EI> = AD-; RD + CD

Or c'est ce qui a été démontré par le lemme précédent.

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141,431 LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. m

Je ne m'arrête pas aux divers cas. — Si l'on donne cinq points, la somme des carrés des distances des points donnés au point N dépasse de 5DN^ la somme des carrés des distances des points donnés au point D : la démonstration est la même.

Il ressort de là que la somme des carrés des dislances au point D est mini ma.

Dans cet exposé, je n'ajoute pas une trop scrupuleuse observation des différents cas. La conclusion du second lemme se ramènera toujours à prouver que la somme des rectangles en plus est égale à celle des rectangles en moins, et la question sera ainsi ramenée au premier lemme.

PriEAnÈRi': 1'I\oi>osiïion gknku.vi.k. — Soient, sur la même figure, toujours donnés quatre points A, 13, C, E sur la droite AE, et

AD^i(AH-i-AC + AE),

fraction conditionnée. On propose, étant donnée une aire Z, de trouver lin cercle, tel qu'en prenant sur la circonférence un point quelconque, la somme des carrés de ses distances aux points donnés soit égale à l'aire donnée.

Pour que le problème soit possible, il faut, d'après ce qui ;* été démontré, que Taire Z > AD^+ BD*4- CD'^ + ED^

Soit donc 4DN^ égal à l'excès do Z sur la somme des quatre carrés; le cercle décrit de D comme cejitre avec DN pour rayon satisfera à la question.

Bn effet, prenons d'abord le point N {fig. Jq) de l'un et de l'autre

côté, H a été prouvé par le second lemme que

AN^4- XD^ -h CN^+ EN^^ AD^ + Bi)^-i- Ct)^-

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mais AD^-hBD^+CD^ + ED« + 4DN*=Z. Donc

AN^-!-IÎN--i- CN^ + EN'=Z l'aire doniiéo. c. q. f. d.

Élevez maintenant la perpendiculaire DM et joigne/ AM, BM, CM,

EM. Je dis que la somme de leurs carrés est égale à l'aire donnée 7..

En effet

AftP = AD' + DMS

BiP— BD^ + DM',

EM' = ED= + DM'.

Donc

A>P + B^P + CM- 4- EM^ ^ AD^ + BD^ ^ Cl)= + El)' + 4 l>MH= !l ]>N')-

Mais AD^+BD=-hCD'' + ED^-H4DN- = Z (l'aire donnée). Donc AlVP + BM^ + CM' -I- EM^ = l'aire donnée. c. *j- f- i>-

Menons maintenant le point M {fig. 4o) quelconque, et abaissons

Fig. 4o.

la perpendiculaire MO. On prouvera de même que

yVM^4- BM^+ CM^+ EAP^40M' + A0^+ BO^ h C0^+ EO^

D'après le second lemmc, la somme de ces quatre derniers carrés est égale à la somme AD- -H BD= + CD' -)- ED^ -t- 40D-. Donc