cas.
Secosd lejuie. — Soit faite sur la i'"" figure {fig. 38) la construction précédente; je prends sur la même droite un point N quelconque. Je dis que la somme des carrés des droites terminées par les points donnés et par N dépasse la somme des carrés des droites terminées par les points donnés et par le point D, du carré DN pris autant de fois qu'il y a de
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poiiUs donnés, soit 4 (liins l'exemplo choisi. Les i' et '^^ ligures rcprési'iitent des cas ditfcrenls.
Slu' la premi(;r<; Oguri?., en comparant ehaijiie carré ii chaque antre,
on a
AN^-h RN^ + CN^- (AD'H- BD-^-h CI)^)
= 3 DN^ + 2 ,\ it . ON + '^ RD . I)N + a CD . DN
AN^-^ BN^+ CN^= AD^-H Bl">^+ r.D=+ SDN^
+ aAII.DN + aRD.DN-i-:jCI>.DM;
cela l'cssort évidemment de la formation du carré du binôme avec le
signe -^.
D'autre part :
EN^ = EII^ + NR=-2ED.l)N,
ce t|ui ressort de la formation du carré du liinome avec le signe — . Far conséquent
